不同的问题 同一个模型

李兆龙

从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.

例1 一个转盘被分成2个半圆，分别标为A、B.甲、乙2人玩转盘游戏，规则如下：转动转盘2次，当转盘停止运动时，如果指针指向相同的字母，那么甲得1分，如果指针指向不同的字母，那么乙得1分.做10次这样的游戏，得分高的为赢家.你认为这个游戏规则对双方公平吗？为什么？

【解析】P（指针指向相同的字母）=[12]，P（指针指向不同的字母）=[12]，游戏规则对双方是公平的.

【反思】这个游戏与“抛硬币游戏：抛掷1枚质地均匀的硬币2次，如果2次都出现正面朝上或反面朝上，那么甲得1分，否则乙得1分”是同一个概率模型.

【模型应用】甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定.那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是 .

【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的情况，再利用概率公式即可求得答案.分别用A、B表示手心、手背.画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种情况，

∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是：[48]=[12].

故答案为：[12].

【反思】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.上述问题与抛硬币游戏是同一个概率模型.将“手心手背”看成硬币的正反面，此游戏相当于将1枚均匀的硬币抛掷3次.

尝试练习：交通信号灯，俗称“红绿灯”，至今已有一百多年的历史了.“红灯停，绿灯行”这是我们必须遵守的交通规则.小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口.假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（提示：可以将上述问题看成是抛硬币概率模型的应用.不遇红灯的概率相当于同时抛出3枚硬币时3个反面都朝上的概率，即[18]，至少遇到1次红灯的概率是[78].）

例2 某商场为某品牌冰箱举办有奖促销活动，聘请甲、乙2名员工分别设计抽奖方案，要求是：顾客每购买1台该品牌冰箱可获得1次抽奖机会，其中中大奖的概率为0.1，中小奖的概率为0.9.甲员工给出的设计方案是：准备10张相同的纸条，并在其中1张纸条上画上记号，把它们放在1个盒子中，搅匀后从中任意抽取1张纸条，抽到纸条上画有记号的顾客中大奖，否则中小奖；乙员工给出的设计方案是：在1个盒子中放入2个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到2个红球的顾客中大奖，否则中小奖.

（1）甲、乙2名员工的设计方案符合商场的要求吗？为什么？

（2）请举出一些事件，它们发生的概率都是0.1.

【解析】（1）根据甲、乙2名员工的设计方案，可求得顾客中大奖的概率都是0.1，中小奖的概率都是0.9，甲、乙2名员工的设计方案都符合商场的要求.

（2）例如，把1个转盘分为10个面积相等的扇形，其中红色扇形1个，黄色扇形3个，白色扇形6个，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在红色区域的概率是0.1.

【反思】概率是描述随机现象的数学模型，不同的问题往往可以归结为同一个概率模型.

【模型应用】（2015·江苏徐州）小明参加某网店的“翻牌抽奖”活动，如图，4张牌分别对应价值5，10，15，20（单位：元）的4件奖品.

（1）如果随机翻1张牌，那么抽中20元奖品的概率为 .

（2）如果随机翻2张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总值不低于30元的概率为多少？

【解析】（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用1除以4，求出抽中20元奖品的概率为多少即可，答案为25%.

（2）首先用树状图法列举出随机翻2张牌所获奖品的总值一共有多少种情况，然后用所获奖品总值不低于30元的情况的数量除以所有情况的数量，求出所获奖品总值不低于30元的概率为多少即可.

∵所获奖品总值不低于30元有4种情况：30元、35元、30元、35元，

∴所获奖品总值不低于30元的概率为：[13].

【反思】此题主要考查了概率公式，还可以用枚举法.

课本在估计鱼塘内青鱼的条数问题中，运用“卡通人”的提示：“把鱼塘内的青鱼看成‘红球”“往鱼塘内投放若干条白鱼，把白鱼看成‘白球”，对问题进行转化，让我们感受到不同的问题往往可以归结为同一个概率模型的模型思想.同学们，随着我们知识的学习和积累，我们会认识更多的概率模型，会合理地解释生活中的概率问题，充分感受到不同的问题往往可以归结为同一个概率模型.

（作者单位：江苏省淮安曙光双语学校）