抽签方法合理性的通关攻略

陆振宇

苏科版《数学》教材九年级下册第137页：

我们用抽签的方法从3名同学中选1名去参加某音乐会.事先准备3张相同的小纸条并在1张纸条画上记号，把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，抽中有记号纸条的同学即可参加音乐会，这种方法公平吗？

书上利用画树状图的方法，分别求出了每个人抽到签的概率均为[13].

【反思】抽签虽然有先有后，但是先抽的人与后抽的人中签的概率是相同，这样的抽签方法是合理的.

【实战中考】甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1、2、3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.

（1）求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；

（2）从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜，若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜，试分析这个游戏是否公平，请说明理由.

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜、乙胜的情况，即可求得概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平.

解：（1）∵三个分别标有1、2、3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，

∴从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为[13]；

（2）这个游戏不公平.

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，

∴P（甲胜）=[59]，P（乙胜）=[49]，

∴P（甲胜）≠P（乙胜），

∴这个游戏不公平.

【反思】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，我们可以利用列表格或者画树状图的方法来求出每种情况的概率，概率相等就公平，否则就是不公平.

【平行变式】把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机摸取一张.

（1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率；

（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由.

【分析】（1）用树状图或列表法列出所有可能的情形，找出满足题目要求的情形，再利用公式进行计算；（2）算出各自的概率，如果概率相等，则公平，否则不公平.

解：（1）用树状图列出所有的可能的情形如下：

从树状图可看出一共有9种等可能情况，和为奇数有4种情形，

所以P（和为奇数）=[49].

（2）由于P（和为偶数）=1-[49]=[59]，所以这个游戏不公平.

【方法指导】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识：

公式法：P（A）=[mn]，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数.

列举法（列表或画树状图）的一般步骤为：①判断使用列表或画树状图方法（列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率）；②不重不漏地列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式P（A）=[mn]求事件A发生的概率.

通过上面的分析，我们不难发现中考在这类问题的切入点并不深，相信同学们在认真审题的情况下，解决这类问题会游刃有余.

【综合运用】暑假快要到了，某市准备组织同学们分别到A、B、C、D四个地方进行夏令营活动，前往四个地方的人数如图所示.

（1）去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，根据统计图求去B地的人数.

（2）若一对姐弟中只能有一人参加夏令营，姐弟俩提议让父亲决定.父亲说：现有4张卡片上分别写有1、2、3、4四个整数，先让姐姐随机地抽取一张后放回，再由弟弟随机地抽取一张.若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则姐姐参加，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则弟弟参加.用列表法或树形图分析这种方法对姐弟俩是否公平.

【分析】（1）假设去B地的人数为x，根据去B地参加夏令营活动人数占总人数的40%，进而得出方程求出即可；

（2） 根据已知，列表得出所有可能，进而利用概率公式求出即可.

解：（1）设去B地的人数为x，

则由题意有：[x30+x+20+10]=40%；

解得：x=40.

∴去B地的人数为40人.

（2）列表：

∴姐姐能参加的概率P（姐）=[416]=[14]，

弟弟能参加的概率为P（弟）=[516]，

∵P（姐）=[416]

【反思】此题主要考查了条形统计图以及列表法求出概率和游戏公平性等知识，正确列举出所有可能是解题关键.

（作者单位：江苏省淮安曙光双语学校）