论述高中数学数列学习中换元法的应用

胡远晨●

湖南省长沙市一中(410000)



论述高中数学数列学习中换元法的应用

胡远晨●

湖南省长沙市一中(410000)

换元法在高中数学数列的学习中占有很重要的地位，数列又是我们高中数学学习的重点，就数列本身而言，它与其它章节的知识点又具有十分密切的联系，是数学学习中一种特殊的函数，也就成为我们数学学习的难点之一.换元法的使用可以使问题变得标准化、简单化，为我们解决数列问题提供极大的方便.

高中数学；数列；换元法；应用

换元法又可以称为辅助元素法或变量代换法，它通过构造元和设元、等量替换等方法引入新的变量将问题中分散的条件联系起来，暗含的条件显露出来，转化为我们熟悉的形式，使问题变得标准化、简单化，变得容易处理.

换元法的种类有：等参量换元、非等参量还原.使用换元法时，一定要注意，简便，准确的原则，进行有利运算，还要注意的是，换元后所选取的新变量的范围.必须在新取值范围对应原数值变量的取值范围.换元法可以解决不等式、方程、函数、数列核三角函数等问题，同学们通过使用换元法解决数学问题，一方面可以提高解题的效率，另一方面可以培养我们解题的能力.本文就换元法在数列学习中的应用进行简单的论述.

1.换元法求递推数列的通项公式

通常数列{an}的递推式为pan+1+qan+ran-1+s=0(p、q、r≠0)，在解题时，(1)p+q+r=0的情况，通过变形用换元法易求得该数列的通项公式；(2)p+q+r≠0的情况，①当s=0时，在原递推式的两边同时加上λan进行求解，②当s≠0时，在原递推式的两边同时加上λan+μ，然后再经过各种变形整理求得该数列的通项公式.

例1 解方程(x2-2x)2-3(x2-2x)-4=0.

解 设x2-2x=y，则原方程变为y2-3y-4=0,(y-4)(y+1)=0,y-4=0或y+1=0,y1=4，y2=-1.

当y=-1时，x2-2x=-1,解得x3=x4=1.

2.整体换元思想在数列中的应用

整体换元思想在数列中结合等差数列的性质，等比数列的性质对于题目中给出条件较少的，或者无法直接进行求解的，可以利用换元法将局部构造成便于求解的式子或将要求的式子用题目中已知的式子整体表示出来对题目进行解答.还有一种就是直接对前n项的和进行整体换元，例如将a1+a2+a3+……+an设为x后再对题目进行解答.在高中数学的学习中，整体换元的思维解题能力十分重要，通过整体换元思想可以降低题目的分析难度，大大缩短解题所用的时间，使同学们在整个题的思维进行分析和把握，思维能力更加灵活.

例2 已知等差数列{an} 的前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27∶32，求公差d.

所以S奇-S偶=6d=30，解的d=5.

3.用结论换元法求三角数列的和与积

(1)用结论换元法求三角数列前n项和的公式的基本步骤：首先将结果设为Sn，然后将S0和Sn-Sn-1求出来，再把Sn-Sn-1中的n分别令为1，2， 3，…，n，最后将上一步所有式子加起来即为所求的三角数列前n项的和.

(2)用结论换元法求三角数列前n项积的公式的基本步骤：首先将结果设为Sn，然后将Sn/Sn-1求出来，再把Sn/Sn-1中的n分别令为1，2， 3，…，n，最后将上一步所有式子乘起来即为所求的三角数列前n项的积.

例3 已知数列{an}的前n项和为Sn=n2，某三角形三边之比为a2∶a3∶a4，求该三角形最大角.

综上所述，换元法在解一些复杂的因式分解问题，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用，数列学习阶梯比较复杂，使用换元法能够使数列解法更加简单，解题便捷.

[1] 张焕明.用结论换元法求三角数列的和[J].浙江安吉中学，2005(6)

[2] 陈健.还原法求一类递推数列的通项公式[J].福建莆田第五中学，2004

[3] 戴元涛.整体换元思维在数列中的应用[J].深证市坪山高级中学，2010(3)

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