基于贝叶斯方法的竖井中性面模型参数不确定性研究

张 强，邱 榕，蒋 勇

(中国科学技术大学火灾科学国家重点实验室，合肥，230026)



基于贝叶斯方法的竖井中性面模型参数不确定性研究

张 强，邱 榕*，蒋 勇

(中国科学技术大学火灾科学国家重点实验室，合肥，230026)

随着高层建筑越来越多，其发生火灾的风险也越来越大，火灾烟气是导致火势蔓延和人员伤亡的主要原因，因此高层建筑防排烟设计问题可谓重中之重。建筑中性面的性质决定了其在防排烟设计中的关键地位，通过对建筑中性面位置的研究来优化建筑防排烟设计，减少火灾烟气对人和建筑的危害具有重要的意义。在前人工作的基础上，利用场模拟的方法得到样本值，并引入贝叶斯概率方法量化模型参数的不确定性，分析了竖井结构单一参数的不确定性对中性面位置分布的影响。旨在为火灾安全工程设计和竖井模型实验台设计，以及建筑竖向通道防排烟设计提供一定的参考。

中性面；场模拟；贝叶斯方法；不确定性

0 引言

高层建筑在城市中如雨后春笋般拔地而起，壮观、宏伟的高层建筑一边使城市更加具有现代气息，一边也给城市带来了风险。

高层建筑因其楼层多、功能全、人员密集、装饰布置可燃材料种类多样、电气设备及配电线路密如蛛网、管道竖井纵横交错，因此发生火灾具有以下特点[1]：

(1)火灾隐患多，危险性大，由烟头或线路事故引发的火灾事件屡见不鲜，甚至一个小小火星即可酿成一场巨大的灾难；

(2)由于风力作用，加之可燃物燃烧猛烈，火势发展极为迅速；

(3)由于竖井管道的“烟囱效应”，烟气运动快，甚至在一分钟之内烟气即可传播到200 m的高度。烟气是火势蔓延和人员伤亡的重要原因；

(4)人员疏散、营救以及灭火难度大；

(5)人员伤亡惨重。

正因为高层建筑在城市中的作用以及它所面临的危险，所以高层建筑的火灾安全及人员疏散问题尤其严重。而烟气是火势蔓延和人员伤亡的主要原因，那么高层建筑及其内部竖向通道的防排烟就成为重中之重。

中性面作为高层建筑控烟的重要因素，尤其被领域内的专家学者重视。为了得到建筑结构中压差中性面的位置计算模型，前人建立了一种由气流密度差控制的建筑压力分布抽象模型—竖井模型。1991年，Klote[2]最早建立了带有连续侧向开缝的竖井结构的中性面高度的预测模型，为预测竖井结构中性面位置作出了开拓性的贡献。但是，Klote的模型中有个很重要的缺陷，他假设竖井内外的温度是均匀的、不随时间变化的。而在真实的建筑火灾场景中，火灾产生的烟气沿竖井壁面向上蔓延过程中，热烟气与上方冷空气、热烟气与壁面都存在热交换，从而使竖井结构内烟气温度在竖直方向上表现出衰减趋势，存在一定的温度梯度，同时近火源区温度高，远火源区温度较低。这就造成Klote中性面模型与实际情况存在较大差异。张[3]在Klote模型的基础上，考虑了温度在竖直方向上分布的实际情况，提出了火灾情况下竖井中性面双区域预测模型。他将竖井内部分为两个区域，一个近火源区域，一个远火源区域，并假设这两个区域内温度是均一不变的。许[4]在张靖岩模型的基础上又将中性面位置预测模型向前推进了一步。她根据竖井内实际温度分布情况，建立了温度多区域模型和温度连续模型，该模型考虑了竖井内温度的真实分布情况，更加接近实际。毛[5]综合考虑了前人的研究成果，基于对竖井内温度分布的影响因素进行理论分析，建立了考虑侧向开缝宽度变化的中性面高度预测模型。该模型同时考虑了开缝宽度和竖井温度分布，也考虑了存在顶部开口的竖井模型，因此能够较为准确的预测竖井中性面位置。

前人的中性面预测模型，大多都是依据确定的温度情况以及确定的竖井结构参数，通过推导经验公式来预测中性面位置，而对于某种参数的不确定性对中性面位置分布情况的影响并没有人进行研究，而输入参数的不确定性必然会对模型的输出结果造成影响，因此研究参数不确定性对目标函数的影响是十分必要的。本文针对竖井中性面模型，引入贝叶斯方法量化并分析参数不确定性对竖井中性面位置分布所造成的影响，为竖井实验台的建立及建筑防排烟设计提供一定的指导。

