伪Smarandache无平方因子函数与Euler函数的两个方程

王曦浛,高 丽,李国蓉,薛 阳

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安 716000)

伪Smarandache无平方因子函数与Euler函数的两个方程

王曦浛,高 丽,李国蓉,薛 阳

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安 716000)

对任意的正整数n,著名的伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)定义为最小的正整数m使得n|mn,利用初等方法以及伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)和Euler函数φ(n)的性质,研究了方程Zw(φ(n))＝φ(Zw(n))的可解性,证明了该方程有无穷多个正整数解。同时讨论了方程Zw(n)＋φ(n)＝2n的可解性,并求出了该方程的正整数解为n＝1。

伪Smarandache无平方因子函数;Euler函数;正整数解

对任意的正整数n,著名的伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)[1]定义为最小的正整数m使得n|mn,即Zw(n)＝min{m∶n|mn,m∈N}。这个Zw(n)函数是由美籍罗马尼亚著名的数论专家Smarandache教授在他所著的《Only Problems, Not Solutions!》一书中提出来的,并建议人们研究其性质。而Euler函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数。对于这两个函数许多学者对其进行了研究,并得出了有意义的结论[2-7],如文献[2]中研究了方程Zw(Z(n))－Z(Zw(n))＝0的可解性,并证明了该方程有无穷多个正整数解,文献[3]中研究了方程Zw(n)＝φ(n)与Zw(n)＋S(n)＝2n的可解性问题,文献[4]中讨论了Sk(n)＝φ(n)的可解性,并给出该方程的所有正整数解,文献[5]中讨论了两个数论函数方程φ(n)＝Z(nk)与Z(n)＋φ(n)＝2n的可解性问题,并给出所有的正整数解,文献[6]中讨论了关于Smarandache函数和Euler函数的三个方程的可解性问题并求出所有正整数解。

我们利用初等方法研究了方程Zw(φ(n))＝φ(Zw(n))与Zw(n)＋φ(n)＝2n的可解性问题,并给出方程所有的正整数解。

1 相关引理

引理1对于素数p与α≥1,有φ(pα)＝pα－1(p－1)[8]。

引理3设n是任意的正整数,有Zw(n)≤n,特别当n是无平方因子数时,则Zw(n)＝n[9]。

引理4如果p为素数且k≥1,则Zw(pk)＝p[]。

引理6若(m,n)＝1,则Zw(m,n)＝Zw(m)·Zw(n)[9]。

2 主要结论及其证明

定理1对任意的正整数n,方程

有无穷多个正整数解。

证明(1)显然当n＝1时,Zw(φ(1))＝1,φ(Zw(1))＝1,故方程(1)成立。

(2)当n＝p时,由引理1和引理4可知:Zw(φ(p))＝Zw(p－1),φ(Zw(p))＝φ(p)＝p－1。若方程(1)成立,则Zw(p－1)＝p－1。显然当p－1为无平方因子数时,Zw(p－1)＝p－1成立,所以当n＝p且p－1为无平方因子数即为方程(1)的解。

(3)当n＝pα时,由引理1和引理4可知,Zw(φ(pα))＝Zw(pα－1(p－1)),φ(Zw(pα))＝φ(p)＝p－1。此处对p分两种情况讨论:

(ⅰ)当p是奇素数时,α≥2,∵(pα－1,p－1)＝1。由引理6可知:Zw(φ(pα))＝Zw(pα－1(p－1))＝Zw(pα－1)·Zw(p－1)＝p·Zw(p－1)。若方程(1)成立,则p·Zw(p－1)＝p－1,即Zw(p－1)＝1－经检验方程(1)无解。

(ⅱ)当p＝2时,有Zw(φ(2α))＝Zw(2α－1),φ(Zw(2α))＝φ(2)＝1。若方程(1)成立,则Zw(2α－1)＝1,即α＝1。故当α＝1,p＝2,n＝2,方程(1)成立。

当α1,α2,…,αs全都为1时,显然有

若式(1)成立,则

结论与引理3矛盾,因此方程(1)无解。

当α1,α2,…,αs不全为1时,又可以分两种情况讨论:

(ⅰ)当p1,p2,…,ps全为奇素数时,由引理2和

引理6可知:

由引理5可知:

若方程(1)成立,则

化简得

结论与引理3矛盾,则方程(1)无解。

结论与引理3矛盾,则方程(1)无解。

综上所述,得到方程(1)有无穷多个正整数解。

定理2对任意的正整数n,方程

仅有正整数解n＝1。

证明(1)当n＝1时,由函数Zw(n)、φ(n)的定义,有Zw(1)＝1、φ(1)＝1,所以Zw(1)＋φ(1)＝2。

(2)当n＝p时,由引理1和引理4可知

(3)当n＝pα时,由引理1和引理4可知:Zw(pα)＝p,φ(pα)＝pα－1(p－1),则Zw(pα)＋φ(pα)＝p＋pα－1(p－1)。此处对p分两种情况讨论:

(ⅰ)当p是奇素数时,α≥2有p＋pα－1(p－1)＜2pα,即Zw(n)＋φ(n)＜2n。

(ⅱ)当p＝2时,有Zw(2α)＝2,φ(2α)＝2α－1,则Zw(2α)＋φ(2α)＝2＋2α－1,∵2＋2α－1＜2·2α＝2α＋1,∴Zw(n)＋φ(n)＜2n。

当α1,α2,…,αs全都为1时,显然有p1p2…ps＋(p1－1)(p2－1)…(ps－1)＜2p1p2…ps,即Zw(n)＋φ(n)＜2n。

当α1,α2,…,αs不全为1时,又可以分两种情况讨论:

综上所述,方程(2)仅有正整数解n＝1。证毕。

[1] Smarandache F.Only Problems,Not Solutions[M].Chicago: Xiquan Publishing House,1993.

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[6] 范盼红.关于F.Smarandache函数和欧拉函数的三个方程[J].黑龙江大学自然科学学报,2012,29(5):626-628.

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Two Equation of Fake Smarandache Square-free Factor Function and Euler Function

Wang Xihan,Gao Li,Li Guorong,Xue Yang
(College of Mathematics and Computer Science,Yan’an University,Yan’an716000,China)

For any positive integern,the famous fake Smarandache square-free factor functionZw(n)is defined as positive integerm,n|mn,with primary method and fake Smarandache square-free factor functionZw(n)and Euler functionφ(n),this text studies solvability of equationZw(φ(n))＝φ(Zw(n)),and proves that this equation has infinitely many integer solutions.Meanwhile,it discusses the solvability ofZw(n)＋φ(n)＝2n,giving its positive integer solution thatn＝1.

Fake Smarandache square-free factor function;Euler function;Positive integer solution

O156.4

:A

:1004-0366(2016)05-0023-03

Wang Xihan,Gao Li,Li Guorong,et al.Two Equation of Fake Smarandache Square-free Factor Function and Euler Function[J].Journal of Gansu Sciences,2016,28(5):23-25.[王曦浛,高丽,李国蓉,等.伪Smarandache无平方因子函数与Euler函数的两个方程[J].甘肃科学学报,2016,28(5):23-25.]

10.16468/j.cnkii.ssn1004-0366.2016.05.006.

2016-04-13;

:2016-05-26.

陕西省科技厅科学技术研究发展计划项目(2013JQ1019);延安大学校级科研计划项目-引导项目(YD2014-05);延安大学研究生教育创新计划项目.

王曦浛(1990-),女,陕西乾县人,硕士研究生,研究方向为数论.E-mail:648034259＠qq.com.

高丽.E-mail:yadxgl＠163.com.