一种基于Choquet积分的不精确推理方法

陈爱霞,梁智勇，冯慧敏

(1.河北大学 数学与信息科学学院，河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北 保定 071002；2.河北省信息工程学校 财务科，河北 保定 071000)



一种基于Choquet积分的不精确推理方法

陈爱霞1,梁智勇2，冯慧敏1

(1.河北大学 数学与信息科学学院，河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北 保定 071002；2.河北省信息工程学校 财务科，河北 保定 071000)

模糊规则是模糊推理中的重要工具之一,它表示了模糊知识的因果关系.在一个模糊规则集中，当模糊命题间存在交互作用时，将参数权重用模糊测度取代，得到了一种基于模糊规则矩阵变换和Choquet模糊积分的模糊推理方法.该方法主要应用在不完全归纳推理中.

模糊测度;Choquet模糊积分;模糊规则矩阵变换

由于人们的主观认识和客观实际之间存在着差异，于是产生了不确定性.目前研究较多的不确定性有随机性、模糊性、粗糙性等.美国教授扎德于1965年发表了《模糊集合论》一文，首次提出了模糊集合的概念，标志着模糊数学的诞生.迄今为止，模糊集理论已经在理论上取得了巨大的发展，并且成功应用到型样识别、控制工程、决策决定等方面.而马利诺于第2年发表模糊逻辑的研究报告，产生了模糊逻辑这门学科.模糊逻辑是研究模糊推理与知识表示的逻辑基础与应用的.1974年，扎德发表关于模糊推理的研究报告，从此模糊推理成了一个热门的课题.

模糊产生式规则简称模糊规则，用以描述模糊的或者不确定性的知识，并且表示了模糊知识之间的因果关系.基于模糊规则的模糊推理是一种常见的推理方法.局部权重、整体权重、阈值、置信度等参数的引入，有效地表示了模糊规则中的模糊性，并且使得推理结果更加合理.目前基于相似性度量的推理是一种常用的推理机制，而模糊集之间的相似度如何定义是基于相似性度量的推理方法之关键.作者Chen[1]将模糊集看作向量，定义了2种模糊集之间相似度的度量方法，实现了医疗诊断系统中的推理.Yeung等[2]给出了模糊集相似度的多种度量方法，并且比较了这些方法的优劣.Chen等[3-4]提出了借助模糊规则矩阵变换实现的不精确推理算法，该算法可将其余条件的真值计算得到.对于不存在循环推理的模糊规则集，Chen[5]提出一种基于加权模糊逻辑的不精确推理方法，因为该算法用模糊数或模糊语言值表示模糊规则参数，使得其更加可行和合理.

本文首先介绍模糊测度、Choquet积分、模糊产生式规则等预备知识，然后提出了一种基于Choquet积分的不精确推理方法，并分析了该方法的复杂度.最后介绍了该方法在不完全知识推理中的应用.

1 预备知识

1.1 模糊测度和Choquet积分

模糊测度是对经典测度的推广，本文只介绍适用于模糊推理的有限集上的模糊测度.

定义1[6]设X是一个非空有限集合，P(X)是X的幂集.若集函数μ∶P(X)→(-∞，+∞)满足：

1)μ(Φ)=0(归零性)；

2)对任意A⊂X，有μ(A)≥0(非负性)；

3)对任意A⊆B,A⊂X,B⊂X,有μ(A)≤μ(B)(单调性)；

则称μ为模糊测度.当μ(X)=1时，称μ为正则模糊测度.在模糊推理中，通常采用的都是正则的模糊测度.

定义2[6]设f为定义在非空有限集合X={x1,x2,…，xn}上的非负函数，μ是P(X)上的正则模糊测度.不失一般性，不妨假定f(x1)≤f(x2)≤…≤f(xn)，且Ai={xi,xi+1,…，xn}，则函数f关于模糊测度μ的Choquet积分定义为

其中f(x0)=0.

1.2 模糊产生式规则

模糊产生式规则，简称模糊规则，用以表示模糊知识之间的因果关系,其基本形式如下：

IFxisATHENyisB

其中,xisA是前提，yisB是结论，A和B是模糊集.也可简写为A→B，意为A导致B.随着知识系统越来越复杂，局部权重、整体权重、阈值、置信度等参数被相继引入到模糊规则中来，这些参数的引入有效地表示了模糊规则中的模糊性，并且使得推理结果更加合理.加权模糊规则主要有以下3种形式.