1 不确定性理论与贝叶斯方法

1.1 模型参数的不确定性

在火灾安全工程领域，由于系统内部固有的本质特性或者不完备的系统知识，致使实验及测量过程中存在着不确定性。第一类不确定性被称为偶然不确定性，也叫做随机不确定性，这种不确定性描述的是系统内在的固有特性变化产生的风险，例如建筑火灾中火灾发生的时间和位置，这类不确定性能够通过采集数据来描述，但是不能通过收集更多的数据来降低。第二类不确定性叫做认知不确定性，也称作知识不确定性，它被用来描述由于系统物理模型相关知识缺乏造成的风险，和第一类不确定性相反，它可以通过收集更多的数据、掌握更多的相关知识来降低[6]。

针对系统不确定性，Frantzich[7]给出了三个级别的处理方法：第一级别是根据确定性的分析方法评价不确定性，第二级别是使用均值、方差、协方差来处理不确定性，第三级别是采用概率分布的方法进行整体的不确定性考量。

目前，在火灾安全模型方面的参数不确定性分析研究中，大多应用CFAST等区域模型来计算，这是由于区域模拟相较场模拟而言，计算量较小。Notarianni[8]利用CFAST模拟分析了烟气层高度、温度及烟气能见度等危险因素的不确定性对输出结果的影响；汪[9]在其论文中将ASET作为目标函数、烟气层高度和温度作为判据，系统地研究了输入参数的不确定性对ASET的影响。孔[10]在汪金辉的工作基础上，进一步分析了参数不确定性对ASET及RSET的影响。

上述研究对火灾安全工程中的模型参数不确定性的研究都是建立在区域模拟的基础上，虽然区域模拟所需计算资源较小，但其计算精度也相对较低。而利用场模拟及概率的方法来量化考量火灾情况下高层建筑竖井模型中的一些参数不确定性的研究几乎没有。本文提出场模拟及贝叶斯概率方法来量化竖井模型中性面位置的参数的不确定性，分析单一参数的不确定性对中性面位置分布的影响。

1.2 贝叶斯方法

贝叶斯推断方法[11]起源于英国统计学家贝叶斯(Bayes TR)的论文《论机会学说中的一个问题的求解》(An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances)[12]。经过两个多世纪的发展，贝叶斯方法已经成为与经典统计学派并驾齐驱的两大权威统计学派之一，广泛应用于风险管理、可靠性工程、质量控制及经济等领域，并且逐渐发展为不同类型的统计方法，如分类判断与神经网络、有穷总体抽样、试验设计等。

贝叶斯方法认为所有的参数变量都具有某种概率分布，针对目标函数的推断与检验也都是建立在概率分布的基础上的。贝叶斯推理问题就是条件概率的问题。简单来说，贝叶斯方法对参数θ的推断既利用了包括样本参数信息的似然函数，又利用了参数的先验信息，能够在不满足大样本的情况下，比经典统计方法得到更为精确的预测结果。

下面介绍贝叶斯方法的基本步骤：

(1)

公式(1)表示随机分布参数θ确定时，变量x的条件分布。

(2)确定先验分布πΘ(θ)。先验分布中包含了人们对模型的以往经验认识以及理性的考虑。如果没有前人的经验作为参考，那么可以采用均匀分布作为πΘ(θ)，即参数在其变化范围内取到的概率是相同的，这种确定先验分布的方法叫做贝叶斯假设。

先验分布的常用的确定方法有：贝叶斯假设法、共轭分布法、Jeffrey原则法、最大熵原则法等等。

(2)

似然函数L(θ)中包含总体和样本中所含的θ的信息。

(4)利用贝叶斯定理更新校正参数θ的概率分布。贝叶斯定律表达形式：

(3)

(5)利用参数θ的后验分布，得到变量x的预测概率密度分布函数，即变量x的条件概率分布函数：

(4)

通过变量x预测概率密度分布函数，可以更新事件x和事件θi之间的关联程度，以及产生事件x的原因θi对事件x的影响程度。

2 中性面计算模型及其参数

根据以往研究经验，火灾模型大致可以分为三类：场模型、区域模型和经验(或理论)公式模型[13]。经验公式模型一般是将复杂模型简化，且一定假设的前提下，利用经验公式计算目标变量，与场模型相比，它虽然可以较快速的计算出待求量，但其计算结果往往较为粗糙。前文中Klote[2]、张[3]、许[4]及毛[5]的中性面计算模型皆属于此类。区域模型与场模型相比，虽然计算资源及所需时间较少，但其精度低于场模型，例如CFAST模拟，前文中Notarianni[8]、汪[9]及孔[10]的工作属于此类。场模型具有较高的计算精度，可以描述刻画较为复杂的火灾过程，以FDS(Fire Dynamic Simulator)为例，该程序对建筑火灾过程中的烟气蔓延现象的计算具有很高的精度，包括流体运动的速度场及温度场的模拟，但其所消耗的计算资源及计算时间较多，因此对于大样本的获取较为困难。本文利用贝叶斯方法，以较小样本群来反映总体分布情况，不仅节省了计算资源及时间，同时也达到了较为准确预测结果。

