凸多边形与其内接多边形的面积关系

王来全,李 硕，夏米西努尔·阿布都热合曼

(1.昌吉职业技术学院 基础部,新疆 昌吉 831100;2.昌吉学院 数学系,新疆 昌吉 831100；3.新疆大学 数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 831146)



凸多边形与其内接多边形的面积关系

王来全1,李 硕2，夏米西努尔·阿布都热合曼3

(1.昌吉职业技术学院 基础部,新疆 昌吉 831100;2.昌吉学院 数学系,新疆 昌吉 831100；3.新疆大学 数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 831146)

图案设计和工程建筑经常会涉及到图形的面积问题,研究了任意凸多边形与其内接多边形面积间的等比关系,并给出了等比关系式,数值模拟验证了这一关系式的正确性.最后,讨论了棱柱体在定义条件下的体积问题.

凸多边形;内接多边形;正棱柱体;面积

研究物体的形状、大小和相互位置的科学叫几何学[1].几何图形一般是从客观实际中抽象出来的,研究几何图形的性质,其中最重要的目的之一,在于应用这些性质来解决实际问题.对于面积而言,在工农业生产或日常生活方面,应用都极为广泛.例如:农业上的亩产量计算[2],兴修水利,密植、轮值,工业上安装机器,楼层与仓库的设置,测量各种建筑物的表面积容积[3-4],客厅、墙面等花纹底色图案的设计问题都与面积的计算或作图等有着密切的联系.因此,研究图形的面积问题,是平面几何中的重要内容之一.我们应用平面几何的相关理论,将多边形的各边中点顺次相连组成新的图形,重点讨论了组成的新图形与原图形的面积关系,揭示了在这种定义形式下凸多边形与其内接多边形的面积关系.

1 预备知识

定义1 在平面V2中,对任意凸N边形,顺次连接各边中点所成的图形,记为该N边形的C1形,顺次连接C1形各边中点所成的图形记为C2形,…，顺次连接Ci形各边中点所成的图形记为Ci+1形(i∈N+).

定义2 在空间V3中，N棱柱的上下平面的C1形组成的棱柱体为N棱柱的X11形棱柱体，X11形棱柱体的上下平面的C2形组成的棱柱体为X22形棱柱体,…,Xii形棱柱体的上下平面的Ci+1形组成的棱柱体为Xi+1i+1形棱柱体(i∈N+).

定义3 在空间V3中，由N棱柱体(N+2面体)的各侧棱中点和上下平面的C1形组成的3N+2面体，记为该棱柱体的Y形体.

2 主要结果

定理1 在平面V2中,任意四边形的面积S0与该四边形的Ci形面积Si间有等比关系,且有

证明 任取一个四边形A1A2A3A4,A1A2的中点为B1,A2A3的中点为B2,A3A4的中点为B3,A4A1的中点为B4,则B1B2B3B4,设A1A3=x,A2A4=y,设ΔA1A2A3的高为h1,ΔA1A4A3的高为h2,ΔA1A2A4的高为h'1,ΔA2A3A4的高为h'2,则有

SΔB1A2B2+SΔB4A4B3+SΔA1B1A4+SΔB2B3A3=

注1 定理1还可以用割补、平移法证明,根据数学归纳法,可以得出下面的推论.

推论1 在V2中，任意N边形的面积S0与该N边形的Ci形的面积Si间有如下等比关系

当N→∞时,Si=S0,即圆与圆的Ci形的面积是相等的[5].

定理2 在V3中，任意N棱柱体的体积V0与N棱柱的Xii形棱柱体的体积Vi间有如下关系.

定理3 在V3中,任意正N棱柱体与其Y形体的体积比为一定值,且有

其中V20表示任意正N棱柱体的体积,V21表示该正N棱柱体的Y形体积.

证明 假设组成任一正N棱柱体的N边形的边长为a,正N棱柱的高为h,则正N边形的面积为

当N→∞时,V20=V21,可认为圆柱体与它的Y形体的体积相等.

下面通过两个具体的实例(N=6，N=7)来说明上述推论的正确性．

3 数值模拟

CAD软件可以帮助设计人员计算、信息储存和绘图工作.应用CAD软件构造出任意一六边形(图1)和任意一七边形(图2)，通过CAD的查询命令计算了这一六边形与七边形的面积与其对应的内接图形的面积,其中S0表示这一任意六边形和七边形的面积,Si表示六边形和七边形的Ci形面积(i>1),其结果如表1所示，进一步验证了推论的正确性.

图1 任取一六边形及其内接图形

图2 任取一七边形及其内接图形

表1 六边形和七边形的面积与内接图形的面积关系

4 结论

通过探讨任意凸N边形内接图形的面积与原图形的面积间的等比关系,并用CAD软件进行模拟，模拟效果良好．这种在新定义下实施的面积计算方法,对以后一些图案的设计有一定的启示.所以,具体地求任意凸多边形及其内接多边形的面积会在建筑工程造价等方面有很大的帮助,也将在一定程度上对推动机械制造和工程建筑业的进步有一定的意义.

[1]高孝忠,罗淼.解析几何[M].北京:清华大学出版社,2011.

[2]中学数学课程教材研究开发中心.新课标数学九年级[M].北京:人民教育出版社,2010.

[3]吕林根,许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社,2010.

[4]曾令淮,段辉明,李玲.高等代数与解析几何[M].北京:清华大学出版社,2014.

[5]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2014.

[6]张小平,张国清.建筑工程CAD[M].北京:人民交通出版社,2007.

(责任编辑:陈衍峰)

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.08.015

2016-03-12

国家自然科学基金“人口流动对艾滋病传播影响的动力学模型研究”(11261056);昌吉职业技术学院自然科学基金“具有干预措施的HIV/AIDS传播模型的建立与研究”(CJZY2015026)

王来全,甘肃定西人,讲师.

王来全,E-mail:wanglaiquana@126.com

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1008-7974(2016)04-0047-03