变式教学“三要”

吴俊杰（甘肃省天水市第七中学）

变式教学“三要”

吴俊杰（甘肃省天水市第七中学）

变式训练最怕单纯为了“变”而“变”，“变”一定要有明确的教育教学的目的性，这是变式教学设计中不得不提前思考、预设的问题.分别从变前、变中、变后三个环节谈谈“变式教学‘三要’”：变前要理清变的脉络，变什么、怎么变，注重变的思路与由来；变中要突出化归，变去还需能变回，注重模型识别与应用；变后要及时总结，捕捉共性、挖掘规律，注重变的价值与目的.

变式教学；化归与归纳；教学环节

变式教学是数学习题教学的重要形式，关于其作用、意义的论述文章很多，无需赘述.笔者在教学实践与思考中认为，变式训练最怕单纯为了“变”而“变”，“变”一定要有明确的教育教学的目的性，通过一个问题的变式教学希望在整个变式教学的过程中让学生有哪些思考、体会，以期对以后的数学学习起到哪些积极的促进、帮助作用，这都是变式教学设计中不得不提前思考、预设的问题.本文拟分别从变前、变中、变后三个环节的教学预设谈谈自己的思考.

一、变前要理清变的脉络

由于部分课堂变式教学没有学生的真正参与，学生不知道教师折腾来折腾去要干什么，课堂教学活动中的学生是盲目的顺从者，导致学生对变式教学从最初的惊叹到最后的无动于衷.再者，由于诸如怎么变、为什么要这样变、这些变化是如何想到的、有没有具体的思维脉络可以模仿等，这些疑惑通常“无解”，导致学生除了跟着教师乱“变”外自己根本学不会“变”，变来变去，学生见识到了教师的“本领”，可是学生想不来、做不到，没有得到发展.笔者认为这样的变式教学从一开始就是失败的，变式教学必须是基于学生自主思考和探究得到的变式思路，不仅要突出“变”的思路，要让学生知道“变”，更重要的是要知道“怎么变”，从而学会“自己变”.所以变式教学首先需要引导学生分析问题的特点，选择恰当的“关注点”，即明确哪些条件可以变，怎么变，其次需要准确把握变的目的是什么，从而理清变的脉络.

案例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，点E，F为垂足.求证：PE+PF为定值.

图1

思考：（1）变什么：变点P的位置.

（2）怎么想到的：因为已知条件中已经明确告知点P是一个动点，受此启发，继续让点P“再动一会”，突破最初位置的变化.

（3）怎么变：点P的位置由在线段BC上运动变到在直线BC上运动，从直线BC上运动变到点P在三角形内部和外部运动.

（4）变的目的：运动问题常常“变中有不变，变化有规律”，这其中蕴涵着丰富的辩证思想，通过变式练习引导学生在数学学习中强化运动、变化的数学思维，认识蕴含在变化之中的数学规律，形成良好的数学思维和探究能力.例如，案例1中动点P的位置变化中，不变性体现在证明的方法不变，都是应用割补法和面积法，变化的规律性则是PE，PF与BD之间的数量关系.

基于以上思考，学生可以形成如下几种变式问题.

变式1：如图2，当动点在等腰三角形底边所在直线（底边之外）上运动时，动点到两腰的距离之间有何关系呢？

图2

变式2：如图3，当动点在三角形内部运动时，动点到三边的距离之间是否有一定的等量关系？那如果△ABC是等边三角形呢？

图3

变式3：如图4，当动点在等边三角形外运动时，又能得到什么结论呢？

图4

案例1的变式1～3呈现出了很清晰的一种变式脉络.但是在教学中还需要注意引导学生在遇到一个数学问题时会自觉思考能否做“变式”，能够找准“变的关注点”，确定“变的脉络”，对一个原始问题能在没有教师直接干预的情况下进行适当的“变”，并能够从中挖掘规律性的认识，这对于提高学生的学习能力，以及加深学生对数学本质、数学思想方法的理解至关重要.

