磁场中轴向变速运动载流梁的参强联合共振

胡宇达 戎艳天

燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，秦皇岛,066004



磁场中轴向变速运动载流梁的参强联合共振

胡宇达 戎艳天

燕山大学河北省重型装备与大型结构力学可靠性重点实验室，秦皇岛,066004

研究磁场环境中轴向变速运动载流梁在简谐激励作用下的参强联合共振问题，应用弹性力学理论、电磁场基本理论以及哈密顿变分原理，得到轴向变速运动载流梁的非线性磁弹性耦合振动方程。利用伽辽金积分法对其进行时间变量和空间变量的离散化，进而运用多尺度法以及坐标变换的方法求得系统主共振-主参数共振的幅频响应方程。通过算例，得到了系统随不同参数变化的幅频响应曲线图、时间历程图、相轨迹图、庞加莱映射图和共振系统的动相平面轨迹图，分析了轴向速度、轴向拉力、磁感应强度、电流密度及强迫激励对系统主共振-主参数共振特性的影响，结果表明系统呈现典型的非线性振动特征和复杂的动力学行为。

载流梁；主共振-主参数共振；磁场；轴向运动

0 引言

近年来，轴向运动导电导磁结构被广泛应用于航空航天、交通运输等领域的重要设备中，如电磁驱动、电磁发射及磁悬浮运输等设备，而工程实际中相关构件因受到外部机械力、电磁力作用及运动系统参数变化的影响，会产生振动，振动会影响设备的正常运行，甚至带来重大的安全隐患和经济损失。因此研究复杂运动条件下磁弹性多场耦合系统非线性共振问题具有重要理论意义和实际意义。文献[1]以变速运动黏弹性Timoshenko梁为模型，研究了其在外部谐波激励作用下的非线性动力学特性。文献[2]基于Timoshenko梁理论和几何非线性因素的作用，推导出了磁场环境中轴向运动导电导磁梁的磁弹性振动方程。文献[3]研究了轴向变速运动黏弹性梁的主参数共振问题，并以偏微分和积分-偏微分这两种非线性模型为例，针对其稳态响应性质和稳定性进行了比较分析。文献[4]针对非线性运动梁在不受外激励和受到外激励两种不同情况下的参数激励问题进行了研究。文献[5] 基于弗洛凯理论，分析了横向磁场环境中四边简支约束下的轴向运动导电矩形薄板的参数振动问题。文献[6]以Timoshenko梁为基本模型，研究了其做轴向变速运动时的参数共振问题。文献[7]运用伽辽金法和多尺度法分析了磁场中轴向变速运动薄板的非线性参数振动问题，并对其稳定性进行了讨论。文献[8]以轴向变速运动黏弹性梁为模型，利用劳斯-赫尔维茨判据分析了参数共振的动态稳定性。文献[9]分析了单自由度非线性系统的参数振动。文献[10]利用平均法针对梁的黏弹性阻力对其稳定性的影响进行了分析。文献[11]研究了悬臂梁受到周期性变化的轴向拉力和磁场等参数共同作用下的非线性参数振动问题。本文针对磁场环境中轴向变速运动载流梁的主共振-主参数联合共振问题进行研究，重点推导轴向变速运动载流梁的磁弹性耦合振动方程，并对系统的非线性参强联合共振问题进行解析求解，同时通过数值算例，分析了电磁、运动、力等参量对系统动力学特性的影响。

1 轴向运动梁基本方程

研究在恒定磁场B=(0,B0,0)(B0为磁感应强度)环境中受均布轴向拉力F0x和均布横向载荷Pz作用的载流梁，该梁沿形心轴x方向以速度C=(C,0,0)做轴向变速运动。如图1所示，梁长为l，宽为b，高为h，密度为ρ，通入电流的电流密度矢量Je=(J0x(t),0,0)，记w(x,t)为梁的横向位移，t为时间变量。

图1 磁场中轴向运动梁力学模型

1.1 轴向运动梁动能

轴向变速运动梁的横向速度为

(1)

则梁的动能可表示为

(2)

式中，A为梁的横截面积,A=bh。

1.2 轴向运动梁势能

梁的势能由轴向拉力作用下引起的应变势能U1、梁的弯曲应变势能U2以及梁的中面应变势能U3三部分组成。则梁的总势能U可表示为

(3)

