导学引路反思通幽拓展入胜——以“角的平分线的性质（1）”为例

于彬（山东省东营市胜利第六中学）

导学引路反思通幽拓展入胜
——以“角的平分线的性质（1）”为例

于彬（山东省东营市胜利第六中学）

“反思”教学法自2009年开始实践和研究以来，取得了一系列的成果.结合“角的平分线的性质（1）”对“反思”教学法的设计思路进行初步梳理：导学引路；反思通幽；拓展入胜.

“反思”教学法；角的平分线的性质；教学案例

一、缘起

“反思”教学法自2009年开始实施和研究以来，取得了一系列的成果：2011年成功立项于山东省教育科学十二五规划重点课题，且于2015年7月顺利结题；在山东省东营市首届优秀教学法评比中获一等奖.笔者于2015年10月参加东营市青年教师优质课评比，利用“反思”教学法设计的“角的平分线的性质（1）”获得优异成绩，下面结合该教学案例对“反思”教学法进行简单介绍，并对其设计思路进行初步梳理.

二、教学案例

1.教学内容

人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十二章第三节“角的平分线的性质（1）”，在教材的第48～50页.

2.教学背景

（1）标准分析.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对本节课教学内容的要求如下.

①能用尺规完成以下基本作图：作一个角的平分线；

②探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

可以看出“能”属于描述结果目标的行为动词，且属于较高层级的要求；“证明”也属于描述结果目标的行为动词，而“探索”则属于描述过程目标的行为动词，两者都是很高的层级要求，因此在教学过程中应引起教师的足够重视.

（2）教材分析.

本节课的教学内容是学生在小学阶段对角平分线有了感性认识，进入初中学习了全等三角形的相关知识以后，对角平分线的相关内容（尺规作图、性质）的进一步学习，为后续学习线段垂直平分线的性质提供了研究思路和方法，同时又为证明线段相等、角相等提供了新的工具，在教材中起到了“源于全等，超越全等”的承前启后的重要作用.

本节课主要包括两个知识点：

①用尺规作一个角的平分线；

②角平分线所具有的性质.

对于第一个知识点学生在小学阶段就已经知道了角平分线的概念，虽然如何用尺规严格作出一个角的平分线对学生的理解可能会有一定的难度，但是通过阅读教材和合作交流的方式是可以自主解决的；对于第二个知识点关键是学生能否将性质定理的证明和前面所学习的全等三角形的相关知识建立联系，进而对性质定理给出证明.因此，本节课的教学重点是：探索并证明角的平分线的性质.

（3）学情分析.

学生在小学阶段对几何的学习主要是实验几何的范畴，进入初中，通过对平行线、全等三角形的学习，虽然对论证几何有了一定的认识，但是学生并没有形成严密的推理能力，演绎推理的能力较差，再加上部分学生对前面全等三角形的相关内容掌握得并不熟练，特别是对相关定理的三种语言不能灵活转化，因此本节课的教学难点是：将文字语言形式给出的角的平分线的性质定理转化为符号语言，并给出严格证明.

3.教学目标

结合《标准》及学生的实际情况，和本节课的教学内容特制订如下教学目标.

（1）通过阅读教材和合作交流，能用尺规作图作出一个角的平分线，并说出每一步的作图依据；

（2）通过动手实验、画板演示和几何推理，探索并证明角的平分线的性质，并能利用性质解决简单的问题；

（3）在问题解决过程中体会数学的严谨性，在小组交流和自主探索中体验成功的乐趣.

4.教学结构

“教师主导”主线：创设情境→尝试解疑→揭示规律→解决问题→变式训练→达标检测.

“学生反思”主线：疑点反思→问题反思→达成反思→应用反思→方法反思→总结反思.

本节课的教学结构如下.

在教学过程中主要采用学校的“反思”教学法，通过“教师主导”和“学生反思”这两条主线，真正把“教师为主导，学生为主体”的新课程理念渗透到教学过程的各个环节中，以教师反思为出发点，学生反思为着力点，从而实现“两能”到“四能”的重大突破，即在培养学生分析问题和解决问题能力的基础上，进一步培养学生发现问题和提出问题的能力.

在学法上主要采用小组合作和自主探究的学习方式，力求培养学生自主学习的能力和在现实生活和学习中合作的态度和意识.