本文采用贝叶斯概率方法分析参数不确定性对竖井结构中性面位置影响的流程如图1所示。

图1 参数不确定性对中性面位置影响的分析流程图Fig.1 The analysis flow chat of the impact of parameter uncertainty on neutral-plane position

本文根据Klote中性面计算模型为基础设计竖井模型，具体模型如图2所示。根据Klote中性面计算模型可知，影响中性面位置的主要因素有火源热释放速率、竖井内部温度、竖井侧向连续开缝宽度以及竖井顶部开口面积。本研究中选取火源热释放速率hrr和竖井顶部开口面积A为参数，分析这两个参数的不确定性对竖井中性面的影响。这两个参数的不确定性在实际过程中可以表示为在竖井结构设计时顶部开口面积大小不确定、发生火灾时火源热释放速率不确定。

图2 竖井模型示意图Fig.2 Vertical shaft model schematic

根据图2所示，利用场模拟软件FDS分别建立考虑顶部开口竖井模型和考虑火源热释放速率竖井模型：

(1)考虑竖井顶部开口模型

(2)考虑火源热释放速率模型

竖井无量纲高度(Dimensionless Height)为H*，H*=H/Ht，公式中H为设置测点的高度，Ht为竖井总高度。

3 结果与讨论

3.1 基于确定性的不同顶部开口和热释放速率对中性面位置的影响

在研究参数不确定性对竖井中性面位置的影响之前，本节先讨论确定的参数对竖井中性面位置的影响。

本研究中分别设置了自然通风条件下39组不同的竖井顶部开口面积和30组不同的热释放速率的工况，所选工况见表1和表2。通过数值计算得到模拟结果，取具有代表性的参数设置分析其不同的确定值对竖井中性面以及温度分布的影响。

表1 不同的竖井顶部开口无量纲面积A*

表2 不同的火源归一化后的热释放速率hrr*

图3显示了自然通风时竖井顶部开口面积A为0 m2、0.09 m2、0.36 m2、0.81 m2以及1.44 m2工况下竖井内部温度分布情况(竖井顶部面积At为2.25 m2)。从图3中可以看出，不同的竖井顶部开口面积对竖井内部温度分布有较大影响。随着顶部开口面积增大，竖井内部温度逐渐降低。顶部开口面积增大，在烟囱效应作用下导致自然通风量增加，根据质量守恒定律，卷吸进入竖井内的冷空气量增加，热烟气对流换热量增加，同时还存在热烟气与壁面的换热，导致竖井内部温度逐渐降低，并在竖井内部形成竖直方向上的温度衰减梯度。

图4显示了自然通风条件下，不同的竖井顶部开口面积对应的中性面位置散点图。从图4中可以看出，不同大小的竖井顶部开口对中性面位置影响较大，随开口面积增大，中性面位置基本呈线性增加，且带有顶部开口的竖井结构其中性面位置大多位于竖井的1/2以上。以竖井结构为系统，进出竖井的气体符合质量守恒定律。进入竖井的气体部分包括前室产生的烟气和中性面以下的侧向开缝卷吸的空气，竖井排出的气体部分包括由中性面以上的侧向开缝和顶部开口排出的烟气，这两部分气体质量是相等的。所以当顶部开口面积逐渐增大时，竖井顶部排烟量增加，烟囱效应增强，烟气的垂直运动增加而水平运动减少，由侧面开缝流出的烟气就会减少，根据质量守恒定律可知，此时的中性面位置会向上移动。

图3 不同顶部开口面积下竖井内部温度分布曲线Fig.3 Temperature distribution in shaft with different areas of top vent

图4 不同顶部开口面积对应竖井结构中性面位置散点图Fig.4 The scatter plot of shaft neutral-plane position with different areas of top vent

图5 不同热释放速率下竖井内部温度分布曲线Fig.5 Temperature distribution in shaft with different heat release rates

