四阶非线性系统的零解稳定性

于霞

【摘要】本文利用类比法构造了一类四阶非线性系统的李雅普诺夫函数，得出了该系统零解稳定的充分条件，解决了相当广泛的一类四阶非线性系统的零解稳定性。

【关键词】四阶非线性系统  稳定性  李雅普诺夫函数

【中图分类号】G64                               【文献标识码】A      【文章编号】2095-3089（2016）11-0252-02

Stability of A Class of Fourth-order Nonlinear System

Yu xia

（Nantong university，Nantong， Jiangsu，226007.，China）

This paper studies the asymptotic stability of the nonlinear fourth order differential equation. By applying the Similitude-comparison method， a theorem of stability in the large of equilibrium position of equation is obtained， and stability of the nonlinear fourth order differential equation is solved.

【Key words】 Nonlinear fourth order differential equation;Tability;Liapunovs function

一、引言

微分方程的稳定性在物理、航天等许多科学领域都得到了非常广泛的应用， 因而对于微分方程的稳定性的研究具有很大的实际意义。本文研究如下的四阶非线性系统：

（1）

其中是依赖于变量的连续可微函数，且为大于零的常数.

文献[1]给出了四阶常系数线性系统李雅普诺夫函数公式，文献[2]应用相应的公式研究了一类四阶非线性系统的平凡解的稳定性，本文将通过类比法来解决一类更广泛的四阶非线性系统的零解渐近稳定性问题.

作变换将系统（1）化成等价系统：

（2）

系统（2）所对应的线性系统为：

（3）

其中均为大于0的常数，且.下面运用类比法得到系统（2）的李雅普诺夫函数，并建立其零解稳定的判别准则.

1. 零解的稳定性

取系统（3）的李雅普诺夫函数为[2]：

应用类比法可得系统（2）的李雅普诺夫函数：

下面我们可以叙述并证明如下结果：

定理1：对于系统（2）， 如果存在常数

及连续可微函数，满足以下条件：

则系统（2）当时零解渐近稳定.

证明：由条件（1）可知当且仅当，从而得出正定.

由条件（1）、（2）、（3）得在.，且集合中不包含除原点外其它轨线，所以系统（2）的零解渐近稳定.

参考文献：

[1]王联，王慕秋.非线性常微分方程定性分析[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987 .

[2]梁在中.关于一类四阶非线性系统李雅普诺夫函数构造的研究[M].应用数学与力学1995.

[3]康慧燕.，斯力更.一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性[J].大学数学2009，25（1）：40-42

[4]李涛，谢景力，孙长军.一类四阶非线性系统的全局稳定性[J].成都大学学报（自然科学版），  2010，29（2）：115-117

南通大学科研基金（03080055）