浅析基金定投中定期定额的原理和投资方法

一、基金定投的概念

在现实投资中，一般会分成两种投资方式，一种是单笔投资，另一种则是分次投资。

对于单笔投资，华尔街流传这样一句话：“要在市场中准确地踩点入市，比在空中接住一把飞刀更难。”所有人都希望在最低点买入，最高点卖出，而能做到这点的万中无一，哪怕是相对低点和高点，大多数人都不能很好的判断。

相比之下，分次投资更适合大多数人，把资金分次买入相应资产，从而均衡成本、避免最坏的情况，可以使自己立于不败之地。随着电子化交易的实现，在基金投资领域，这种分次投资的方法逐渐演化成：以基金为投资标的，按照既定的模式，自动化完成分笔投资，即基金定投。

二、基金定投的分类

按照期限与金额设定方式的不同，基金定投以分成四种类别：

其中，定期定额是基金定投中最初也最基本的模式，投资者通过提交申请，约定扣款时间和扣款金额，并确定扣款频次、持续时间和申购对象，由销售机构在约定扣款日自动扣款，完成基金申购。本文主要分析的及时定期定额模式下的投资方法。

三、定期定额的原理和投资方法

基金定投的根本目的是追求收益的最大化，下面以定期定额为投资模式，从数理分析的角度，讨论其投资有效性、建立收益的模型、并分析不同维度上最求收益最大化的策略。

（一）定期定额收益的基本原理

定期定额有两个固定，一个是固定日期，比如按月定投约定每月的1日为扣款日期；另一个是固定金额，比如每次扣款金额为1000元。固定日期避开了择时，使得投资更趋紧于随机变化下的均值情况；固定金额则可以在基金净值低的时候购买更多的份额，降低持仓成本，这种降低是依托调和平均数的特性。

1.调和平均数带来更低成本。我们把作为买入基金的价格（净值），那么1元钱可以购买的基金份额就是，假设某只基金在两个时间的净值（价格）c1和c2，那么在这两次购买的份额就是+，而两次购买花费2元，于是持仓均价就是，是一个调和平均数。如果是单笔购买，即随机在两次时点买入，则平均情况是，是一种算数平均数。数学有一个结论，就是算数平均数大于等于调和平均数（只有c1=c2时，两种平均数才会相等），即。

无论价格的数量有多少，只要定投与随机单笔购买的价格池一致，这个结果均成立。

通过定期定额获得的持仓价格，小于随机单笔购买的平均价格，这种差额-就是定期定额投资带来的更低成本，更高收益。

例如下图所示，当我们在ABCDE五个点分别买入一次基金，那么持仓均价不是1，而是0.882，在E点卖出时可以获得0.118的收益率了。

2.收益的来源。无论是股票还是基金，收益都来自开始的买入价和最后的卖出价的差额，把收益设为R，卖出价设为P，买入价依然是C，而用O和t代表买入阶段和卖出阶段的时间，则收益可以简单的表示为：

R=Pt-C0

这个等式，表明收益需要使最后的卖出价更高、而开始的买入价更低。对定期定投来说，其并不注重择时，所以我们把平均收益作为主要分析的对象。

对于随机单笔投资而言，平均投资收益就是：

但对于定期定额，其平均投资收益则是：

因为同一时间的买入价等于卖出价，所以我们可以认为，上面的等式就变成：

通过定期定额我们获得了两块收益来源，一部分是投资标的本身的上升-；另一部分来自于通过调和平均值的特性，将持仓成本超额降低的0-0，也是定投带来的超额收益。

3.收益额最大化。除了考虑价差之外，投资收益额还取决于投资的时间效率和投资金额的多少。当我们进行定期定额投资的时候，不可避免面临时间问题，如果时间很长则年化收益率必然被摊薄。而且定投的金额大小也会影响最后的绝对收益额。假设第一笔买入和最后卖出的时间差为T，每次定投的金额为d，扣款的次数为N，则在考虑时间和金额后，设平均的单位时间收益额*，则有：

要追求收益额的最大化，就是求*的最大化，从上式可知需要考虑四个方面：更低的买入价格0，更高的卖出价格，更快的买卖T，更大的投资金额N×d。现实投资中，我们在赎回之前往往会持续扣款投资，买卖时差T与定投扣款的次数N直接相关，而单次扣款金额d又与投资人的薪酬水平密切联系，所以一般情况下投资者更关注的是买卖价差。

4.内部回报率最大化。当资金没有投入基金时，可以选择其他的投资方式，在这种前提下我们追求每一份现金流的时间和其对应的平均收益，即内部回报率。内部回报率最大化，就是资金的使用效率最大化。

设平均的内部回报率为，则有

通过两分法，可以近似求得。即，内部回报率最大化，近似等于单位时间价差最大化。

（二）降低持仓均价

在进行定期定额的设定中，我们会面临不同的扣款日期、频率、标的、时间长度的选择，那么这些设定对于降低持仓成本有什么影响，我们应该如何选择呢？

1.扣款日期的影响。如果每月的某一天，基金的净值（价格）总是相对较低的时候，根据这种周期性的变化，选择在那一天进行定投就可以使持仓价格更低。能不能找到这样的一天呢？