式中，E为弹性模量;I为截面惯性矩。

1.3 外力虚功

(1)机械力虚功。外加横向均布强迫激励Pz在虚位移上所做的虚功为

(4)

(2)电磁力虚功。这里研究的是良导体，略去磁化及位移电流的影响，并设J为梁内电流密度矢量。利用磁弹性线性化假设[12]，可得Lorentz力的表达式为

(5)

式中，i、j、k为各坐标轴的单位向量；Jx为由于外加磁场作用而在导电梁内产生的沿x轴方向的感应电流密度分量,Jx=-σ0v0zB0；σ0为电导率。

由式(5)可得梁单位长度所受电磁力

(6)

从而得电磁力虚功为

(7)

1.4 应用哈密顿原理建立振动方程

哈密顿原理是著名的力学积分原理之一，根据哈密顿原理有：

(8)

其中，t1、t2为两个时间点；δT为动能变分表达式;δU为势能变分表达式。

将式(2)～式(4)及式(7)代入式(8)中，经过变分运算，得到轴向变速运动梁的非线性磁弹性振动方程：

(9)

2 振型函数的假设与伽辽金积分

对于两端铰支轴向运动梁，在考虑一阶模态的情况下，设满足两端铰支边界条件的位移解为

(10)

同时，取轴向运动速度、轴向拉力、横向强迫激励以及电流密度分别为

(11)

式中，C0为轴向运动恒定速度；C1为轴向时变速度扰动量；F0为轴向运动恒定拉力；F1为轴向时变拉力扰动量；P0为横向均布强迫激励的幅值；J0为电流密度的幅值；ω1为速度参数频率；ω2为拉力参数频率；ω3为横向均布强迫激励频率；ω4为电流密度频率。

将式(10)、式(11)代入式(9)，并应用伽辽金积分法，最终得到以位移形式表示的量纲一化的振动微分方程：

(12)

式中，ω0为系统固有频率。

3 主共振-主参数联合共振理论分析

为了研究参强联合共振问题，在式(12)的阻尼项、参数激励项、非线性项和强迫激励项前引入小参数ε，这样将式(12)的振动微分方程转化为

(13)

下面采用多尺度法[13]求解振动微分方程的近似解，选用两个时间尺度T0=τ，T1=ετ来讨论系统微分方程的一次近似解，则可将系统的参强联合共振的一次近似解析解表示为

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(14)

将式(14)代入式(13)中展开，令ε的同次幂项的系数相等得

(15)

(16)

零次近似方程式(15)的解可表示为如下复数形式：

(17)

(18)

式中，cc表示等号右端项的共轭复数部分。

当Ω1≈2，Ω2≈2，Ω3≈1，Ω4≈1，即满足速度参数频率和拉力参数激励频率与系统固有频率的2倍相近，并且外界强迫激励频率和电流密度频率与系统固有频率相近时，系统发生主共振-主参数共振。

在对非线性系统共振问题进行求解时，令

(19)

式中，σ1、σ2、σ3、σ4为频率调谐值。

将式(19)代入式(18)中，整理得

(20)

为了避免久期项出现，消除式(20)中久期项的条件为

(21)

取复函数A0表示为如下形式：

(22)

其中，a和φ都为T1的实函数。

将式(22)代入式(21)中，并分离实部和虚部，则实部a′、虚部aφ′可分别表示为

(23)

(24)

β1、β2、β3、β4对T1求导分别为

(25)

φ′=σ1/2=σ2/2=σ3=σ4=σ

(26)

进一步考虑式(23)～式(26)，最终求得

(27)

(28)

为便于对式(27)、式(28)进行求解，采取变量变换方法，设

m=a(T1)cosβ4(T1)

(29)

n=a(T1)sinβ4(T1)

(30)

由式(29)、式 (30)并考虑式(23)～式(26)，可得

(31)

(32)

同样，对于稳态运动(m′=0，n′=0)有

(33)

(34)

解得

(35)

(36)

又因m2+n2=a2，则可得系统主共振-主参数共振下的幅频响应方程为

(37)