1)模糊规则的前提是单个模糊命题

R: IFdjTHENdk(CF,GW,λ)

其中，CF为该规则的置信度；λ为阈值，表示该规则在大于阈值时被激活；GW为全局权重，表示该规则在规则集中的重要程度.

2)模糊规则的前提是多个模糊命题的合取

R: IFdj1ANDdj2AND … ANDdjnTHENdk(CF,LW,GW,λ)

这时，记模糊规则的前提为复合条件dj，可将该规则简写为

R: IFdjTHENdk(CF,LW,GW,λ)

3)模糊规则的前提是多个模糊命题的析取

R: IFdj1ORdj2OR … ORdjnTHENdk(CF,GW,λ)

这时，可将该规则等价地写为下面n条规则：

R1: IFdj1THENdk(CF,GW,λ)

R2: IFdj2THENdk(CF,GW,λ)

……

Rn: IFdjnTHENdk(CF,GW,λ)

2 一种基于Choquet积分的不精确推理方法

文中模糊规则集将用一个模糊规则矩阵来表示.笔者知道，在模糊规则集中，经常出现首尾相连的规则，也就是说，某条规则的结论同时可能又是另一条规则的前提.为了方便讨论，本文将模糊规则的前提和结论统称为条件.

下面介绍如何用一个模糊规则矩阵来表示模糊规则集.假设有一个模糊规则集，它包含m个条件，那么与之对应的模糊规则矩阵T便是一个m阶方阵，其中第i行第j列元素为规则IFdjTHENdi的置信度CFk，即T[i,j]=CFk(CFk∈[0,1]).若规则集中不存在IFdjTHENdi这条规则，则T[i,j]=0；显然，对角线元素T[i,i]全为1.举例如下，一个模糊规则集包含以下规则：

R1: IFd1THENd2( 0.3 )

R2: IFd2THENd3( 0.7 )

R3: IFd5THENd4( 0.9 )

R4: IFd6THENd3( 0.6 )

于是，这一模糊规则集便可用下面模糊规则矩阵T来表示：

类似地，用一个m维列向量来表示模糊规则集中m个条件的真值，假设条件di的真值为yi，记作R[i]=yi，yi∈[0,1]，1≤i≤m.上述例子中，若y2=0.3，y4=0.5，y5=0.8，则对应的真值列向量为

R=[0 0.3 0 0.5 0.8 0]T.

在基于Choquet模糊积分的不精确推理方法中，将按照下面的2种情况进行推理.

1)当模糊规则的前提是多个模糊命题的合取时，即模糊规则形式如下.

R: IFdj1ANDdj2AND...ANDdjnTHENdk(μ,CF)

其中，置信度CF属于[0,1]，μ是条件集合{dj1,dj2,…,djn}上的模糊测度，一般由领域专家给出.假定条件dj1,dj2…,djn的真值分别为yj1，yj2，…,yjn,yji∈[0,1],1≤i≤n,那么条件dk的真值为

2)当2条模糊规则具有相同的结论时，即2条模糊规则形式如下.

R1: IFd11ANDd12AND …ANDd1mTHENdk(μ1,CF1)

R2: IFd21ANDd22AND …ANDd2nTHENdk(μ2,CF2)

其中，置信度CF1和CF2都属于[0,1]，μ1和μ2分别是条件集合{d11，d12，…，d1m}和{d21，d22，…，d2n}上的模糊测度.假定条件d11，d12，…，d1m和条件d21，d22，…，d2n的真值分别为y11，y12，…，y1m和y21,y22,…,y2n,y1j∈[0,1],1≤j≤m,y2i∈[0,1],1≤i≤n,那么条件dk的真值为

对于一个推理网络(即首尾连接的模糊规则集)，如果想自动推算出各个中间节点以及顶层假设的真值，那么下面介绍的模糊规则矩阵变换方法便可实现.具体过程如下：假设有一个模糊规则矩阵T和一个条件真值列向量R如下：

其中，矩阵T中的第i行第j列元素tij为模糊规则：IFdjTHENdi的置信度CFk，列向量R的第i(1≤i≤m)个元素yi是条件di的真值(若某一条件的真值未知，则此时该条件的真值设为0).

