三种分形迭代函数系统研究

孙懿

摘 要：分形反映了世界的本质，是非线性科学的三大理论前沿之一。迭代函数系统是分形理论的重要分支，利用分形迭代函数系统产生的分形图形具有丰富多样的形态以及精细的结构，其中带概率的函数迭代系统在各领域应用较为广泛，凝聚函数迭代系统主要用于整体与局部的自相似分形，带参量函数迭代系统通过在变换系数中加入参数来控制分形图形的动画效果。在介绍迭代函数系统IFS的基础上，研究了带概率的IFS、凝聚IFS以及带参量IFS等3种分形迭代函数系统，对不同类型分形图形的生成具有一定的启发与指导意义。

关键词关键词：函数迭代系统；带概率的IFS；凝聚IFS；带参量IFS

DOIDOI：10.11907/rjdk.161989

中图分类号：TP303

文献标识码：A 文章编号文章编号：16727800（2016）011000903

0 引言

迭代函数是对分形进行收缩仿射变换的迭代运算，将上一次的输出作为下一次的输入，不断进行重复与自身复制，体现了分形在无标度区域中的自相似性[1]。分形不同于传统意义的几何形状，能够达到任意小尺寸的精细结构的集合。Barnsley提出迭代函数系统的基本思想就是基于几何对象的整体和局部在仿射变换的意义下存在一定的自相似性[2]，仿射变换包括旋转、平移、缩放并且保持交比不变。分形可以由一个或者更多个仿射变换迭代生成，每次迭代都会在最终的图像中产生一个新的吸引子。本文就分形的迭代函数系统（Iterated Function System， IFS）的分形构造方法加以研究，为不同分形对象的仿射变换提供有效的解决方法。

1 迭代函数系统IFS的定义

设{X；Wn，n=1，2，…，N}是拥有压缩因子s的迭代函数系统，即变换W：H（X）→H（X）定义[3]如下：

其是完备空间（H（X），h（d））上具有压缩因子s的压缩映射，即：

这里采用豪斯道夫度量，因此H（X）与X是完备的压缩空间。通过计算集合的豪斯多夫度量的上界，计算由IFS定义的自相似集合的维度。在完备的尺度空间X上，W存在一个不动点，可以在任何起始位置通过不断逼近找到不动点。

它的唯一不动点P∈H（X）满足：

2 带概率的IFS

预备知识：IFS的仿射变换通常由几个变换形成，进行分形后得到的效果不是很真实，实际的分形图形由随机迭代算法给出，也即在原来的IFS中增加一组概率数，其中概率大的变换频率高，概率小的变换频率低，称为带概率的迭代函数系统，简称IFSP。IFSP定义了概率测量相关的马尔科夫算子，马尔科夫算子是所有概率测量空间的压缩映射。拼贴定理指出，IFSP能够产生一个不变测量。IFSP能够在细节上更真实地反映分形图形。

定义1[4]：X；wn，pnNn=1由IFS：X；wnNn=1和概率集pnNn=1组成，其中∑Nn=1pn=1且pn>0（n=1，2，···，N），其中每个pi对应于一个wi。

定义P为所有概率测量空间的集合，X；wn，pnNn=1的马尔科夫算子就是由函数M：P→P定义的[5]：

概率的加入使得分形后的效果更为真实，概率变化使得图像的细节可以得到不同的展示，概率大的细节增加，概率小的细节降低，通过合适的概率选择生成满足相应要求的图像效果。图2为采用IFSP对一个初始定义有向盒产生的蕨类植物进行迭代的第4次和第21次的分形结果。

3 凝聚IFS

预备知识：无论是使用确定性算法的IFS还是使用随机迭代算法的IFSP，都是在一系列的迭代之后得到一个分形几何体。在生成一片分形几何体时，局部与整体是具有自相似性的，将局部看作是整体的缩小和小位移形成，将划分后的第一个几何体进行凝聚变换，然后进行迭代，在某个位置生成单个几何体，在空间的不同方向上作延伸变换[6]。如果要产生更多的效果，就需要更多的延伸变换。

其唯一不动点A满足：A=W（A）=∪Nn=0wn（A），并且A=limn→∞wn（B），B∈H（X），w0就是凝聚变换。如果凝聚IFS连续依赖于参数集，则吸引子也会连续依赖于参数集。

在分形图形的延伸过程中应能够满足在越远处，则局部几何体越小，局部几何体之间的位移也越小，在保持分形图形真实感的前提下，局部几何体数目应尽可能多，达到整片分形几何体的图形效果。因此应采取合适的延伸变换达到不同的大片分形几何体的效果。在用凝聚IFS生成植物的分形图形时，初始集就是凝聚集。图3为凝聚IFS分形图的一个示例。其中凝聚集为树干，经过递归次后生成一棵包含左右两个分枝的树。

4 带参量IFS

预备知识：静态分形图形可以利用IFS和IFSP产生，当在位移系数、旋转系数和比例系数中加入参数，就能引起分形图形运动起来，也能够进行旋转变化和缩放变化，产生相应的动画效果。参数的加入引发了分形图形的一系列变化，通过对参数的修改来控制动画的变化和动画效果。

当在映射中加入一个参数时，就会引起分形图形的一种或多种变化，参数值影响变化的种类与效果，适当地调整参数能够实现对IFS码的连续控制。可以利用这一特

性，选取有效的变换系数并引入相关参数，使分形图像发生预期变化，产生连贯且逼真的动画效果。实现方法非常简单，只需调控相应参数，效果也优于以往的计算机动画技术。图4为一个带参量的IFS的三角形分形示意图，初始集是一个垂足三角形，经过迭代产生扭曲的三角形分形图。

5 结语

本文在介绍迭代函数系统IFS的基础上，研究了带概率的IFS、凝聚IFS以及带参量IFS。带概率的IFS可以用于体现不同的细节信息，凝聚IFS能够实现局部几何体的凝聚变换和整体的延伸变换，生成具有自相似性的大片分形几何体图形，带参量IFS用于使分形图形产生动画效果，对初学者理解迭代函数系统以及针对不同的分形图形采取不同类型的IFS具有一定的启发和指导作用。

参考文献：

[1] KENNETH FALCONER.分形几何——数学基础及其应用[M]. 北京：人民邮电出版社，2007.

[2] 章立亮.迭代函数系统IFS随机分形的生成方法[J].计算机工程与设计，2008，29（15）：39473950.

[3] 赵健，雷蕾，浦小勤.分形理论及其在信号处理中的应用[M].北京：清华大学出版社，2008

[4] 李水根.分形[M].北京：高等教育出版社，2004.

[5] SUMAN K MITRA，C A MURTHY，MALAY K KUNDU，et al. Bhattacharya，fractal image compression using iterated function system with probabilities[J].Information Technology：Coding and Computing，2001（4）：191195.

[6] 韩江萍，周敏，郑红婵，等.采用拟仿射变换进行分形树模拟[J].计算机工程与设计，2012，33（2）：700704.

[7] 陈东方，吴国红.基于带参IFS的3D分形树及其摇曳形态的实现[J].计算机与现代化，2007（9）：911.

（责任编辑：孙 娟）