5.教学过程

（1）创设情境，疑点反思（预设时间3分钟）.

问题：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？

反思1：你能评价这些方法吗？在生产生活中这些方法是否可行？

【设计意图】《标准》指出：呈现内容的素材应该贴近学生的现实，学生的现实主要包括生活现实、数学现实和其他学科现实.这里以“数学现实”的形式引入新课，意在培养学生的数学思维；通过反思1引导学生产生疑惑，从而对本节课的学习内容产生浓厚的兴趣，进而快速融入本节课的学习.

（2）尝试解疑，问题反思（预设时间6分钟）.

导学1：阅读教材第48页的第一个思考和角的平分线的作法，完成下列问题.

（1）角平分仪器的数学道理是什么？你能说清楚吗？和同桌交流一下.

（2）按照三个步骤，动手作任意一个角的平分线，并说出每一步的作图依据.

【设计意图】本环节的导学1的第（1）小题意在培养学生的阅读能力和学生的思维能力，学生在同桌交流的基础上进行全班展示，教师进行适时评价和点拨；导学1的第（2）小题意在培养学生的动手能力，使学生在安静的作图环境中思考作图依据，最后请一位学生到讲台上边讲边画，引导学生体会数学思维的严密性.

拓展1：古希腊数学家欧几里得（公元前330年—公元前275年）最早在其著作《几何原本》中给出了尺规作一个角的平分线的方法，学生可以在课下查阅相关资料，了解更多与尺规作图有关的知识.

【设计意图】引入相关数学史的知识，意在培养学生欣赏的眼光，同时培养学生学习数学的乐趣.

（3）揭示规律，达成反思（预设时间12分钟）.

导学2：（1）画一画.在上述作图的基础上，完成第48页的第二个思考.

（2）猜一猜.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

（3）验一验.通过几何画板软件演示.

（4）证一证.条件：如图1，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，结论：PD=PE.

图1

反思3：证明一个文字叙述的几何命题时，步骤有哪些？

【设计意图】通过“画一画、猜一猜、验一验、证一证”四个环节引导学生在动手实验、画板演示和几何推理中探索并证明角的平分线所具有的性质，环节（3）通过几何画板软件动态演示，引导学生初步验证猜想的正确性，同时体会几何严格证明的必要性；环节（4）应引起足够的重视，应该引导学生在分清条件和结论的基础上，根据图形，写出符号语言，并结合三角形全等的知识给出证明，意在培养学生的几何推理能力.反思3引导学生总结证明文字叙述的命题时的一般步骤.

（4）解决问题，应用反思（预设时间6分钟）.

例（教材第50页例题）如图2，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.

图2

反思4：角的平分线的性质的作用是什么？

【设计意图】通过例题的讲解初步巩固角的平分线的性质，在讲解之前教师先让学生独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，重点引领学生体会辅助线的作法，并板演证明过程.通过反思4意在引导学生体会角平分线的性质在证明线段相等（角相等）时所起的简捷作用，领会“源于全等，超越全等”的内涵.

（5）变式训练，方法反思（预设时间5分钟）.

①判断，并说明理由.

如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE.

图3

如图4，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，则PD=PE.

图4

如图5，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为点D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.

图5

②如图6，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB=FC.

图6

【设计意图】通过第①题引起学生对角的平分线的性质中条件的注意，通过第②题引导学生用角的平分线的性质解决相关的数学问题.

（6）总结反思，达标检测（预设时间8分钟）.

总结反思：

①知识；②思想（转化）；③有待继续研究的问题.

【设计意图】引导学生在知识总结的同时，注意思想方法（转化）的总结，在“授之以鱼”的基础上“授之以渔”，使学生真正掌握解决问题的方法，引导学生将本节课所学性质定理的条件和结论互换是否仍然成立，进而做好下节课的预习工作.

达标检测：

（1）P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C，D.下列结论不一定成立的是（）.

（A）∠AOP=∠BOP（B）PC=PD

（C）∠OPC=∠OPD（D）OP=PC+PD

（2）一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离为50米，则它到公路n的距离是________.

（3）如图7，在△ABC中，∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.

