高中三角函数内容深度的实证研究——基于大学数学专业的学习

佘 丹



高中三角函数内容深度的实证研究——基于大学数学专业的学习

佘 丹

（南京师范大学，江苏南京 210097）

基于大学数学专业的学习，从课程标准、高考命题、大学生数学水平3个方面对高中三角函数内容深度进行定量分析和定性分析．三角函数的定义、三角公式的灵活运用未达到大学要求的水平，而课程标准删除的积化和差、和差化积公式、万能公式、余切函数等在大学数学专业学习中有着重要作用．

课程标准；高考命题；大学生；三角函数

1 研究背景

目前较多大学数学专业学生因对中学的一些基础知识不熟悉，上课出现听不懂或反应迟缓的现象，使得教师需花时间去讲中学知识，影响了课堂成效[1~4]．因为此，基于大学数学专业的学习，研究高中三角函数内容深度能对课程建设提供一定建设性的参考．包括课程标准（以下简称标准）、高考命题、大学生数学水平3个方面三角函数内容深度的研究，结合调查做初步探讨．

2 研究概况

2.1 教材的选择

高中三角函数内容以人教A版教材为标准，大学数学专业三角函数相关内容以华东师范大学数学系编写的数学分析教材为标准．

2.2 研究的内容与方法

2.2.1 标准中三角函数内容深度研究的内容与方法

知识的深度指对知识的掌握程度，标准中的目标包括3个方面：知识与技能，过程与方法，情感、态度、价值观，其中前两方面都可用来刻画对知识要求的深度，称为结果性目标和过程性目标．参考布鲁姆认知水平，按标准中的分层[5]，对结果性目标分为3个水平，分别赋值1、2、3，过程性目标分为两个水平，分别赋值1、2，具体规定见表1[8]．

表1 课程目标动词赋值

对每个知识点采用累加法对其深度赋值，以该值作为该知识点的深度．例如，“根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法”采用累加法赋值为1+2+1=4．标准对目标的描述分为两类：一类是要求在经历某个过程后，认知某个数学知识；另一类是要求通过实例或操作认知某个数学知识．不管是经历过程还是通过操作都是对知识的深度有更高要求，因此这种累加赋值是合理的．

2.2.2 高考命题三角函数内容深度研究的内容与方法

以全国自主命题的16个省市近3年的高考题（均为新课标卷）为研究对象（四川、重庆两省2010年才进入课改，对这两省的高考题只选取2013、2014年研究），选出其中涉及三角函数的题目，根据SOLO理论评价试题设置的难易程度．表2是根据SOLO分类评价理论将观察到的学习结果分成5个层次水平[6]，这5种结构水平代表学生思维发展的5个阶段，反映了试题编制所对应的5个水平．下文用0-水平、1-水平、2-水平、3-水平、4-水平，分别对应前结构水平、单一结构水平、多元结构水平、关联结构水平、扩展抽象水平．依据SOLO理论对每个知识点不同水平的界定标准，判断该题所涉及的知识点及所考查的水平，若一道题考查了多个知识点，则在每个知识点下均算一题．SOLO理论的各个水平及其表现见表2[6]．

表2 SOLO理论的各个水平及其表现

2.2.3 大学数学专业学生三角函数知识深度研究的内容与方法

访谈某师范大学（省属一类院校）数学系教数学分析的教师，以了解数学专业大学生的学习现状，根据访谈结果，设计调查问卷，在福建省一所重点大学数学专业大一、大二、大三学生中进行调查，这些学生具有较高的数学水平，且来自全国各省市，所学的是新课改后的教材（剔除所学是课改前教材的被试），其三角函数的教与学情况有一定的代表性．正因为此，问卷调查的结果可与标准及高考命题的研究结果作比较．

问卷设计旨在了解大学数学专业学生三角函数知识的学习情况，分为两个部分，第一部分一共4道题，是为了解学生在高中阶段对标准中未涉及的三角函数相关知识点的学习情况．第二部分一共7道题，是为测试学生对三角函数知识点掌握的水平，其中第一道题是关于三角函数本质的理解，第二道题是三角函数定义的叙述，第三道题是三角函数图象与性质的分析，第四道是关于辅助角公式的应用，第五至七道是关于三角公式的灵活运用，对三角公式灵活运用的题目从易到难，以大学对三角式化简的要求来设置[7]．被试在独立、闭卷的环境下完成测试卷，保证了测试结果的可信度．

