实验巧设计，经验自生成——数学实验常态化实施的案例探索与反思

☉江苏连云港市海州实验中学 王磊

实验巧设计，经验自生成
——数学实验常态化实施的案例探索与反思

☉江苏连云港市海州实验中学 王磊

一、背景

数学家约翰·纳皮尔说：“我总尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算.”在教学中，教师带给学生的数学，不能仅仅是那种枯燥的、单调的数学，还应该带学生走进有趣的、好玩的数学世界中.数学实验作为对数学常态课的有效补充，已经逐渐被广大一线教师认可.一方面，越来越多的学生开始经常性地接触数学实验，并从中汲取丰富的数学和生活经验.另一方面，教师也在积极地为常态化实施数学实验教学，探索各种教学素材.前些时候，江苏省连云港市吴海宁初中数学名师工作室，在连云港市海州区朐山中学（本地的一所农村中学）开展了一次数学实验教学专题研讨活动，笔者全程参与了本次活动.本次活动开设了四节数学实验课，课题分别是“折纸与黄金矩形”“莱骆三角形与圆”“折纸与特殊角的三角函数”“找重心”.四节数学实验课的教学侧重点各不相同，每节课的教学设计都个性突出，但在某些细节上的共性设计，引起了与会教师的争论.大家议论的焦点是：实验产生了生活经验，还是已有的生活经验引发了实验？数学实验能否常态化地走入数学课堂？这种充满哲学味道的议论，让笔者陷入了深深的思考之中.下面笔者借此机会与各位同仁分享我的反思和收获.

二、案例展示与分析

（一）折纸与黄金矩形.

1.引入：播放折纸视频，介绍折纸的历史.

2.操作一：用矩形纸片折正方形，让学生说说理由.

3.操作二：用长方形纸片折等腰三角形，先独自思考，再小组讨论，展示不同的折叠方法.

4.操作三：用长方形纸片折黄金矩形，运用已经获得的活动经验，解决这个问题.

5.操作四：用正方形纸片折黄金矩形，进一步理解黄金矩形的几何机构.

【点评】本实验的设计，安排在黄金分割这节课后进行，是围绕折黄金矩形展开的，实验的难度层层递进.不过在授课过程中，现场的老师发现，最难进行的不是最后一个操作，而是第一步操作.在这一步中操作中，学生基本上都会折一个正方形，不过当老师让学生用黑板上的实物模型进行推理验证时，很多学生一时找不到南北，不知该如何标注和说明，站在讲台上不知该如何下手，正如我们所知，要说明折叠后的图形是正方形，只需说明是矩形，再说明一组邻边相等即可，但是到学生那里，却不那么顺畅了，这说明我们的学生实践能力有待培养.稍后，在老师的帮助下，学生逐步掌握了将现实问题抽象为数学模型的方法，并会用之前学过的知识进行说明.让人欣慰的是，在接下来的几个活动中，学生再没出现过类似的晕场的情况.从这个案例中，可以深深地感到，我们的学生不是实践能力弱，而是缺乏实践的机会和经验.数学实验是数学活动的一个重要载体，它给我们的学生动手接触的机会，是学生提高数学素养和数学能力的重要途径，常态化开设数学实验是必要的.

（二）莱骆三角形与滚动的圆.

1.引入：古诗《水调歌头》引入，让学生感受月亮的圆其实并不规则.

2.下定义：莱骆三角形，让学生认识本实验的研究主体.

3.操作一：画莱骆三角形，先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心、边长为半径画弧得到莱骆三角形.

4.操作二：将半径为1的圆沿着直尺边缘滚动，画出扫过的图形，并计算面积.

5.操作三：将边长为1的正三角形所在的莱骆三角形沿着直尺边缘滚动，画出扫过的图形，并计算面积.

6.操作四：观察圆沿着直尺边缘滚动一周时，它的圆心运动的路径及扫过的区域的图形，写出你的发现.

7.操作五：观察莱骆三角形沿着直尺边缘滚动一周时，它的圆心运动的路径及扫过的区域的图形，写出你的发现.

