中继辅助的单发单收信道速率极大化算法

孙聪　艾文宝

摘要：考虑无线中继通信系统，一对单天线用户在多个多天线中继的辅助下通信。假设中继的功能仅简单地放大转发用户信号。本文建立了传输速率极大化的模型，以同时优化用户发送功率及中继转发矩阵。本文运用分式优化等技巧，将相应的优化问题转化为一系列二次约束二次规划子问题。通过显式表达式给出二次约束二次规划子问题的次优解。模拟实验表明，相比较已有的梯度法，本方法用非常少的时间、获得更高的传输速率。

关键词：通信与信息系统；放大转发中继；低复杂度；分式优化

中图分类号：TN92 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.04.001

0 引言

近期关于中继辅助通信的研究不断涌现。由于障碍、信道衰落等原因，用户之间直接通信的信道可能很差，此时则需要中继站辅助通信，以提高用户间通信的有效性和可靠性。中继的工作方式有很多种，包括放大转发、压缩转发和解码转发等。其中放大转发的中继原理简单、复杂度低，因此相关的研究较多。现有的参考文献中有很多旨在设计、优化中继的转发矩阵，以提升信道的性能。针对多个单天线中继辅助的一对单天线用户，分析了不同情形下的中继转发系数，以极大化信噪比，并给出显式最优解。将通信模型推广到多对用户，考虑在信噪比达到下界的前提下极小化中继的总发送功率，并通过半定规划松弛算法求解中继的转发系数；针对同一个通信模型，提出了针对等式的非凸逐步二次规划算法，并求得问题的KKT点；将问题的可行域缩小，得到一个二阶锥规划，用较低的计算复杂度求得问题的可行解。考虑一对多天线用户由多个多天线中继辅助，求解了接收信号与发送信号均方差极小化的问题。在2×2×2（两对用户、两个中继）的信道中，利用方程组的求解联合设计预编码和中继转发矩阵，以消除用户之间的干扰。在双向中继、一对用户的信道模型中，运用梯度法求解传输速率极大化的问题。在上述的参考文献中，为求解中继的转发矩阵，所运用的算法往往具有较高的计算复杂度。本文则针对特定的通信模型和问题，提出了低复杂度的高效算法。文章具体结构如下：第一节主要介绍本文考虑的多个多天线中继辅助下的一对单天线用户通信模型和过程；第二节提出具体的问题和算法；第三节给出数值实验和比较结果。

符号说明：×表示Kronecker积。I_d是d维单位矩阵。R={1，2，…，R}代表中继的指标集合。diag{A₁，…，A_n}表示以A_i，i=l，…，n为对角的块对角矩阵。IE（·）表示取随机变量的期望。

1 系统模型

考虑一个多中继辅助的单用户半双工通信模型，其中中继的个数是R。用户的发送端和接收端都是单天线的；第r个中继有L_r根天线，对任意r∈R成立。假设用户传输的信号s已经过归一化处理，都满足IE（|s|²）=1。这里假设用户之间没有直接相连的信道，全局的信道信息已知。

考虑转发放大的中继工作模式。通信的过程分为两个时段。第一时段，用户把信号√ps发送给每个中继，这里p是用户的发送功率。此时每个中继得到信号x_r=√pg_rs+n_r，这里g_r∈C^L_r×1是发送端到第r个中继的信道；n_r是在第r个中继处的噪声，其均值为零、方差为σ²_rI_Lr对任意r∈R成立。第二时段，第r个中继在信号x_r上乘上自己的转发矩阵W_r∈C^L_r×L_r，再将t_r=W_rx_r发送给接收端。最终接收端处得到的信号为其中h_r∈C^L_r×1是第r个中继到接收端的信道；z是接收端处的噪声，其均值为零、方差为μ²。

2 速率极大化算法

假设所有的信号和噪声相互独立。这里，第r个中继的发送功率为IE（||t_r||²₂）=p||W_rg_r||²₂+σ²_r||W_r||²_F。本文希望联合优化用户的发送功率p和所有的中继转发矩阵{W}={W_r，r∈R），以极大化传输速率：在用户和每个中继的发送功率约束下，相应的优化问题表达式为：（1）这里p^U和p^R_r分别为用户和每个中继的发送功率上限。通过类似于[1，SectionⅢ一A]的分析，我们可证明，在（1）中，最优的p应取p^U。令p=p^U。令w_r∈C^L2_r×1是将矩阵W_r按列排放得到的列向量；D=diag（I_Lr1×h₁h₁^H，…，I_LR×h_RH^H_R）；J_r=（p^Ug_rg^H_r+σ²_rI_Lr）^T×I_Lr；Q=t^Ht，其中t=（（g₁×h₁）^T，…，（g_R×h_R）^T）。则（1）可等价地转化为下面优化问题的求解：

（2）通过Dinkelbach的技巧，我们可以在每步迭代的过程中求解如下问题：

（3）在此基础上，我们可以证明问题（2）和（3）具有相同的KKT点。问题（3）是一个非凸的二次约束二次规划问题，想要求得它的最优解也很困难。为了降低问题的复杂度，我们用（3）的可行解w=ηJx来更新变量w。这里x是矩阵J（Q-CD）J的最大特征值对应的单位特征向量，其中J=diag{J₁^-（1/2），…，J_R^-（1/2）}。J_r是正定矩阵，因此根据其特征值分解Q_JD_JQ^H_J，可得到J_r^-（1/2）=Q_JD_J^-（1/2）Q^H_J，其中D_J^-（1/2）是一个对角矩阵，其中每个对角元素是D_r相应对角元素的开方倒数。

根据上述分析，我们总结求解问题（1）的传输速率极大化算法如下：

算法1（传输速率极大化算法）

Step 1：令p=p^U。选取初始点W_r，r∈R，构造初始的w，以及初始参数C=C_n。给定终止参数ε和k_max。k=0。

Step 2：更新变量w：w=ηJx。更新参数c：

step 3：若|C_k+1-C_k|<ε，或k=k_max，算法终止，由w构造得到中继转发矩阵W_e，r∈E；否则，k=k+1，转step 2。

3 数值实验

针对不同配置的中继网络，图1画出了我们提出的算法与梯度法所得到的传输速率随着sNR值变化的曲线。从中我们可以观察到，两种算法得到的传输速率都随着系统sNR值的增大而线性增加；无论是改变中继的个数还是改变每个中继的天线数，算法1总能得到比梯度更高的传输速率。表1还给出了在不同信噪比下，两种算法的平均计算时间。算法1的每步更新具有显式表达，而梯度法的每轮迭代则需要内循环来确定迭代步长。从表1也能观察到，算法1的计算复杂度比梯度法更低。

实验结果表明，相比较梯度法，我们提出的算法能够在更短的时间内求得更高的传输速率。

4 结论

本文针对多天线的多中继辅助的单天线单用户通信系统，建立了传输速率极大化优化模型，且用户和每个中继具有发送功率约束。通过分析和分式优化等技巧，我们将问题转化为一系列的二次约束二次规划，并通过其显式表达的可行解进行迭代求解。实验表明，相比较梯度法，本文提出了计算时间更短、传输速率更高的传输速率极大化算法。