从证券本身的价值来看，很难说具有周度或者月度的周期性变化；而影响其市场价格的因素多而负责，尽管有的资金因为一些财务的需要会选择固定在每周或每月的某一天流入或流出，但不同个人和机构的选择并不一致。换一个角度，如果证券价格具有典型的周期性，那么投资者就可以利用这种周期性低买高买，所有人都这么做的结果就是周期性的消亡。所以，扣款日期对于降低定期定额的持仓价格影响不大。

2.扣款频率的影响。扣款频率是指相同时间内扣款的次数，或者两次扣款之间的时间间隔。目前市场上有按日、周、月、季等定期扣款的方式。

以按季和按月定投为例，在每一个季度内，可以按季定投1次3元，也可以按月定投3次1元。

按季定投的持仓价格就是季度内随机选择某一天的价格，假定一个月有30天，平均情况就是所有90个价格的算数平均数：

按月定投有3个价格，可以先计算出总份额，然后计算3个月的持仓价格，，相当于按照这个价格进行季度定投，那么在任何一天开始的平均情况，就是所有30个整合价格的C′算数平均数：

对s的分子分母同时除以3，将ci，ci+30，ci+60分为一组，即可轻易的判断后者小于前者，原因还是调和平均数小于算数平均数。本质上，一个季度内，按季定投是随机的单笔投资，而按月定投则是3次定期定额。同类，一个月内，按月定投是随机的单笔投资，而按周定投则是4次的定期定额。一周内，按周定投是随机的单笔投资，而按日定投则是5次的定期定额。

所以，在时间足够长的情况下，购买频次越大，购买的时间间隔越小，降低持仓均价的幅度越大。日定投成本<周定投成本<月定投成本<季定投成本。

3.投资标的的影响。不同投资标的区别主要有三个方面：流动性、收益性、波动性。流动性上，同样频率的基金定投基本没有差别。收益性上，如果某个投资标的平均收益明显较高，那么收益中0的部分就高，所以要选择预期收益性高的标的。波动性上，在普通投资中通常我们会选择波动率小，但这一点在定投中却不同。

使用扣款2次的例子，说明波动性大小与降低持仓成本的关系。我们可以定义定期定额的降低持仓成本f（Δ），在2次购买下，那么这个函数就可以变成：

假设整体价格c1+c2不变，设x=|c1-c2|≥0，并对x求导，则有：

当c1+c2不变，设x=|c1-c2|，则x≥0，且f（Δ）x=2x≥0

|c1-c2|与f（Δ）是正向关系，两次购买的价格差别越大，则定期定额降低持仓成本的幅度越大。

如果价格中有0，则会出现极值：

所以，。

但价格为0的情况并不存在，实际上，可以假定价格的波动有一定范围c1+c2≤k1且|c1-c2|≥k2>0，则有：

所以，。通常降低持仓成本的幅度f（Δ）是会小于某个极值，而这个机制收到定投标的本身独特的价格变化所影响。

以上是2次扣款的情况，那么对于多次购买如何呢？我们来看下4次扣款的情况，超额降低成本的函数如下：

上式中，第一个括号与2次扣款一样，对|y1-y2|呈现单调向上；第二个括号中只需比较分母部分即可。

设x1=|c1-c2|，x2=|c3-c4|，k3=c1+c2，k4=c3+c4，则有

分别对x1x2求导，第二个括号部分分别与之呈现正相关。4个价格，两两之间差距越大（方差越大），则降低成本的幅度越大。如果价格波动有一定范围，则相应的这种降低成本的效果也存在极值。

4次购买的分析过程可以衍生到多次，包括3次等奇数次数也可用相似方法证明，不再重复证明。

定投标的上，我们会选择预期收益高，而波动幅度大的。

4.投资时间长度的影响。我们都知道定投要做的时间长一些，一方面因为更大的分母可以分摊价格的波动，另一方面则是因为随着扣款次数的增加，通过定期定额降低持仓成本的幅度也在提升。

市场总会受到短期因素影响出现较大的上下波动，当定投的时间较短时，这种短期波动会对我们的持仓带来显著的影响。而拉长时间则能把短期的波动分摊掉，于是整体持仓价格和就会显得平滑。

就降低持仓成本而言，拉长定投时间，相当于增加更多的买入价格，把c1、c2变成更多的c1、c2、c3…cn，我们定义定投n次的持仓成本为n，即，而同期的价格平均值为|n，即。

使用来定义平均情况下、定期定额比随机单笔购买超额降低持仓成本的效果，Fn越大，则定期定额比单笔购买的降低成本的幅度越大。这种定义下，随着定投次数的增加可以产生一组如下的数列：