【点评】莱骆三角形被广泛地用于各种机械当中，尤其是在发动机中运用最为广泛.让学生从小就接触这些模型，有利于激发学生对科学知识的探索欲望，为未来的生产、生活积累经验.本节课安排在“圆”这节课之后进行，学生通过对莱骆三角形形状的剖析，分析了其几何原理，加深了对该图形的认识.通过对圆心移动轨迹和覆盖面积的学习，提高了作图和计算能力，提升了几何直观，培养了动手能力，形成了活动经验.

（三）折纸与特殊角的三角函数.

1.操作一：折30°、45°、60°的三角形的三角函数，请你说说理由.

2.操作二：折15°、22.5°、75°的三角形的三角函数，请你说说理由.

【点评】看似简单的两个操作，但其中蕴藏了大量的数学思考和数学操作.众所周知，初中阶段学生接触的三角函数，主要是正弦、余弦和正切.本节课被安排在这三种三角函数结束后开设，学生通过直观感受三角函数，学习了三角函数的几何意义.本实验中，渗透了转化思想、方程思想、数形结合思想等数学思想.本节课，对学生的能力要求高，教师提前预估了教学难度，采用了小组合作式教学方法，从特殊到一般，从度数为整数的角到度数为小数的角，符合学生的认识状态.在学生展示过程中，运用了小组评价法等教学手段，鼓励学生的创新意识，激发学生的探索意识，保障了学生活动经验的主动生成.

（四）找重心.

1.引入：播放利用重心表演杂技的视频，引起学生的思考.

2.操作一：找一条线段的重心.

3.操作二：找圆的重心.

4.操作三：找平行四边形的重心.

5.操作四：找三角形的重心.

6.操作五：找任意多边形的重心.

7.操作六：找听装可乐的重心.

【点评】重心这个名词对学生而言，既熟悉、又陌生，打球时，我们常说要降低重心，可以说学生对重心一词多少是有所了解的.在数学学习中，教师还常常告诉学生三角形的几个心：重心、内心、外心等，但是很少有学生用数学实验的方法寻找重心.本节课中，教师设计了6个流程，从最简单、常见的线段开始，逐步探索生活中的物品，体现了该数学实验课的层次性.让学生从最简单的几何体开始，逐步认识复杂的平面图形，最后到立体图形，体现了实验教学的系统性，这说明，数学实验是可以常态化地引入到课堂教学中的.在学习过程中，学生学习的主动性明显加强，整节课学生都异常的兴奋，给在场的老师留下了深刻的印象.

三、几点思考

（一）数学活动经验为数学实验奠定了知识基础.

史宁中教授认为：“基本活动经验是指学生直接或间接经历了活动过程而获得的经验.”刘加霞教授认为：“数学活动经验，就是学生在经历数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知.”数学实验需要学生动手操作，需要学生具备一定的活动经验，在此基础上，学生经过更加深入的操作、观察、对比、分析和概括等过程，将获得更高层次的认识.例如，在第一节和第三节课中，教师从学生现有的能力水平出发，结合他们会折一个正方形这样的数学经验，在此基础上，折黄金三角形，折特殊的角并研究该角的三角函数，这些课题对学生来说就是新的挑战、新的体验.在实验的开始阶段，学生感觉很困难，不知如何下手，其原因是：折黄金三角形不仅需要学生的操作能力作为支撑，更重要的是学生要手脑并用，不仅要考虑怎么折，还要考虑如何折.在思考怎么折的时候，学生首先要运用已有的数学知识，抽象思考该实验的数学原理，然后采用正向和逆向两种思维方式，推敲实验方案的合理性，讨论操作的突破口，总结失败的经验，对比要达成的目标，进行多次尝试，最终获得正确的操作方法.在本活动中，学生的几何直观和抽象思维得到了大量锻炼的机会，数学培养人思维能力的功能，获得了充分体现，而这一切都依赖于学生初步的活动经验.可见，常态化开设数学实验是非常有必要的，大量的实验将为学生带来更多的活动经验，而这些经验为学生学会分析问题、解决问题奠定了基础.