3 研究结果与分析

3.1 标准中三角函数内容深度的研究结果与分析

如前所述，统计标准中“三角函数”部分知识点对应的深度赋值，见表3．结果显示，标准对三角函数的定义、图象与性质要求较高，在结果性目标上都达到了理解及以上水平；对三角恒等变换相关公式的要求达到了4，是结果性目标中最高水平；对三角公式的运用达到2，是中等水平；没有提到反函数的性质、万能公式；积化和差、和差化积公式没有明显体现，在简单的三角恒等变换中以例子给出，对其要求较低．

表3 标准中“三角函数”知识点及其深度赋值

3.2 高考命题三角函数内容深度的研究结果与分析

根据SOLO理论，得到各省高考题三角函数各知识点在各水平的题量，综合各省的统计结果，得到全国自主命题的16个省市高考题中三角函数各知识点各水平的总题量，计算百分比，统计结果见表4．

表4 全国自主命题的16个省市高考题关于三角函数各知识点深度所占比例

其中，对三角函数定义的考查处于1-水平，即特殊角的三角函数值，属于纯粹记忆，未考查到本质．对三角函数图象的考查达到了4-水平，集中在3-水平，说明对三角函数图象的考查较为深入，学生若能掌握由的伸缩变换过程，自然会，，的图象以及推理能力和应用意识．对三角函数性质的考查达到了3-水平，集中在1-水平和2-水平，即三角函数性质的直接运用和性质的直接运用，已达到大学数学专业学习的要求．对三角公式的灵活运用达到了4-水平，但所占比例极少，主要集中在1-水平和2-水平，即三角公式的直接运用或多个三角公式同时运用，大学数学专业需要对三角公式灵活运用，此水平是不够的．

3.3 大学数学专业学生三角函数知识深度的研究结果与分析

第一部分发放问卷283份，有效问卷269份．根据统计结果得各知识点各水平人数所占百分比，见表5．

表5 大学生三角函数部分知识点学习的深度

根据表5，被试高中阶段都接触过反函数、余切函数、正余割函数、积化和差公式、和差化积公式、万能公式，且各层次水平人数都不少，由于被试来自全国各省市，受教育的水平和环境不同，因此数据较为分散，说明虽然这些知识点在标准中已删除，但中学教师仍会适当补充．

具体来说，对反函数，几乎所有被试都了解，但极少数更深入地学习过反函数存在的条件及互为反函数的函数间的关系．互为反函数的函数间的关系能从本质上帮助学生理解反三角函数的图象与性质，该知识的薄弱会影响大学反三角函数积分性质的学习．对余切、正割、余割函数，大学要求不高，只需知道其定义，尚有33.8%的被试没有听过．对积化和差公式、和差化积公式，67.7%的被试在高中阶段学过且被要求记忆，32.3%的学生没学过或不了解，还需改进．而万能公式，在大学有着重要作用，但62.1%的被试对其完全没学过或不熟悉．

第二部分发放问卷121份，有效问卷114份．按照SOLO理论对每个知识点不同水平的划分，数据统计结果如表6所示．对三角函数定义的理解，只有22.8%的被试能理解三角函数既是数集到数集的对应，也是角到比值的对应，且是多对一函数，大多数被试还处于1-层次，只能理解其中一点．对三角函数的定义，虽中学要求掌握，但只有39.5%的被试能够准确写出定义，说明学生对三角函数定义的掌握是不好的．对三角函数的图象与性质，52.6%的被试能想到3条以上，近半数对其不熟悉．对三角公式及辅助角公式的运用，大多数被试能化简至较简形式，但只有半数能得到最后结果，究其原因，可能是辅助角公式是教师额外补充的，标准中未作要求，所以被试掌握不够，难以进行最后一步化简．对三角公式的简单运用、灵活运用和技巧性运用，大多数被试都能掌握两角和差公式及拆角技巧，化简至较简形式，但极少数能得到最后结果，这3道题的最后一步都需要敏锐的观察力、联系的观点方能找出式子特点，可见被试对三角公式运用的基本功不错，但灵活运用的技能有待提高．

表6 大学生三角函数各知识点学习的深度

4 结论与建议

4.1 结 论

研究从3方面着手的结果是一致的，三角函数的定义虽然在标准中处于较高水平，但高考不考，所以学生对三角函数的本质掌握得不好，遗忘较快；三角函数的图象与性质在标准中有较高要求，也是高考考查的重点，因此学生掌握得相对较好；三角公式的灵活运用在标准中处于中等水平，在高考也是公式的直接运用，因此学生能够进行中等难度的三角变形，但不能进一步化简．综上，三角函数的定义虽未直接影响大学数学专业的学习，但其是三角函数图象、性质的来源，间接影响着学生对三角函数的理解；三角函数的图象与性质能较好地满足数学专业的需求；三角公式的灵活运用水平还不够，也影响了学生数学专业的学习．

