第三讲函数及其图像

文/王友峰

第三讲函数及其图像

文/王友峰

函数及其图像是初中数学的核心知识，是中考的重点，现以2015年中考题为例，把常考的知识点归纳如下，供你复习时参考．

考点1直角坐标系与点的坐标特征

例1（1）（2015年威海卷）若点A（a+1，b-2）在第二象限，则点B（-a，b+1）在（）．

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（2）（2015年南京卷）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，-3），作点A关于x轴的对称点，得到点A忆，再作点A忆关于y轴的对称点，得到点A义，则点A义的坐标是（，）．

解析：（1）由A（a+1，b-2）在第二象限，得a+1＜0，b-2＞0，即a＜-1，b＞2．

由不等式的性质，得-a＞1，b+1＞3，∴点B（-a，b+1）在第一象限．选A．

（2）∵点A（2，-3），∴A忆（2，3），点A忆关于y轴的对称点A义为（-2，3）．

温馨小提示：解决这类问题的关键是掌握点所在象限（或坐标轴）的对应关系以及对称点的坐标特征.

考点2确定函数自变量的取值范围

解得x≥-1且x≠0．

温馨小提示：求函数自变量的取值范围要注意：（1）分母不能为0；（2）偶次根式的被开方数必须非负；（3）零指数或负整数指数幂的底数不能为0；（4）自变量的取值不能使实际问题失去意义.当函数关系式同时有几种形式出现时，先求出各代数式中的取值范围，再取其公共部分，公共部分就是自变量的取值范围.此外，要注意“或”与“且”的区别.

考点3用函数图像描述有关信息

例3（2015年聊城卷）小亮家与姥姥家相距24km，小亮8∶00从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈8∶30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S（km）与北京时间t（时）的函数图像如图1所示．

图1

根据图像得到下列结论，其中错误的是（）．

A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h

B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家

C．妈妈在距家12km处追上小亮

D．9：30妈妈追上小亮

解析：从图像可知，小亮去姥姥家所用时间为10-8=2小时，24÷2=12（km/h），故结论A正确；妈妈到姥姥家的时刻t=9.5，小亮到姥姥家的时刻t=10，10-9.5=0.5（小时），故结论B正确；当t=9时，妈妈追上小亮，此时小亮离家的时间为9-8=1小时，∴小亮走的路程为1×12=12km，∴妈妈在距家12km处追上小亮，故结论C正确；当t=9时，妈妈追上小亮，故结论D错误．选D．

温馨小提示：利用函数图像描述实际问题，需要正确理解函数图像横、纵坐标表示的意义和函数图像的走向.解答与日常生活相关的问题，要充分利用生活经验来帮助思考.

考点4一次函数的图像及其性质

解析：方法1（推理法）：由k-1≥0且k-1≠0，得到k＞1，∴k-1＞0，1-k＜0，

∴图像经过第一、三、四象限.选A．

方法2（特值法）：由k-1≥0且k-1≠0，得到k＞1，取一个满足要求的k值代入，如取k=2，则y=x-1，作出草图可知其图像经过第一、三、四象限．选A．

温馨小提示：一次函数y越kx垣b（k≠0）中k、b的符号决定图像的位置，当k＞0，b＞0时，图像经过第一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，图像经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，图像经过第一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，图像经过第二、三、四象限.对于含字母的函数图像识别问题，可以运用推理的方法，也可以借助特殊值来确定答案.

考点5反比例函数的图像及其性质

例5（2015年永州卷）已知点A（-1,y1），B（1，y2），C（2，y3）都在反比例函数y越（k＞0）的图像上，则（填y1，y2，y3）.

解析：∵点A(原1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在y越上，

∴y1=-k，y2=k，y3=，∵k＞0，

温馨小提示：比较反比例函数图像上点的纵坐标的大小问题，要分同一象限和不同象限内的点分别比较，同一象限内的点可根据增减性比较大小，不同象限的点可根据纵坐标的正负性进行比较.

考点6反比例函数k的几何意义

例6（2015年日照卷）如图2，在平面直角坐标系中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点云在x轴的正半轴上，点悦在边DE上，反比例函数y越（k≠0，x＞0）的图像过点B、E，若AB越2，则k的值为

解析：设耘（a，a），

∵四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，AB越2，

∴B（2，a+2），

图2

图3

温馨小提示：如图3，S矩形PMON=渣k渣；S△OEF=EF·OF=这是双曲线的两个重要性质，它可巧解与双曲线上的点有关的面积问题.

考点7二次函数的图像及其性质

图4

例7（2015年潍坊卷）已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图像如图4所示，顶点为（-1，0），下列结论：①abc＜0；②b2-4ac=0；③a＞2；④4a-2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵对称轴在y轴左边，亦b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在（0，2）的上方，

∴c+2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；

∵抛物线与x轴只有一个交点，∴Δ=0，即b2-4a（c+2）=0，b2-4ac-8a=0，

∴b2-4ac＞0，∴结论②不正确；

∴4a2-8a＞0，即a＞2，结论③正确；

∵对称轴是x=-1，而且当x=0时，y＞2，∴当x=-2时，y＞2，

∴4a-2b+c+2＞2，∴4a-2b+c＞0．∴结论④正确．选B．

考点8求函数解析式

故两个函数分别为y=

温馨小提示：用待定系数法求函数解析式是最常用的方法，根据已知条件灵活选择解析式是解题的关键.

考点9图像的平移

例9（2015年荆州卷）将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）．

A.y=（x-1）2+4B.y=（x-4）2+4C.y=（x+2）2+6D.y=（x-4）2+6

解析：∵y越x2-2x垣3越（x原1）2+2，

∴平移后的解析式是y越（x原1-3）2+2+2=（x-4）2+4．选B.

温馨小提示：二次函数图像的平移，实质上是顶点坐标的平移，只要确定平移前后的顶点坐标，就可以写出平移后抛物线的解析式.平移具有如下规律：左、右平移是横坐标变化，左移加，右移减；上、下平移是纵坐标变化，上移加，下移减.

考点10函数的应用

例10（2015年襄阳卷）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒.

（1）试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元.

如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么每天至少销售粽子多少盒？

解析：（1）y=700-20（x-45）=-20x+1600；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x2+2400x-64000=-20（x-60）2+8000，

∵x≥45，a=-20＜0，∴当x=60时，P有最大值，最大值为8000元.

即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润最大，最大利润为8000元.

（3）由题意，得-20（x-60）2+8000=6000，解这个方程得x1=50，x2=70.

∵抛物线P=-20（x-60）2+8000的开口向下，

∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.

又∵x≤58，∴50≤x≤58.

在y=-20x+1600中，k=-20＜0，

∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y有最小值，

最小值y=-20×58+1600=440.即超市每天至少销售粽子440盒.

温馨小提示：由“利润=（售价-进价）×售量”建立函数关系式，再利用二次函数的性质、一次函数的增减性以及一元二次方程求解.利用一次函数的性质解决实际问题时，常常需要利用方程（组）或不等式等知识.解决这类最值问题时，要建立相关的函数解析式，应用函数性质得到答案.

责任编辑：王二喜