图5表示的是在不同的火源热释放速率情况下，竖井内部温度在不同高度处的分布情况。由图5中可以看出，竖井内部温度在垂直方向存在温度梯度，随着高度的增加，温度逐渐衰减，大约在竖井无量纲高度H*=0.2处为分界面，H*≤0.2时，温度处于迅速衰减区，H*>0.2时，温度处于缓慢衰减区。随着火源热释放速率的增加，起火室内温度升高，进入竖井底部的烟气温度也会升高。当火源热释放速率过大时(hrr=500 kW)，竖井内部温度有较大幅度的提升，但其变化趋势基本一致。

图6说明了火源热释放速率在20 kW～1000 kW范围改变时，竖井中性面的分布情况。根据图6中散点分布情况可以看出，与竖井顶部开口面积相比，不同的火源热释放速率对竖井中性面影响不大，中性面位置e没有较大的变化幅度。随着火源热释放速率增大，起火房间及竖井内部温度升高，造成烟气热压增大，如图7所示，图7中直线1，2，3分别代表温度从低到高时的烟气热压分布示意图，其中1号线表示压力较小，3号线表示压力较大。较高的烟气温度加快了气体流入流出速度，由于不存在顶部开口，中性面上下方气体质量流率增加，同时竖井内部维持质量守恒，因此中性面位置并没有明显变化。

综合图5和图6可以看出，在不带顶部开口的竖井结构中，不同的火源热释放速率对竖井中性面位置变化影响不大，且中性面基本维持在竖井高度的1/2以下，也说明了较大的火源热释放速率只对温度有影响，而对中性面位置基本没有影响，同时根据文献[2,14,15]中所设置火源工况，所以本文后续计算部分不考虑100 kW以上的工况。

图6 不同热释放速率下竖井结构中性面位置分布曲线Fig.6 The scatter plot of shaft neutral-plane position with different heat release rates

图7 不同火源热释放速率条件下竖井中性面上下压力分布示意图Fig.7 The schematic of pressure distribution in the shaft with different heat release rates

综上所述，在自然通风条件下，竖井顶部开口面积和火源热释放速率的改变都会对竖井中性面位置造成影响。与火源热释放速率相比，竖井顶部开口面积的改变对中性面位置有较大的影响。

3.2 顶部开口面积的不确定性对竖井中性面位置的影响

从本章3.1节中的分析可以得出，顶部开口面

积的变化对竖井中性面有着明显的影响，随着竖井顶部开口面积增加，竖井中性面位置也在相对的升高。

本节中，针对顶部开口面积这一竖井火灾安全设计的重要参数，利用贝叶斯方法量化竖井顶部开口面积不确定性，这里假设顶部开口参数样本服从正态分布，通过计算得到中性面位置的条件概率分布函数以及补充累积概率函数。

同时根据中心极限定理，当顶部开口面积和火源热释放速率这两个参数的总体样本非常大时，在该样本中进行大量抽样，所抽出的参数样本会接近于满足正态分布的情况，为了后续的参数估计更容易实现，根据共轭分布法和中心极限定理，本文将这两个参数的先验分布假定为正态分布。

首先，根据竖井模型的结构，设定竖井顶部开口的无量纲面积A*在0到1之间变化，其中A*=A/At。利用Matlab分层随机抽取样本程序，在0到1之间分层次进行随机抽取参数样本，选取了39组A*的数据作为实验样本(见表3)，且认为该组样本服从正态分布。

使用FDS软件对实验样本进行数值计算，并统计模拟结果，可以得出，竖井顶部开口无量纲面积和中性面位置分别服从：

P(A*)～N(0.4739,0.27942)；

PA(e)～N(0.6804,0.13132)；

表3 竖井顶部开口无量纲面积A*及其对应的中性面位置

从上述分析可以推断，竖井顶部开口的不确定性对竖井中性面位置有较为明显的影响，因此，在火灾安全工程设计及竖井实验台设计时，应充分考虑顶部开口面积大小对竖井内部烟气蔓延的影响，同时在建筑防排烟设计时也应予以考虑。

图8 顶部开口面积服从正态分布情况下的中性面位置的概率密度函数曲线Fig.8 The probability density function of neutral-plane position when the top vent area fits normal distribution

图9 顶部开口面积服从正态分布时中性面位置的补充累积概率分布函数曲线Fig.9 The complementary cumulative distribution function of neutral-plane position when the top vent area fits normal distribution

图10 贝叶斯方法校正效果图(顶部开口不确定性影响下)Fig.10 The correction effect diagram by Bayesian approach (with the uncertainty of top vent area)

