一元函数分部积分法探析

【摘要】由分部积分法计算过程中选取u，v遇到的问题，通a过对分部积分法的基本原理的分析和实际计算中出现的现象分析，从而得出用分部积分法解题的步骤“先凑微分，再交换位置”，最后得出凑微分的优先原则。

【关键词】分部积分 凑微分 优先次序

一、问题提出

在不定积分计算中，常遇到不定积分的被积函数是有任意的两类基本初等函数乘积的情形，形如：不定积分的求解问题。针对这类积分的求解，如果用直接积分法、凑微分、换元积分的方法求解往往比较困难，因此需要引进另一种基本积分方法，就是分部积分的方法。但是在这类积分的分部计算中，学生往往分不清楚到底把那部分设成u（x）那一部分设成v′（x）。如果设被积函数为u（x），v′（x）不恰当，就会使得计算过程更加复杂，浪费了计算的时间和精力，也没有得出正确答案。因此，需要有一个简洁的方法使得学生便于掌握，解题过程更加简洁明快。

二、分部积分法基本原理分析

在求导四则运算法则中有两函数乘积的形式求导公式：

对上式两边同时取不定积分∫得：

由“被积函数先求导后不定积分的性质”与“两函数代数和的不定积分等于两函数不定积分两函数的性质”得：

移项得

或

则称（※）这个公式为分部积分公式。分部积分法其基本思想是把两个函数的乘积的求导法则反过来用于求不定积分。其实这个方法也可以这么理解：对于不定积分，其被积函数的原函数比较难求，但求的积分可以转化成求u（x）v（x）-的积分，其要比简单易求，亦是把难求的积分矛盾转化成易求的积分。

三、实践应用得出结论

应用分部积分的原理计算几个实例。

例1 求∫x cos xdx

解：若取，代入分部积分公式

比求原积分还复杂难求。

若改取，代入分部积分公式

例2 求

解：若在公式中取u=ex，v=2，则

而右端积分=比左端积分更难求，

因此改取u=x，v=ex，则

由此可知，在用分部积分公式计算积分时，u（x），v（x）的选择不是随意的，选择哪个作为u（x），选择哪个作为v（x），需要适当选取，否则有可能使得计算很复杂甚至计算不出来。

同时，由以上两例也说明，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，可考虑用分部积分法，且在分部积分公式中取幂函数为u.

例3 求

解 取u=lnx，v=x，则

例4 求.

解 取u=arctanx，v=x2，则

以上两例说明，如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法，并在公式中取对数函数或反三角函数部分为u.

从以上四个实例可以得出以下几点结论：对分部积分法较熟悉后，可不必明显写出公式中的u，v，只需做到“心中有数”；分部积分法解题步骤“先凑微分，再交换位置”；u，v的选取以∫vdu比∫udv易求为原则；被积函数为两个基本初等函数乘积时，基本初等函数取为v′（x）有优先次序。在解题过程中，第一步“先凑微分”，既是∫vdu比∫udv易求为原则，那么把那个函数看成v′（x），把v′dx凑成dv？是以被积函数中两个基本初等函数乘积“指数函数（优先）、三角函数（次之）、幂函数（可以）、对数函数和反三角函数（不动，始终为u）”的优先次序原则“先凑微分”；第二步“再交换位置”是指：如等式，先凑微分把v′dx凑成dv即第一步计算结果，然后照抄u（x）乘以v（x）减去∫u（x）dv（x）的u（x），v（x）交换位置后的结果∫v（x）du（x）。

四、结束语

分部积分法的解法可以总结为“先凑微分，再交换位置”分两个步骤完成，只有理解“先凑微分”的原则（优先次序）和“再交换位置”是交换谁的位置（即u（x），v（x）位置）的含义，使得解题会更加的方便快捷。

参考文献

[1]邓小宇.浅谈一元函数不定积分的计算方法与技巧[J].科教文汇（下旬刊），2011（9）：96-97.

[2]赵娜，李坤花.一元函数不定积分的重要性及计算方法探讨[J].漯河职业技术学院学报，2010（9）：100-102.

[3]陈剑军.以凑微分关系简化第一类换元法和分部积分法教学[J].教育教学论坛，2014（48）：214-215.

[4]李子萍.浅谈一元函数积分学的解题思想与方法[J].临沧师范高等专科学校学报，2007（11）：91-94.

[5]王志超.变形问题在一元函数微积分学中的体现[J].长江大学学报（自科版），2013（25）：134-138.

[6]徐森.浅谈二重积分下的分部积分法的应用[J].科技视界，2016（2）：199-199.

作者简介：常安成（1979-）男，汉族，山东定陶人，现为湖南信息学院基础课部数学教研室主任、硕士、讲师。主要研究方向：神经网络与动力系统、大学数学教育。主持湖南省教育科学“十二五”规划课题。在国际SCI刊源杂志上发表研究论文3篇。