4 算例及结果分析

下面以两端铰支轴向变速运动铜制梁为例进行分析。主要参数取值：梁长l=0.3 m，宽b=0.02 m，高h=0.01 m，轴向恒定拉力F0=40 kN，弹性模量E=108 GPa，密度为ρ=8920 kg/m3，泊松比ν=0.33，电导率σ0=5.7143×107S/m。图2～图29分别给出了共振幅值与调谐参数、时变拉力扰动量幅值、强迫激励力幅值以及磁感应强度幅值的关系曲线。

图2～图17为振动幅值a随调谐参数εσ的变化规律图。由图可见，在给定的调谐参数εσ的取值范围内，随着磁感应强度和电流密度的增大，多值区域也会逐渐变小。与此同时，曲线也会出现跳跃现象，而这些跳跃现象正是幅频响应曲线多值性的表现，这也是非线性问题的重要特征之一。

图2 C1=0的幅频响应图

图3 C1=2 m/s的幅频响应图

图4 C1=3 m/s的幅频响应图

图5 C1=5 m/s的幅频响应图

图6 F1=0的幅频响应图

图7 F1=1 kN的幅频响应图

图8 F1=2 kN的幅频响应图

图9 F1=2.5 kN的幅频响应图

图2～图9中取C0=80 m/s，B0=0.01 T，P0=50 N/m，J0=2 A/mm2。当F1=1 kN时，由图2～图5可见，在给定的调谐参数εσ的取值范围内，随着时变速度扰动量C1从零开始增大，系统的稳态解个数由五个变为三个，当时变速度扰动量继续增大时，稳态解的个数又变为五个，两共振峰值间的区域先减小后增大。由图6～图9可见，当C1=6 m/s时，在给定的调谐参数εσ的取值范围内，时变拉力扰动量F1从零开始增大时，系统的稳态解个数由五个变为三个，当时变拉力扰动量继续增大，稳态解的个数又变为五个，两共振峰值间的区域先减小后增大。

图10～图17中取C0=80 m/s，C1=6 m/s，F1=1 kN。当J0=2 A/mm2，P0=50 N/m时，如图10～图13所示， 在给定的调谐参数εσ的取值范围内，磁感应强度的大小对振幅曲线的变化规律的影响比较明显，初始阶段，随着磁感应强度的增大，系统的稳态解个数由三个变成五个，当磁感应强度继续增大，系统稳态解的个数由五个变为三个，两共振峰值间的区域先增大后减小，并且随磁感应强度的增大，多值区域逐渐减小。当B0=0.042 T，P0=0时，如图14～图17所示，在给定的εσ的取值范围内，随着电流密度的不断增大，系统稳态解的个数由五个变为三个，两共振峰值间的区域以及系统多值区域逐渐减小，振幅有随电流密度的增大而增大的趋势，可以通过控制电流密度以达到减小振幅的目的。

图10 B1=0的幅频响应图

图11 B1=0.01 T的幅频响应图

图12 B1=0.02 T的幅频响应图

图13 B1=0.05 T的幅频响应图

图14 J0=0.1 A/mm2的幅频响应图

图15 J0=0.5 A/mm2的幅频响应图

图16 J0=1.0 A/mm2的幅频响应图

图17 J0=2.5 A/mm2的幅频响应图

给定C0=80 m/s，C1=6 m/s，J0=2 A/mm2，图18～图25为取不同磁感应强度时共振振幅随时变拉力扰动量F1和强迫激励载荷幅值P0的变化规律曲线图，如图所示，振幅曲线的多值性对磁感应强度的大小比较敏感。

图18 B0=0的振幅-参数激励曲线图

图19 B0=0.02 T的振幅-参数激励曲线图

图26～图29中取参数值C0=80 m/s，C1=6 m/s，F1=1 kN，P0=50 N/m，其中实线为J0=0下的振幅-磁感应强度曲线，虚线为J0=2 A/mm2下的曲线。如图所示，调谐参数εσ的大