（二）数学实验是积累数学活动经验的重要途径.

开普勒说：“数学对观察自然作出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素.”数学为其他学科的学习，提供了最基本的计算方法、思维方式、空间直觉等基本能力.“找重心”这个课题，听起来是物理课，但其实本节课是用数学方法，以数学中常见的物体和图形为研究对象，采用理论推理与实物演示相结合的方式，通过数学实验的形式，寻找物体的重心.本节课的精彩之处在于，实验难度层层推进，层次感非常强烈，实验现象直观，理论推理严谨，操作过程流畅.例如，找一条线段的重心，学生很容易想到以铅笔为例，开展研究，找到了铅笔的中点，即可找到铅笔的重心.在找圆的重心的过程中，学生利用已有知识，经过数学猜测和动手操作，顺利地找到了圆的重心.以上两步操作，学生可以利用已有的经验，逐步合作完成.而对于平行四边形、三角形和任意多边形的重心，学生是没有活动经验的，最后，在老师的帮助和引导下，学生逐步完成了经验的积累.在此过程中，笔者发现很多平时爱折纸的学生，更容易找到问题的答案，这说明学生的数学经验是可以延续和再开发的.这种手脑并用，抽象结合直观，推理结合想象的过程，作为常态课的补充，可以拓宽学生的数学视野.伽利略说：“科学的真理不应该在古代圣人的蒙着灰尘的书上去找，而应该在实验中和以实验为基础的理论中去找.”作为基础学科的数学来说，实验更是必不可少的.学生可以从实验中，观察数学现象，积累数学活动经验，形成数学思维意识，养成动手和动脑习惯，提高实践和创新能力.

（三）巧妙选择实验主题，进行常态化的数学实验教学.

法国哲学家夏尔·傅立叶说过：“数学主要的目标是公众的利益和对自然现象的解释.”对学生来说，数学的最大魅力之一，是在生活中发现数学的存在，学生课堂上最爱听的是有关数学的趣味故事.数学在生活中的影子，常常会激发学生强烈的学习兴趣.课程标准强调：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生的兴趣，调动学生的积极性.”这也是我们常说的数学问题生活化的出发点.莱骆三角形是生活中常见的一种三角形，但由于其特殊的形状和功能，一般都将之放在机械的核心部位，也就是机器的内部，所以，学生很难看到这样的物体和图形.本节课选择莱骆三角形作为研究对象，一方面考查学生的作图能力和操作能力，另一方面，通过将已知图形组合成“新鲜图形”的过程，激发学生的学习兴趣.最后，通过向学生展示莱骆三角形的功能和使用价值，激发学生的学习内驱力，丰富学生的学习经验.笔者认为，数学实验教学，不能只出现在某些展示课和公开课中，应逐步走入师生的常态化课堂中.可以预见，学生经常性接触这些有趣的数学实验，他们的生活经验必定会异常丰富，这也会对学生更灵活地掌握数学知识，起到催化剂的作用.

四、感悟与体会

综上所述，数学实验是培养数学活动经验的重要途径，而数学活动经验为数学实验的展开提供了基本保障，常态化实施数学实验是非常有必要的.正如奥斯特说的：“我不喜欢那种没有实验的枯燥的讲课，因为归根到底所有的科学进展都是从实验开始的.”兴趣是促使人不断进步的动力源泉，而数学实验就是激发学生学习的良好途径.笔者坚信：随着数学实验的常态化开展，学生的数学活动经验会日渐丰富，学生内化数学知识的过程会更加有趣、科学和形象.

1.董林伟，孙朝仁.“好玩”的数学——初中数学实验教学的实践探索［J］.江苏教育（中学教学），2016（03）.

2.孙朝仁.积累活动经验，发展“几何直观”［J］.中学教学，2015（04）.

3.章建跃.数学要为学生谋取长期利益［J］.中学数学教学参考（中），2012（7）.

4.王晓林，樊忠.加强数学实验教学，促进学生能力提高［J］.时代教育，2010（02）.

5.徐菊英.数学实验教学初探［J］.新课程，2011（06）.