浅谈导数的应用

汪泽亮

0 引言

导数是数学中重要的概念之一。它的应用范围非常广泛，通过对导数应用问题的探讨，可提升学生应用数学知识解决实际问题的能力。本文主要是应用导数研究函数的单调性，凹凸性以及切线问题，同时也应用导数解决经济学中一些边际分析问题。

随着市场经济的不断发展和完善，导数在经济领域发挥的及其重要作用，因此，作为一位管理人员者不仅要对企业的经济行为进行定性分析，更重要的是还要对其进行定量分析，以使经营决策更科学，更精确，从而给企业带来良好的经济效益。

导数在数学基础知识解决实际问题的应用：

1 利用导数讨论函数的单调性与凹凸性

4 导数在经济分析中的应用举例

导数主要是研究变化率问题，而在经济学中，存在许多与变化率的问题，因此我们可以把经济学中的很多问题归结到数学中来，用我们所学的导数知识加以研究并解决。在此我们就经济学中的边际分析问题加以讨论。

边际概念表示当x的改变量？驻x趋于0时y的相应改变量的变化，即当x在某一给定值附近有微？驻y与？驻x的比值小变化时y的瞬时变化。若设某经济指标y与影响指标值的因素x之间成立函数关系式y=f（x），则称导数f（x）为f（x）的边际函数。随着y，x含义不同，边际函数的含义也不一样。设生产某产品q单位时所需要的总成本函数为C=C（q），则称C（q）为边际成本。边际成本的经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C（q）。类似可定义其它概念，如边际收入，边际利润等等。经济活动的目的，除了考虑社会效益，对于一个具体的企业，决策者更多的是考虑经营的效果，怎样降低成本，提高利润获取最大的经济效益等问题。

例6：设某企业生产某种产品，其成本函数c（x）=ax3-bx2+cx（a，b，c>0的常数）问每批生产多少个单位的产品，其平均成本最小？并求其最小平均成本和相应的边际成本。

例7：设某种产品的成本函数为：C=C（q）=100+5q-0.3q2+0.02q3，求生产水平为q=20（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合适？

解：当q=20时的总成本为：C（20）=100+5×20-0.3×202+0.02×203=240（万元）

所以平均成本（单位成本）为：C（20）÷20=240÷20=12（元/件）边际成本MC=C（q）=5-0.6q+0.06q2 MC|q=20=4-0.6×20+0.06×202=16（元/件）

因此，在生产水平为20万件时，每增加一个产品总成本增加16元，高于当前的单位成本，从降低成本角度看，不应该继续提高产量，而应该降低产量。

从上面的例子可以看出，导数对于在经济学中边际问题的分析尤为重要。通过边际问题的分析，对于企业的决策者做出正确的决策起了十分重要的作用！

[责任编辑：田吉捷]