图20 B0=0.03 T的振幅-参数激励曲线图

图21 B0=0.06 T的振幅-参数激励曲线图

图22 B0=0.01 T的振幅-强迫激励曲线图

图23 B0=0.02 T的振幅-强迫激励曲线图

图24 B0=0.03 T的振幅-强迫激励曲线图

图25 B0=0.05 T的振幅-强迫激励曲线图

图26 εσ=0.0082的振幅-磁感应强度曲线图

图27 εσ=0.01的振幅-磁感应强度曲线图

图28 εσ=0.035的振幅-磁感应强度曲线图

小对振幅曲线变化规律的影响比较明显。在J0=0，即不通电流情况下，所有曲线均呈左右对称分布形式，对称轴位于B0=0处；起初在给定的B0的取值范围内，磁感应强度的增大对振幅的影响不是很明显，但当磁感应强度增大到一定值时，振幅值会急剧下降，由此可得，在保持轴向运动速度、轴向拉力、强迫激励以及电流密度等参量不变的情况下，可以通过控制外加磁场的磁感应强度的大小来实现控制振幅的目的。在J0=2 A/mm2，即通电流情况下，图形不再对称，并发生扭转变形，对应之前不通电流的单解区域，现在出现多解。

图30、图31所示为给定参数的固定值为C0=80 m/s，C1=6 m/s，F1=1 kN，B0=0.01 T，P0=50 N/m，J0=2 A/mm2，在不改变系统物理参变量的情况下，一些初始条件发生变化时得到的动相平面轨迹，图中箭头方向指示轨迹的运动方向。当选取不同的调谐参数εσ值时，对应的系统稳态解的个数不相同，稳态解对应的振动幅值(a表示)一般也不相同。图30中有两个稳定的焦点S1(a=0.0565)和S3(a=0.1603)，一个不稳定的鞍点S2(a=0.093)；图31中有三个稳定的焦点，分别是S1(a=0.0455)、S4(a=0.1225)和S5(a=0.1683)，两个不稳定的鞍点S2(a=0.108)和S3(a=0.112)。图30、图31中稳态解的大小与图7中的大小一致，并且可以看出，图7中上面两分支曲线及最下面分支曲线是稳定的，而中间部分的两分支曲线是不稳定的，其他幅频特性曲线也有相类似的性质。由图可得，改变系统的初始条件，对系统稳态响应的影响很大。

图29 εσ=0.05的振幅-磁感应强度曲线图

图30 εσ=0.01的动态平面轨迹图

图31 εσ=0.012的动态平面轨迹图

图32、图33所示为在不改变初始条件的情况下，物理参量发生变化时得到的动相平面轨迹图，图中箭头方向指示轨迹的运动方向。由图可见，当选取不同的物理参量时，对应的系统稳态解的个数也不相同(图中选取的参数的固定值为C0=80 m/s，F1=1 kN，B0=0.01 T，J0=2 A/mm2)。图32为当P0=50 N/m时选取不同的时变速度扰动量时对应的两个稳定焦点，其中时变速度C1=0时对应焦点S1，其共振幅值大小a=0.1454；C1=5 m/s时对应焦点S2，其共振幅值a=0.1492。图33为当C1=6 m/s，选取不同的强迫激励幅值时对应的三个稳定焦点，激励幅值大小P0=30 N/m时对应焦点S1，其共振幅值a=0.0322；P0=70 N/m时对应焦点S2，其共振幅值a=0.1658；P0=150 N/m时对应焦点S3，其共振幅值a=0.1797。从图中可得，改变系统物理参量的大小，对系统的稳态响应的影响也很明显。

图32 C1=0 m/s,C1=5 m/s动相平面轨迹图

图33 P0=30 N/m，P0=70 N/m,P0=150 N/m动相平面轨迹图

图34～图42中,轴向拉力F0=10 kN，时变拉力扰动量F1=1 kN，电流密度J0=2 A/mm2时，选取不同的轴向恒定速度C0，磁感应强度B0和强迫激励幅值P0，从而得到反映系统具体运动形式的时间历程图(时程图)、相轨迹图以及庞加莱映射图。图34～图36为取C1=8 m/s，B0=0.02 T，

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图34 轴向速度C0=65 m/s时的系统单周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图35 轴向速度C0=80 m/s时的系统二倍周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图36 轴向速度C0=95 m/s时的系统单周期响应

