Grouplet变换原理及技术综述

李斌++李德来++张琼

摘 要

Gourplet变换是一种新的稀疏表示方法，克服了传统Fourier和小波等变换不能很好利用图像几何结构的缺点，从而得到更好的稀疏表示效果。本文首先分析了传统算法在信号稀疏表示上的不足，然后综合介绍grouplet变换原理，对正交Grouplet、紧支撑Grouplet、小波Grouplet等原理进行分析。

【关键词】稀疏表示 Grouplet 关联场 几何结构

1 引言

数据的稀疏表示有利于数据的压缩、分析和处理，是应用数学和信号处理领域研究的一个热点。其核心思想是在能完全刻画信号特征的空间中（时域、频域、时-频域、时-频-空域等）寻找一组“完备基（B={gm}m）”，使得信号f在该基上的投影（fi=）只存在少数几个大的分量，其它分量都为零或者接近零。

Wavelet变换由于其基存在有限阶消失矩和时频紧支撑特性，对于存在有限个奇异点的一维信号能够得到稀疏表示，同时可以得到信号的时频分布，较好地弥补了Fourier变换的不足。但是对于存有有限长度不连续的图像，小波基的效果也并不理想。

为了得到更理想的稀疏表示，Mallat 在文献[1]中提出了Gouplet变换的概念，并构造了正交Grouplet 和紧支撑Grouplet，更好地利用了图像的几何结构。相比于其它的调和分析基，Grouple变换充分利用了图像本身的几何结构，更加灵活，因此可以得到更理想的效果。

2 Grouplet理论和算法流程

Grouplet提出了一种“关联场（Association Field）”的概念，使Grouplet基不仅能逼近小区域内任意形状的几何流（包括图像中的交叉点），而且能逼近图像中关联性很长的几何结构。下面对Grouplet的三种类型分别进行分析。

2.1 正交Grouplet

受到Haar变换的启发，正交Grouplet的构造可以用类似Haar变换的公式来完成。 在尺度2°上，令，矩阵s[n]用于表示每个的平均支撑区间大小。初始化时，由于是由一个f[n]得来的，所以s[n]=1。在尺度2j上，Gj-1被分解为Gj和，对于得到的，，有：

基于正交Grouplet图像分解和Grouplet基的例子如图1所示。图1（b）（e）分别为J=6个不同尺度的变换系数得到的图像，黑、灰、白分别代表变换系数为负、零、正。从（b）（e）中可以看出，大部分系数都为零，说明该正交Grouplet变换能得到稀疏的表示。图（c）给出了Grouplet基在几个尺度下的形状。

2.2 紧支撑Grouplet

正交Grouplet变换严格的正交性使其丧失了“移不变”特性，从而造成其在诸如去噪和计算机图形应用等方面达不到理想的效果。为了解决这个问题，Mallat提出通过在原网格中用点m的偏序来取代网格的分割，用伪距离d和块匹配的方法来进行关联场的计算。

算法刚开始时在尺度2°上，令，s[n]=1。在j从1到J的不同尺度下，如果，则有：

图2为分别应用正交Grouplet和紧支撑Grouplet对图像进行相同门限（3σ）下去噪的结果。（a）原图；（b）为加入噪声后的图像（PSNR=26dB）；（c）为正交Grouplet系数；（d）为紧支撑Grouplet系数；（e）（f）分别对应相同门限处理方法对；（c）（d）处理后重建的图像。其中（e）的PSNR=27.3dB，（f）的PSNR=29.5dB。可以看出紧支撑Grouplet去噪效果要明显好于正交Grouplet。

2.3 Wavelet Grouplet

由于Wavelet变换已经可以得到图像的系数表示，只是在图像的边缘处Wavelet系数较大。对于三个方向的小波分量可以分别应用不同的点集分割方式。如对于k=1方向的小波系数分量，由于大的小波系数对应图像中“沿垂直”方向的几何正则性，可以对该方向的小波系数采用行分割的方法进行关联场的计算和Grouplet变换；对于k=2方向的小波系数分量，由于大的小波系数对应图像中“沿水平”方向的几何正则性，可以对该方向的小波系数采用列分割的方法进行关联场的计算和Grouplet变换；对于k=3方向的小波系数分量，由于大的小波系数对应图像中“沿水平和垂直”方向都存在的几何正则性，可以对该方向的小波系数采用行或者列分割的方法进行关联场的计算和Grouplet变换。对实际图像的分解结果如图3所示。

这种变换对应的基可以表示为：

3 结论

本文介绍了Grouplet相对于常规Fourier变化和wavelet变化在数据稀疏表示方面的优势。分析了三种典型的 Grouplet类型，正交Grouplet变化可看成有Haar 小波基演变而来；紧支撑Grouplet克服了正交Grouplet变换严格的正交性，在诸如去噪和计算机图形应用等方面的效果更加理想。Wavelet Grouplet 则是在wavelet 的基础上对小波分解的4个主方向 采用列分割的方法进行关联场的计算和Grouplet变换得到。并对各个过程给出了试验结果。

参考文献

[1]Stéphane Mallat，Geometrical grouplets，Appl.Comput.Harmon. Anal.26（2009）161-180.

[2]Aldo Maalouf， and Mohamed Chaker Larabi，Grouplet-Based Color Image Super-Resolution，17thEuropean Signal Processing Conference，August 25-28th，2009.

[3]Yao B，Li F F. Grouplet：A structured image representation for recognizing human and object interactions[C]. IEEE，2010：9-16.

[4]Maalouf A，Larabi M C，Fernandez-Maloigne C.A grouplet-based reduced reference image quality assessment[C].International Workshop on Quality of Multimedia Experience. 2009：59-63.

[5]Weisberg M K，Prinz M，Clayton R N， et al.A new metal-rich chondrite grouplet[J].Meteoritics & Planetary Science， 2001，36（03）：401-418.

[6]Yan J，Wang Z，Dai L，et al.Image denoising with Grouplet transform[C]. Advanced Computer Control （ICACC）， 2010 2nd International Conference on.IEEE，2010：65-69.

作者简介

李斌（1981-），男，湖北省人。硕士学位。现为汕头超声仪器研究所有限公司高级工程师。主要研究方向为医用超声信号处理。

单位简介

汕头超声仪器研究所有限公司 广东省汕头市 515041