对模糊规则矩阵T和条件真值列向量R施行如下的矩阵运算可得到一个新的真值列向量R′：

显然，由R推导出的条件真值包含在R′中，此时R′的第i(1≤i≤m)个元素表示条件di的真值.

下面给出基于Choquet积分的不精确推理算法.假定模糊规则集中有m个条件(d1,d2,…,dm)和k个复合条件(dm+1,dm+2,…,dm+k)，记m+k=n，且假定条件di(1≤i≤m)的真值为yi,yi∈[0,1]，那么可得到一个n×n的模糊规则矩阵T.令R和R′是2个n×1的条件真值列矩阵，dj,dt,…,ds是d1,d2,…,dm中的任意条件.

步1：由给定的模糊产生式规则生成模糊规则矩阵T;

步2：计算k个复合条件的真值，然后写出n×1真值列矩阵R

步3：令R′=T*R，若R′=R，转步4；否则令R[q]=R′[q],q=1,2，…，m,转步2;

步4：令R[q]=R′[q],q=1,2，…,m+k,输出R[q],q=1，2,…,m,停止.

例：假定知识库中有如下模糊规则：

R1: IFd1ANDd2THENd4( 0.7 )μ({d1})=0.3,μ({d2})=0.3,μ({d1,d2})=1

R2:IFd3THENd2( 0.6 )

R3:IFd1ORd3THENd5( 0.5 )

且条件d1和d3的真值分别为0.8和0.6.

解：从给定的知识库可发现：该模糊规则集共包含5个单一条件和1个复合条件，于是可得到1个6×6的模糊规则矩阵和2个6维的条件真值列向量R和R′.

对于规则R3，由前面的讨论可将其等价为如下2个规则：

R3a: IFd1THENd5( 0.5 )

R3b: IFd3THENd5( 0.5 )

而规则R1可简写成：

R1:IFd6THENd4( 0.7 )

其中，d6=d1ANDd2，其真值可由下式计算得到：

经过上面分析，最终得到一个6×6的模糊规则矩阵和一个6维的条件真值列向量，如下：

对模糊规则矩阵T和真值列向量R做1次矩阵运算，得到：

由于R′≠R，令R=R′，继续对R进行变换得到

由于R′≠R，令R=R′，继续对R进行变换得到

由于R′≠R，令R=R′，继续对R进行变换得到

由于R′=R，系统完成推理过程，推得条件d1，d2，d3，d4，d5的真值分别为0.8，0.36，0.6，0.319 2，0.4.

假设1个模糊规则集中具有n条规则，并且在1条规则中1个条件只能出现1次，由上面例题可看出由该算法每个节点只能生成1个后继节点，则可得推理过程由模糊规则的数目n限制，即最多需要n+1步即可满足停止条件.

3 结论

当模糊命题之间存在交互作用时，将参数权重用模糊测度取代，提出了1种基于Choquet模糊积分的不精确推理方法.该方法在一些条件的真值给定时，可自动推算出其余条件的真值，主要应用在不完全归纳推理中.

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[10] 王继坤.基于模糊推理的属性值推断[D].保定：河北大学,2008.

(责任编辑：梁俊红)

An inexact reasoning method based on Choquet integral

CHEN Aixia1，LIANG Zhiyong2,FENG Huimin1

(1.Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence，College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding 071002,China;2.Finance Section,Hebei Province Information Engineering School,Baoding 071000,China)

Fuzzy rule,which expresses the causation of the fuzzy knowledge,is one of the important tools in fuzzy reasoning.When the interaction exists among fuzzy propositions in a fuzzy rule set,the parameter weight is displaced by the fuzzy measure,and an inexact reasoning algorithm based on Choquet integral is proposed.This method is mainly used in the incomplete inductive reasoning.

fuzzy measure;Choquet fuzzy integral;fuzzy rule matrix transformation

10.3969/j.issn.1000-1565.2016.06.001

2015-07-01

国家自然科学基金资助项目(61672205)；保定市科技局项目(15ZJ055)

陈爱霞 (1982—)，女，河北保定人，河北大学讲师，主要从事不确定信息处理方面研究.E-mail:aixia_chen@163.com

TP18

A

1000-1565(2016)06-0561-05