P0=5.5 kN/m时，改变轴向恒定速度C0得到的时间历程图、相轨迹图以及庞加莱映射图。当轴向恒定速度取C0=65 m/s时，庞加莱映射图表现为一个点，轴向运动系统呈现为单周期运动；增大轴向恒定速度，当C0=80 m/s时，庞加莱映射图表现为两个分散的点，系统呈现为二倍周期运动；继续增大轴向恒定速度，当C0=95 m/s时，庞加莱映射图又变为一个点，系统进入单倍周期运动的状态。

图37～图39所示为取C0=80 m/s，C1=6 m/s，P0=5.5 kN/m时，改变磁感应强度B0得到的时间历程图(时程图)、相轨迹图以及庞加莱映射图。当磁感应强度取B0=0时，庞加莱映射图显示为多个点，并呈现为封闭曲线，轴向运动系统呈现为概周期运动状态；增大磁感应强度，当B0=0.06 T时，庞加莱映射图显示为两个分散的点，系统呈现为二倍周期运动；继续增大磁感应强度，当B0=0.08 T时，庞加莱映射图又变为一个点，系统表现为单倍周期运动状态。

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图37 磁感应强度B0=0时的系统概周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图38 磁感应强度B0=0.06 T时的系统二倍周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图39 磁感应强度B0=0.08 T时的系统单周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图40 磁感应强度P0=4 kN/m时的系统单周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图41 磁感应强度P0=5.5 kN/m时的系统二倍周期响应

(a)时程图

(b)相轨迹图 (c)庞加莱映射图图42 磁感应强度P0=9.95 kN/m时的系统三倍周期响应

图40～图42所示为取C0=80 m/s，C1=6 m/s，B0=0.02 T时，改变强迫激励幅值P0得到的时间历程图、相轨迹图以及庞加莱映射图。当强迫激励幅值取P0=4 kN/m时，庞加莱映射图为一个点，轴向运动系统表现为单倍周期运动；增大强迫激励幅值，当P0=5.5 kN/m时，庞加莱映射图为两个分散的点，系统表现为二倍周期运动；继续增大强迫激励幅值，当P0=9.95 kN/m时，庞加莱映射图变为三个点，轴向运动系统表现为三倍周期运动。

5 结论

(1)系统的主共振-主参数共振幅频响应具有跳跃和明显的多值变化现象，稳态解的数值及稳定性依赖于初始值。

(2)随着磁感应强度和电流密度的增大，会出现从一个稳态解过渡到多个稳态解的情况，且多值区域呈现右移趋势。

(3)随着磁场、速度、激励力等参数的变化，系统呈现复杂的单倍、多倍周期及概周期运动状态。

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(编辑 王旻玥)

Combined Parametric and Forced Resonance of an Axially Accelerating and Current-Carrying Beam under Magnetic Field

Hu Yuda Rong Yantian

Hebei Provincial Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipments and Large Structures，Yanshan University，Qinhuangdao,Hebei, 066004

Combired parametric and forced resonance of an axially accelerating and current-carrying beam which was subjected to harmonic excitation under magnetic field was investigated. The elastic mechanics theory, electromagnetic field theory and Hamilton variational principle were applied to establish the nonlinear magnetoelastic coupling vibration equation of the axially accelerating and current-carrying beam. The time variables and the space variables were firstly discretized using Galerkin integral method, then multiscale method and coordinate transformation method were utilized and the amplitude-frequency response equation was obtained. Through calculation examples, the corresponding amplitude frequency response curves with different parameters, the time history response diagrams, phase plot, poincare map and dynamic phase trajectory graph of the resonance system were acquired and the effects of axial velocity, axial tension, magnetic induction intensity, electric current density and forced excitation on primary resonance-principal parametric resonance characteristics of the system were analyzed. The results show that the system presents typical nonlinear vibration characteristics and complex dynamics behavior.

current-carrying beam；primary resonance-principal parametric resonance；magnetic field；axial movement

2016-06-16

国家自然科学基金资助项目(11472239)；河北省自然科学基金资助项目(A2015203023)；河北省高等学校科学技术研究资助重点项目(ZD20131055)

O322; O442

10.3969/j.issn.1004-132X.2016.23.013

胡宇达，男，1968年生。燕山大学建筑工程与力学学院教授、博士研究生导师。主要研究方向为非线性动力学与控制、电磁弹性力学。发表论文100余篇。戎艳天，女，1990年生。燕山大学建筑工程与力学学院硕士研究生。