对于标准未涉及的余切函数、正割、余割函数、积化和差、和差化积公式、万能公式，高考几乎未考，虽然许多教师都会额外补充这些知识，但从知识的系统性看，教师们并未从知识发生发展的角度去教，只是告诉学生结果，未研究其性质和运用．当然，这在有限的课时内是很难完成的．这也影响了数学专业的学习．

4.2 建 议

4.2.1 标准应适当调整三角函数部分内容

标准关于三角函数部分知识的删除对学生后续大学学习造成了一定的影响．因此，对于反函数的概念、存在条件及互为反函数的函数间关系、积化和差、和差化积公式、万能公式等内容，在标准的修订、调整时应给予特别关注和研究，确定取舍．若增加，这些内容宜处于理解独立操作及以上水平．如果学生能够掌握反函数的存在条件及互为反函数的函数间关系，那么大学自学反三角函数的图象与性质只需稍加点拨即可．

4.2.2 高考命题应增加考查三角函数定义的题型

高考命题直接影响着教师教学的内容和难易程度．由于高考不考三角函数定义，导致了学生对三角函数定义的学与练较少而掌握不牢．因此高考应适当增加考查三角函数定义的题目．如在考查解三角形、三角函数和向量相结合、角所在的象限等问题中将原本直接给出的条件如“”换成“角的终边上有一点”．

4.2.3 高中教师应关注学生后续学习的需要并做好高中与大学的衔接

高中教师的教学需立足于学生长远发展，了解高校高数教材，做好高中、大学的衔接．对于三角函数，教师可适当补充反函数的概念、存在条件及互为反函数的函数间关系、积化和差、和差化积公式、万能公式等，讲解时应遵循知识的发生发展过程，切忌对结果直接记忆．另外，还需加强三角化简中常用变形技巧的训练．

4.2.4 大学教师应主动了解中学所学并适当补充相关知识或组织学生自学

大学教师需主动研读中学数学教材，关注学生的认知水平．对高中、大学内容脱节的地方，需适当补充或让学生自学．对于三角函数，大学教师需补充或让学生自学积化和差、和差化积公式、万能公式，并加强对三角化简的训练．

4.2.5 大学生在学习的过程中发现有高中没学到的知识应利用大学资源自学

高校都有机房、图书馆、选修课等资源，学生在学习过程中，发现高中、大学内容脱节的地方，应寻找途径自学．对三角函数，学生需要自学反函数的概念、存在条件及互为反函数的函数间关系、和差化积公式、万能公式，加强三角化简能力．大学微积分计算大多涉及三角化简，也可直接做微积分计算的题目来加强此项训练，如《吉米多维奇习题集》就是不错的选择．

[1] 邱晨辉．中学教师向院士疾呼“救救数学”[N]．中国青年报（教育科学），2014-6版．

[2] 袁洲．大、中学数学教学衔接问题的研究综述[J]．阜阳师范学院学报（自然科学版），2008，（1）：78-81．

[3] 柴俊，路竞，俞曼．高考分数高，大学数学成绩一定好吗[J]．数学教学，2003，（8）：封面．

[4] 潘建辉．大学数学和标准课程下高中数学的脱节问题与衔接研究[J]．数学教育学报，2008，17（2）：67-69．

[5] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出版社，2003．

[6] 刘艳．SOLO分类评价法及其应用研究[J]．宜春学院学报，2008，（S1）：158-160．

[7] 高等师范院校数学分析教学大纲[M]．北京：人民教育出版社，1980．

[8] 吕世虎，刘鹏飞．标准与大纲中函数内容难度的比较研究[J]．数学教育学报，2010，19（3）：63-66．

[责任编校：周学智]

Empirical Study on the Depth of Content of High School Trigonometric Function Based on University Mathematics Study

SHE Dan

(Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Based on university mathematics study, this paper studies the depth of Content of the high schooltrigonometric function from the curriculum standard, the proposition of college entrance examination and the level of College Students’ Mathematics. Quantitative and qualitative analysis have been both made more in details. The results shows that the depth of Trigonometric function’s definition and the flexible use of triangle formula did not meet the requirements of the university level, while product to sum and difference product formula, universal formulas for trigonometric transform, cotangent function which were deleted by the curriculum standard play an important role in the study of college mathematics majors.

curriculum standard; proposition of college entrance examination; level of college students’ mathematics; trigonometric function

G420

A

1004–9894（2016）06–0085–03

2016–08–10

教育部“南京师范大学卓越中学教师培养改革项目”

佘丹（1991—），女，湖北咸宁人，研究生，主要从事数学课堂教学、数学解题及数学评价研究．