3.3 热释放速率的不确定性对竖井中性面位置的影响

[14,15]可知，对于竖井模型的热释放速率一般在100 kW以下。因此，本节中30组实验工况设置为热释放速率在20 kW～100 kW之间变化，且服从正态分布。为了数据处理方便，这里将热释放速率的值做归一化处理，将其不同值归于区间[0，1]，归一化热释放速率hrr*=hrr(kW)/100(kW)，其中hrr为所选热释放速率工况，100 kW为所选工况中最大热释放速率值。30组实验工况的具体数据见表4。

通过FDS软件计算得到表2数据，对模拟结果进行统计分析得到：

P(hrr*)～N(0.611,0.2032)；

Ph(e)～N(0.468,0.0032)；

图11 热释放速率服从正态分布情况下的中性面位置的概率分布曲线Fig.11 The probability density function of neutral-plane position e when the heat release rate fits normal distribution

根据上述分析可以得出，热释放速率的不确定性对竖井中性面位置的影响不明显。虽然火源热释放速率的变化对竖井内部温度分布有一定的影响，但其压力平衡面并没有较大的移动。

图12 热释放速率服从正态分布时中性面位置的补充累积概率分布曲线Fig.12 The complementary cumulative distribution function of neutral-plane position when the heat release rate fits normal distribution

综上所述，与图4、图5中给出确定的参数值比较，图中散点结合起来只能对中性面位置分布进行定性的粗略的分析，得出大概的趋势。而通过贝叶斯方法可以根据较小的参数样本来估计总体的情况，且具有较高的可信度，这对火灾安全领域来说可以节省大量实验所需的人力物力；同时对具体参数的不确定性进行量化，得到在参数是变量情况下的

中性面位置的条件概率分布和具体的置信区间，其中条件概率分布函数可以用来判断参数对中性面的影响大小及中性面的位置分布情况，为火灾安全设计者选取火灾场景提供参考；得到的置信区间及其概率可以为竖井中性面模型的设计和竖向通道的控烟问题提供定量依据。

4 结论

本文采用贝叶斯方法研究了竖井模型单一参数的不确定性对中性面位置分布的影响，得到以下结论，希望对火灾安全工程设计和竖井模型实验台设计，以及建筑竖向通道控烟设计提供一定的参考。

1)提出量化竖井中性面影响因素的不确定性的贝叶斯方法；

2)通过贝叶斯方法，利用较小样本数据分别分析了竖井顶部开口面积和火源热释放速率的不确定性对竖井中性面位置的影响。

3)顶部竖井开口面积的不确定性对中性面影响较大，当竖井顶部开口无量纲面积A*服从正态分布，且在0到1的变化过程中，竖井中性面位置分布概率为0。9的置信区间为[0.448，0.797]，即中性面位于整个竖井高度的44.8%～79.7%之间的概率为0.9；

4)火源热释放速率的不确定性对中性面影响较小，当热释放速率从20 kW到100 kW变化，且服从正态分布时，竖井中性面位置分布概率为0.9的置信区间为[0.4641，0.4817]，即中性面位置在整个竖井高度的46.41%～48.17%之间的概率为0.9。

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A study of parameter uncertainty of neutral-plane model based on Bayesian approach

ZHANG Qiang, QIU Rong, JIANG Yong

(State Key Laboratory of Fire Science, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China)

With the construction of more and more high-rise buildings, the risk of fire is growing. Fire smoke is considered as the main reason of the fire spreading and the casualties. Therefore, design of the smoke-control system for the high-rise buildings is of great importance. The neutral-plane, due to its intrinsic properties, is the key point in the smoke-control, for which researchers try to optimize the smoke-control design in terms of the position of the neutral-plane. We propose a method to analyze the influence generated by the uncertainty of shaft model parameter for the neutral-plane position distribution. Based on the previous work, we obtain the sample values by applying the field simulation method and quantify the uncertainty of the model parameters by the Bayesian probability approach. The research results provide reference for the design of fire safety engineering, shaft model and the smoke-control in buildings.

Neutral-plane; Field simulation; Bayesian approach; Uncertainty

1004-5309(2016)-00148-10

10.3969/j.issn.1004-5309.2016.03.05

2016-03-24；修改日期：2016-05-17

国家自然科学基金(51176181);国家重点基础研究发展计划(2012CB719704);高等学校博士学科点专项科研基金(20123402110047,20133402110010);中央高校基本科研业务费专项资金(WK2320000033)。

张强(1989-)，男，安全科学与工程硕士研究生，研究方向为高层建筑火灾及烟气蔓延数值模拟。

邱榕，E-mail：rqh@ustc.edu.cn

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