我们对进行变形，可以得到：

数列是单调向上的。

如果对|求关于n的导数，可以得到：

即数列向上的增速递减。

平均来看，随着定投次数的增加，相对于随机单笔投资，定期定额投资超额降低持仓成本的效果越来越好，但降低的幅度呈现边际递减。当随机单笔投资的价格保持稳定的时，这种关系如下图所示：

假设市场价格在后续的波动中不出现极端价格，我们会发现这种降低成本的能力会收敛于某个值（具体计算略过，可以尝试假设，对，求极限），而收敛值受到标的特有的价格变化影响。

在投资时间长度的影响中我们知道内部报酬率近似等于单位时间的价差，随着时间拉长，因为降低成本的边际作用减弱，内部报酬率会逐渐走低。

（三）提高卖出的相对价格

卖基金比买更难。影响证券市场未来的走势因素有很多，我们不能主动改变基金的卖出价，也很难选择到绝对高点的卖出时机。相比之下，相对较高的卖出时机更容易选择。

未来一段时间，基金的价格波动会有很多种可能，从而形成一种分布，设分布的中位数是P50%，那么当价格运行到Pi且Pi>P50%时，如果赎回基金，就能在平均水平之上的价格卖出，即选择了相对较高的卖出时机。如果基金价格的波动具有历史重复性，就可以使用历史数据来确定这种分布，从而对比出某个时间价格是否相对较高。

实际上，基金的价格会有一种长期向上的趋势，不能简单类比历史的价格数据。购买价和卖出价都是基金的几个，会呈现同步的变化，所以我们可以近似的使用买卖价差Pt-0的分布Dis，来衡量卖出的时机是否相对较高。在降低持仓均价中我们知道，定期定额扣款次数越多，则降低持仓成本的幅度越大，所以不同扣款次数，分布Dis不一样。在扣款次后，应该把实际买卖差价（Pi-0）i放在相同扣款次数的历史分布Disi中进行比较，选择相对较高的卖出时机，就是选择定投收益相对较高的时机止盈。

（四）收益额最大化的策略

多数人投资的目标是在同一段时间内使收益总额最大化，如在收益额最大化中所述，仅就基金定投而言，需要考虑买入价、卖出价、买卖时差T与投资金额D=N×d。对于投资者而言，选择什么样的策略来最大化其定投的收益呢？

1.扣款金额不变（赎回后离场）。通常情况下，定期定额都是持续不断的进行扣款，扣款的次数与买卖时差存在直接关系，即T=N×Δt，其中Δt是两次扣款的时间间隔。

在既定的定投频率下，如果每次扣款金额不变、即d不变，由收益额最大化中的等式可得：

使价差最大化，即可获得最大的收益。这种情况并不考虑赎回资金的投资，其最好的定投策略，就是尽量提高扣款频率，选择波动大而预期收益高的基金标的，在坚持长期定投的同时选择相对较高的收益时机卖出。（参阅降低持仓均价和提高卖出的相对价格）这项策略，适合两类投资人，一类是把每次赎回的资金转做其他用途的小夫妻；第二类，则是刚刚开始做定投，每月从工资中拿出固定比例参与定投的月光族或上班族。

2.扣款金额变化（赎回后再投资）。当我们赎回上一笔定投基金后，赎回的资金如何处理。如果不择时投资，很可能会再次进行基金定投。赎回的资金加上既定的每次扣款额，必然使未来的扣款金额增加。扣款金额发生了变化，但是每次投资的总额则相对不变，可以假设每次赎回前的扣款总额D不变，由收益额最大化中的等式可得：

追求收益最大化，就是买卖价差最大，而相应定投的时间（或定投的次数）最少。

对于有财富积累的投资者，例如买股抄基者，从理财配置的角度，更希望能把计划的投资总额全部投入，持续参与基金投资，及时中间止盈也能迅速将赎回的资金重新投入，从而实现总收益最大化。这种情况下，我们需要的不再是一次性选择某个相对高点止盈，而是需要在一段时间内实现多次止盈将累计收益率最大，并且每次都能把主要的资金投入。

同样是依据历史的重复性，我们可以获得一个的分布情况，找出最高时的（t-0）和N，就能对这种情况下进行一定的策略指导。比如我们预计未来以10%止盈可以平均5个月完成一次，而20%止盈则需要平均20个月完成，理想状态下会选择10%止盈、并将资金分5个月定投。但这是理想状态，实际上每次获得止盈收益的时间不会相同，在后面我们会将这项策略稍加调整，以便更容易实时。在操作中，可以选择从12个月开始即进行实际收益率与同期限历史收益水平的对比。

（五）定期定额内部回报率最大化的策略

在内部回报率最大化中，我们得到内部回报率的近似值，与扣款金额变化一样，都是在追求单位时间买卖价差的最大化，这里不再展开。

作者简介：季恒（1988-），男，河南信阳人，理财规划师，对外经济贸易大学经济学实验班09届，大学本科，任职于北京京东金融科技控股有限公司，研究方向：理财规划与投资策略分析。