注意到案例1中已知条件“△ABC是等腰三角形”，如果以它为“关注点”，作为“变的出发点”，通过改变△ABC的形状做适当的变式进行尝试，可以特殊化，如考虑特殊化情形“等腰直角三角形、等边三角形”，也可以一般化，如考虑一般化情形“锐角三角形、钝角三角形”等，可以有如下的变式尝试.

变式4：△ABC是等腰直角三角形，P是斜边BC边上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，点E，F为垂足.试判断PE+PF是否依然是定值.

变式5：△ABC是锐角三角形，边AB=c，AC=b，点P是边BC上的一个动点，到AB，AC的距离分别记作m，n，判断m，n，b，c之间有没有确定的数量关系.

变式4对△ABC由等腰三角形到等腰直角三角形，属于特殊化处理，变式5由等腰三角形到一般锐角三角形，属于一般化处理，案例1中点P的位置的变化，也是从特殊到一般的“一般化”处理.一个问题进行变式训练可以有多条变式途径，选择不同的关注点，会有不同的发现，特殊化和一般化则是最常见的两种“变”的思路.

案例2：如图5，在△ABC中，∠A，∠B的平分线相交于点I，若∠C=74°，求∠AIB的度数.

图5

这是源于华东师大版《义务教育教科书·数学》中的一道练习题，教学中可以引导学生在认真分析问题的基础上，寻找“变的关注点”，大致确定“变”的方向，自主尝试“变式”练习，体会“变的关注点”的变化对问题变式教学的影响，并有助于启发我们在教学中立足教材，尽可能多地挖掘教材问题的教育价值.

紧扣关注点，变的方法通常有以下两个方向：一是改变已知条件中的部分值，通过数值的改变发现规律，继而通过由特殊到一般找到规律；二是改变部分条件，是问题焕发新的意义和问题解决的新方法.

（1）以“∠C的值”为关注点.原问题中∠C=74°是具体值，改变∠C的度数如变为30°，120°，再由具体值到一般值β，角的数值变了但方法不变，∠AIB与∠C之间确定的数量关系也不变，且这一关系与三角形的形状无关.

（2）以“AI，BI是内角平分线”中的“内角”一词为关注点，由内角平分线变到“一个是内角平分线，一个是外角平分线”，如图6，再到“两个都是外角平分线”，如图7，从而发现由内角平分线到外角平分线的改变对结论的影响，发现内在规律.

图6

图7

（3）以“AI，BI是内角平分线”中的“角平分线”一词为关注点，可以将其“变”为角的等分线，如图8，AI是∠A的平分线，BI是∠B的三等分线，且∠IBA=2∠CBI，求∠AIB与∠C的关系.

图8

二、变中要突出化归

有些变式问题改变的是问题的背景，即同一数学模型被迁移到了不同的问题情境中.中考试题中常常可以见到此类“同质、同源，不同情境”的数学问题，这为变式教学提供了丰富的教学资源.在此类变式问题的教学中，不仅要引导学生把同一数学模型放置在不同的问题情境中去“变”，还需要能够在教师的引导下学生可以自主发现隐藏在不同问题情境中的“同质、同源”的数学问题，识别隐藏在其中的数学模型，透过现象回归问题本质.

案例3：问题1：如图9，四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，在对角线BD上求作一点P使PC+ PE最小.

图9

问题2：如图10，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B，点B在点A的右边，与y轴交于点C，在对称轴上能否找到一点P，使得△APC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

图10

问题3：尺规作图：如图11，已知直线l和l外同侧两点A，B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

图11

问题3是初中数学中常见的一个数学模型，通常称为“将军饮马问题”模型.问题1和问题2的问题背景分别是正方形和抛物线，都是问题3“将军饮马”数学模型的变式，属于不同情境中的同一本质的问题.所以案例3变式教学的关键在于引导学生能够对问题1、问题2做适当的变形理解，识别不同情境中的“将军饮马”数学模型，认识到在不同问题情境“正方形”和“抛物线”之下的共同本质，回到问题3，紧扣问题的本质，会利用问题3的解答方法求解问题1、问题2.

