不同参考系下的相对论多普勒效应——求解第32届全国中学生物理竞赛复赛第4题

郁林富

(宁波市镇海中学 浙江 宁波 315200)(收稿日期：2016-05-06)



竞赛与物理专题研修

不同参考系下的相对论多普勒效应
——求解第32届全国中学生物理竞赛复赛第4题

郁林富

(宁波市镇海中学 浙江 宁波 315200)(收稿日期：2016-05-06)

基于相对论速度变换和同一直线上相对论多普勒效应，给出了在接收者系下，运动方向与位移连线不在同一直线上的相对论多普勒效应的频率变换公式．

多普勒效应 相对论 竞赛

第32届全国中学生物理竞赛复赛第4题解析非常复杂，让一般的同学望而却步，在此结合相对论多普勒效应给出新的思路，避开了多次近似，大大降低了题目计算难度，更有利于竞赛推广．

1 一维方向上的多普勒效应

(1)接收者静止，光源以uS向接收者靠近

图1 接收者静止，光源向接收者靠近

根据相对论效应其在S系中的周期

所以在S系中的波长

λ=λ0-uST=cT-uST

接收者系接收到的频率

(2)光源静止，接收者以u0向光源靠近

如图2所示，接收者为S′系，实验系为S系(光源系)，设S系中光的频率为v0，为了得到接收者在接收者系的频率，光源的速度利用相对论速度变换公式转换到接收者参考系中．

图2 光源静止，接收者向光源靠近

此时光源的速度为

在接收者为S′系看来光源以u0在靠近，同(1)可得此时接收者接收到的频率

(3)光源以uS，接收者以u0相互靠近

接收者为S′系，实验系为S系(光源在S中以uS运动)，此时光源在S′系的速度为

2 二维方向上的多普勒效应

(1)接收者静止，光源以uS运动

图3 接收者静止，光源沿直线运动且与观察者连线成θ角

根据相对论效应其在S系中的周期

将uS投影到连线上

uScos θ

所以在S系中的波长

λ=λ0-uSTcos θ=cT-uSTcos θ

接收者接收到的频率

(2)光源静止，接收者以u0运动

如图4所示，接收者为S′系，实验系为S系，设S系中光的频率为v0，夹角为θ．

图4 光源静止，接收者沿直线运动且与光源连线成θ角

此时光源在S′系的速度为

原本光速沿x，y两方向的分量分别为

ux=ccos θ uy=csin θ

由速度变换公式，在S′系中光速的两个分量分别为

则在S′系中，来自银河系边缘的光的速度方向与x′轴的夹角为θ′,有

S′系中接收者接收到的频率

(3)光源以uS运动，接收者以u0运动

如图5所示，接收者为S′系，实验系为S系(光源在S中以uS运动)，此时光源在S′系的速度为

图5 光源和接收者平行运动，运动方向与两者连线的夹角成θ角

原本光速沿x，y两方向的分量为ux=ccos θ和uy=csin θ,由速度变换公式，可得在S′系中光速的两个分量分别为

则在S′系中，来自银河系边缘的光的速度方向与x′轴的夹角为θ′,有

接收者接收到的频率

利用二维方向上的多普勒效应(1)、(2)中的结论求解第32届全国中学生物理竞赛复赛第4题.

【题目】如图6所示，飞机在距水平地面(xz平面)等高的航线KA(沿x正方向)上，以大小为v(v远小于真空中的光速c)的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点(其x坐标为xP)发射扇形无线电波束(扇形的角平分线与航线垂直)，波束平面与水平地面交于线段BC(BC随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P点)，取K点在地面的正投影O为坐标原点．已知BC与航线KA的距离为R0．天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波，其频率为f0．

已知机载雷达天线经过A点(其x坐标为xA)及此后朝P点相继发出无线电波信号，由P反射后又被机载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差(频移)．

图6 飞机在空中飞行所建立的坐标系

解析：如图7所示，光源P点接收到的频率为

其中

在P点反射，频率不变，所以飞机在A′点接收到的频率为

图7 解题的题图

其中

所以

cos α1cos Δα-sin α1sin Δα≈cos α1

所以飞机接收到的频率可变为

频率差值为

其中

即α1为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角.

注：本题中所求频率差均为飞机上的观察者观察得到，若题干中的飞机发射频率f0为地面系中的参数，则可先将地面上的频率变为飞机上的观察者系中的频率，求解后再逆变换回地面参考系频率，由于两次变化都乘除相同系数，所以两次变换所得结果在地面系中观察到飞机接收到的频率也为

3 结束语

近年来竞赛加分取消，但拔尖高校对竞赛生的偏好没有降低，在高校自主招生中竞赛生优势依旧明显，除了北京大学、清华大学以外，其他的一流10校基本都要求考生为省一等奖，特别是C9高校，如，上海交通大学、中国科技大学、浙江大学等高校．其他高校天津大学、南开大学等都要求省一等奖．全国物理竞赛新大纲中没有相对论多普勒效应，但掌握相对论多普勒效应对全国物理竞赛带来很大的帮助，可谓站在高山顶上往下看往往能看到上山的最佳路线．

1 赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程·力学．北京：高等教育出版社，2004.364～374

2 黎永光．相对论能量——动量变换关系式与光波的多普勒效应．武汉工业学院学报，1999(3):93～96

The Relativistic Doppler Effect under Different Reference Frame——Solution of Question 4 in the 32nd Chinese Physics Competition

Yu Linfu

(Zhenhai High School，Ningbo,Zhejiang 315200)

Based on the relativistic Doppler effect in the same line and Relativistic velocity transformation, the relativistic Doppler effect frequency conversion formula, which can be used in the condition that motion direction and displacement of the connection is not in the same line in different reference frames.

doppler principle；the theory of relativity；competition