级数1/2i=1在鲁津定理和叶果洛夫定理证明中的应用

郑 福，张成林

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州 121003)



郑 福*，张成林

(渤海大学 数理学院，辽宁 锦州 121003)

可测函数;几乎处处收敛；几乎一致收敛；依测度收敛

0 引言

众所周知，学习实变函数论难免要过可测函数这一关，但是刚刚学习实变函数的学生只对连续函数印象深刻，势必对可测函数比较陌生，这样在教学的过程中尽快让学生弄清可测函数和连续函数的关系就比较重要. 由可测函数的定义和拓扑学中关于连续函数的等价刻画易知连续函数必是可测函数. 除此之外，在实变函数论中还给出了可测函数和连续函数更精确的关系，即可测函数必和某一连续函数几乎处处相等，说明可测函数离我们并不遥远，这就是著名的鲁津定理.

学习可测函数，除了需掌握其基本性质和等价定义外，还需掌握可测函数列的收敛性.在当今流行的教材中都会介绍可测函数的三种收敛性：几乎处处收敛、几乎一致收敛和依测度收敛〔1-4〕.由定义和简单推导易知几乎一致收敛蕴含几乎处处收敛，几乎处处收敛蕴含依测度收敛，但反之均未必成立，这样的反例可在文献〔1-3〕中找到. 然而，叶果洛夫和Riesz分别给出合适条件证明了几乎处处收敛蕴含几乎一致收敛和依测度收敛蕴含存在子列几乎处处收敛，这就是实变函数论中熟知的叶果洛夫定理和Riesz定理.

1 鲁津定理

在本文，N代表自然数集，m(A)代表集合A的勒贝格测度.让我们先分析鲁津定理及其证明，为此先介绍一个引理.

引理1 设f(x) 是可测集E上的有界可测函数，则存在简单可测函数列{φn(x)}使得|φn(x)|≤f(x)，且limn→∞supx∈E|φn(x)-f(x)|=0.

证明 首先假设f(x)是可测集E上的非负可测函数.由于f(x)是有界的，故不妨假设f(x)≤j，其中j为某一个固定的正整数.对任意的正整数k和i=1,2,…， j2k，令

则φk(x)≤f(x)且

所以limn→∞supx∈E|φn(x)-f(x)|=0,即引理结论对非负可测函数成立.对一般可测函数可将其表示成正部与负部之差，而正部与负部都是非负可测函数，由上面的证明和简单计算易知引理结论成立.

利用此引理和可测函数的基本知识可证明如下的鲁津定理.

定理1 (鲁津定理)：设f(x)是可测集E上的几乎处处有限的可测函数，则对任给δ>0存在E中的一个闭集F，满足m(EF)<δ,使得f(x)是F上的连续函数.

证明 因为m(E(|f|=+∞))=0，所以不妨假定f(x)是处处有限的.首先设f(x)是简单函数，即

其次，考虑f(x)是一般可测函数的情形.由于可作变换

(1)

因为每个{φk(x)}在F上都是连续的，由一致连续性，易知f(x)在F上连续.

2 叶果洛夫定理

首先给出几乎处处收敛和几乎一致收敛的定义.这两种收敛之间的关系已在引言中给出，在此不再重复.设f(x),f1(x),…,fk(x),…是定义在点集E⊂Rn上的可测函数列.

定义1 若存在E中点集Z，有m(Z)=0，及对每个元素x∈E，有

limn→∞fk(x)=f(x)，则称fk(x)在E上几乎处处收敛于f(x).

定义2 若对∀δ>0，∃Eδ⊂E，使得m(EEδ)<δ，而在Eδ上序列fk(x)一致收敛到f(k)，则称fk(x)在E上几乎一致收敛于f(x).

定理2 叶果洛夫定理)设f(x)，f1(x)，…，fk(x)，… 是可测集E上几乎处处有限的可测函数集，并且m(E)<∞.若fk(x)在 上几乎处处收敛于f(x)，则fk(x)在E上几乎一致收敛于f(x).

(2)

(3)

(4)

(5)

因此可见在Eδ上，fk(x)一致收敛于f(x)，因此fk(x)几乎一致收敛到f(x).

注2. 在式(2)中，我们并没有利用比较难理解的上限集和下限集记号，有些作者〔1-3〕利用这两个记号的目的主要是为了书写上方便，然而却增加了理解证明的难度.定理证明中(3)式之前部分是非常基本的，只用到了数学分析中数列收敛的等价判定方法和简单的测度理论.验证(3)式成立时用到了对于有界单调可测集合列，取极限和取测度可交换顺序，这里用到了定理中的条件m(E)<∞，若没有这个条件，整个叶果洛夫定理就不成立，这样的反例也可在文献〔1-3〕中找到.

这样，我们可以这么来分析叶果洛夫定理的证明.从证明开始到(3)式前面部分，是由条件经过若干步推导得到的；从定理的结论出发，经过若干步推导得到式(4)后面部分；(3)式到(4)式是调整部分，为使条件部分和结论部分能吻合，做了相应调整，即(3)式和(4)式中间的那句话.从而将整个定理证明分成三小部分，先对其单独理解，然后再整体分析，那么证明的思路就清晰了.事实上，这种思想方法在某些重要定理的证明中是普遍使用的，如果能对这种思想方法熟练掌握，既能快速理解某些定理的证明，又能培养自己的分析能力，为今后自己发现某些定理奠定基础.

3 结论

〔1〕程其襄,张奠宙,魏国强.实变函数与泛函分析基础(第三版)〔M〕.高等教育出版社， 2010.

〔2〕郭懋正.实变函数与泛函分析〔M〕. 北京大学出版社， 2009.

〔3〕王声望，郑维行. 实变函数与泛函分析概要〔M〕. 高等教育出版社， 2005.

〔4〕W.Rudin.Real and complex analysis〔M〕. McGraw-Hill, 1973.

〔5〕吴鸿儒,赵焕光.关于可测函数中几个著名定理的等价性〔J〕. 浙江师范大学学报(自然科学版), 1986， 10(1)： 76-80.

〔6〕李贤喻.叶果洛夫定理证明的简化〔J〕.江西师范大学学报(自然科学版), 1986, 10(1)： 27-29.

〔7〕温华永.叶果洛夫定理的一个新证明〔J〕.四川师范大学学报(自然科学版), 2000， 23(6)： 576-577.

〔8〕王申，杨天茁.向量值函数的叶果洛夫定理及等价性〔J〕.吉林师范大学学报(自然科学版), 2003, 24(2)： 68-70.

〔9〕钱伟懿. 关于交错级数的一个审敛准则〔J〕.渤海大学学报(自然科学版)， 2011, 32(1)： 1-4.

ZHENG Fu, ZHANG Cheng-lin

(College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013，China)

measurable function; a.e. convergence; a.e. uniform convergence; convergence with measure

2016-04-08.

国家自然科学基金项目(No:11201037).

郑福(1977-)，男，博士，副教授，主要从事算子半群理论及其应用方面的研究.

zhengfu@amss.ac.cn.

O174.1

A

1673-0569(2016)04-0289-04