图7

【设计意图】通过第（1）小题考查学生对角平分线性质的理解情况；通过第（2）小题考查学生运用角的平分线的性质解决简单实际问题的能力；通过第（3）小题进一步培养学生几何推理的能力.在学生做题过程中，教师来到学生中间巡视，试图发现学生存在的典型错误，并通过投影仪展示部分学生的完成情况，边投影边讲解，做到有目的性、有针对性，力争使学生做到“堂堂清、步步清、人人清”.

布置作业：

必做题：

教材第50页练习第1题；第51页习题第4，5题.

选做题：

拓展2：角的平分线的性质可以解决现实生活中的相关问题，请同学们课下查阅相关资料，在下次上课时互动交流.

每日一思：

每日一思知识思想易错点

【设计意图】通过分层作业的设置，对不同的学生提出不同的要求，使“不同的学生在数学上得到不同的发展”；通过每日一思引导学生进一步反思所学内容，在对知识和思想总结的同时，特别注意对易错点的总结，进而养成良好的反思习惯.

6.板书设计

本节课的板书设计如下.

12.3角的平分线的性质

【设计意图】板书作为传统的教学媒体在教学过程中发挥着新兴教学媒体所不可替代的作用，在板书设计时，力求做到结构清晰，重点突出，便于学生课上记录和课下复习.

三、几点思考

1.导学引路

笔者听过很多公开课，大多以新课程理念为“借口”，把课堂还给学生，殊不知在课堂教学中，学生由于任务目标不明确，大多无所适从，不知如何下手，因此课堂教学并没有收到预期的效果.

在设计导学环节时首先考虑学生的实际认知情况，也就是说用来设计导学环节的知识应该是学生通过阅读教材、动手操作、独立思考就可以解决的简单内容，符合学生的“最近发展区”.例如，本课例中设计的导学1和导学2都是学生“触手可及”的，“看的见、摸的着”的基础知识.在设计导学环节时应该做到任务明确、目标清晰，让学生知道如何下手，达到一个什么目的，而不是模棱两可.例如，本节课的导学1就以任务清单的形式给出，导学2结合教材的“思考”进行设计，简洁明了，可操作性强.因此，导学环节在课堂教学中起到了“基础性、奠基式”的作用，重在铺好路子，引导学生“走向”知识.

2.反思通幽

反思是以元认知理论为基础的，而元认知是对认知的认知，可以理解为“以旁观者的角度审视自己的行为”.反思对于教师的重要性不言而喻，“经验+反思=成长”，这是波斯纳的教师成长公式；反思对于学生同样不可小觑，反思即批判性思维，而批判性思维的同义词就是创新意识，《标准》更加重视对学生学习习惯（认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑）的培养，反思恰在其中.

本课例共设计了4个反思性小问题，以及最后的总结反思和每日一思，可以说意图是非常明确的，那就是把学生的思维引入深处，进而达到“通幽”的目的，从而触及知识的核心.反思环节的设置可以是和学生的实际认知产生矛盾，从而激发兴趣，如反思1；反思环节的教学中尤其需要教师的引领和点拨，如反思2和反思4；反思环节的设置也可以引导学生进行阶段总结和最终总结，如反思3、总结反思和每日一思.

3.拓展入胜

《标准》更加重视对学生情感、态度、价值观的培育，更加重视对学生数学学习兴趣的培养，在许多教学目标中也都有所涉及，然而情况并不乐观.

本课例在设计时共设计了2个拓展环节，意在真正培养学生学习数学的兴趣，让学生爱上数学，喜欢数学，进而达到引“生”入胜的目的.例如，可以以数学史的形式呈现一些教学内容，让学生体会知识的形成过程；也可以引导学生借助网络查阅相关资料，丰富眼界，拓宽视野.

四、结束语

伴随着新一轮课程改革，课堂教学发生了翻天覆地的变化，各种教学方法层出不穷，甚至是“泥沙俱下”，作为一线教师如何立足课堂、着眼学生显得至关重要，当然我们所做的一些尝试和所进行的一些思考，未必准确，更不一定正确，欢迎各位专家和同行批评、指正.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2016—09—28

山东省东营市教育科学“十二五”规划课题——“反思性课堂教学模式”下中学作业改革的研究与实践（125DYJG195）；山东省东营市教育科学“十二五”规划课题——“导学·反思”和谐高效课堂教学的实践与研究（125DYJG210）.

于彬（1984—），男，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究.