奥运与二次函数

今年是奥运年，中国运动健儿在里约奥运会上再创佳绩.可你们知道吗，奥运还与我们学习的数学有“深厚”的联系呢.下面围绕二次函数这一部分内容，以奥运为载体，谈谈它们之间的密切联系.

一、 比赛项目与二次函数

在奥运会的赛场上，人、球或其他物体在空中运动的某一段过程形成的轨迹可以看成抛物线，我们以跳水和足球为例.

例1 如图1，2016年里约奥运会，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=-[256]x2+[103]x（如图建立直角坐标系，图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为 米.

【分析】首先把抛物线解析式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标，进而得到运动员在空中运动的最大高度离水面为多少米.

【解答】∵y=-[256]x2+[103]x=-[256][x2-45x]

=-[256][x-25]2+[23]，

∴抛物线的顶点坐标是[25，23]，

∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+[23]=10[23]（米）.

例2 如图2，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m.已知球门的横梁高OA为2.44m.

[图2]

（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行中的足球能否进球门？（不计其他情况）

（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？

【分析】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（4，3），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）求出当x=2时，抛物线的函数值，与2.52米进行比较即可判断，再利用y=2.52求出x的值即可得出答案.

【解答】（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），

设抛物线的解析式是：y=a（x-4）2+3，

把（10，0）代入得36a+3=0，

解得a=-[112]，

则抛物线是y=-[112]（x-4）2+3，

当x=0时，y=-[112]×16+3=3-[43]=[53]<2.44，

故能射进球门；

（2）当x=2时，y=-[112]（2-4）2+3=[83]>2.52，

∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，

当y=2.52时，y=-[112]（x-4）2+3=2.52，

解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），

∴2-1.6=0.4（米）.

答：他至少后退0.4米，才能阻止球员甲的射门.

二、 商品与二次函数

里约当地的商店有很多奥运纪念品，店家为了获得更多利润，要对纪念品做出合适的定价.

例3 奥运会某纪念品的进价为每件40美元，如果售价为每件50美元，每天可卖出210件；如果售价超过50美元但不超过80美元，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件；如果售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件.设每件纪念品的售价为x美元，每天的销售量为y件.

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每天的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件纪念品的售价定为多少美元时，每天可获得最大利润？每天最大利润是多少美元？

【分析】（1）当售价超过50美元但不超过80美元时，每件纪念品的售价每上涨1美元，则每天少卖1件，y=260-x，50≤x≤80；当售价超过80美元后，若再涨价，则每涨1美元每天少卖3件，y=420-3x，80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，列出函数关系式.

（3）分别求出两段函数的最大值，然后作比较.

【解答】（1）略解，

[y=260-x（50≤x≤80），y=420-3x（80

（2）由利润=（售价-成本）×销售量，可以列出函数关系式：

w=-x2+300x-10400（50≤x≤80），

w=-3x2+540x-16800（80

（3）当50≤x≤80时，w=-x2+300x-10400，

当x=80时有最大值，最大值为7200，

当80

当x=90时，有最大值，最大值为7500，

故售价定为90美元，每天利润最大为7500美元.

三、赞助商与二次函数

在奥运会上有很多签约的赞助商，在奥运会期间他们的广告无处不在.

例4 如图3，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=xcm.[图3]

某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

【分析】利用已知条件表示出包装盒的表面面积，进而利用函数最值求出即可.

【解答】设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=[2]x，h=[24-2x2]=[2]（12-x），

∴S=4ah+a2=4[2]x·[2]（12-x）+（[2]x）2

=-6x2+96x=-6（x-8）2+384，

∵0

∴当x=8时，S取得最大值384cm2.

（作者单位：江苏省太仓市第一中学）