案例3的变式中有一条内容主线：“将军饮马”数学模型，有一条方法主线：化归.在教学中，需要引导学生注意到问题的三个共同点：（1）求共端点两条线段之和的最小值；（2）有一条定直线，动点（即所求点）在定直线上；（3）共端点两条线段的另两个端点在这条定直线的同侧.唯有引导学生发现并紧扣这三点，才能够认识到三个不同情境问题“同质、同源”，从而在问题1、问题2的解答中有效地联想到原问题“将军饮马问题”模型，将问题1、问题2回归到问题3，实现变式教学中的“回归”.

三、变后要及时总结

案例4：点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是_______；关于y轴对称的点的坐标是_______；关于原点对称的点的坐标是________.

变式1：直线y=2x-1关于x轴对称的直线的解析式是_______；

变式3：抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称的解析式是_________.

案例4原问题是对直角坐标系中点的对称变化规律的简单复习，变式1、变式2、变式3是常见的变式问题.解题教学后不应戛然而止，而应注意及时总结，引导学生从不同角度捕捉共性、挖掘规律，并在总结规律的基础上最大限度地追求变式训练的价值.

（1）从性质的应用和问题解决方法的角度总结挖掘.

三个变式问题解答方法相同，都利用点的对称变化性质确定一些特殊点（如顶点、交点等）的对称点坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可求解.

例如，变式3的解答：抛物线y=2x2-4x+5，即y=2（x-1）2+3，关于x轴对称的图形依然是抛物线，抛物线开口大小不变但开口方向改变，即x2的系数变为相反数，同时两条抛物线的顶点关于x轴对称.因为抛物线y=2x2-4x+5的顶点（1，3）关于x轴的对称点为（1，-3），所以对称变化所得抛物线函数关系式为y=-2（x-1）2-3，化简得y=-2x2+4x-5.

（2）从函数图象轴对称变化规律的角度总结挖掘.

案例4的教学中可以引导学生归纳曲线关于x轴对称变化的规律，并与点关于x轴对称变化的规律相比较，归纳总结具体问题中蕴含的一般性规律，有助于增强学生对数学规律的整体认知，充分挖掘变式训练的价值.

例如，点P（x，y）关于x轴对称点坐标为（x，-y），即点关于x轴作轴对称变化，横坐标x不变，纵坐标y变为相反数.变式3中抛物线y=2x2-4x+5关于x轴对称的图形的函数关系式为y=-2x2+4x-5，可以发现只需要将原抛物线y=2x2-4x+5中的y换成-y，x保持不变，就可以得到y=-2x2+4x-5，这一结论对于变式1、变式2同样成立.基于这一分析总结，在案例4的变式教学中还可以提出下面的问题：基于变式1、变式2、变式3的规律分析，直接写出关于y轴对称变化的函数图象的关系式.对此可以有如下的解释：曲线是符合要求的点的集合，也可以看作是动点按照一定的规律运动的轨迹，自然曲线（函数图象）的问题可以回归到点的问题，曲线在整体作某种图形变化，如整体做关于x轴的轴对称变化的时候，曲线上的所有的点也在按照相同的规律做着相同的图形变化，从而实现点、曲线认识上的统一性.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

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［3］马先龙.变式训练提高效益［J］.中国数学教育（初中版），2014（9）：48-50.

［4］夏飞.谈谈变式训练的设题方法［J］.中国数学教育（初中版），2011（3）：57-59.

［5］邵潇野.例谈几何习题教学的变式策略［J］.中国数学教育（初中版），2009（6）：30-33.

2016—09—15

吴俊杰（1972—），男，中学高级教师，甘肃省骨干教师，主要从事中学数学教育教学研究.