一种新型初始扭转Euler-Bernouli梁单元

辛 旭 飞

(国核电力规划设计研究院，北京 100094)



一种新型初始扭转Euler-Bernouli梁单元

辛 旭 飞

(国核电力规划设计研究院，北京 100094)

采用有限元理论，借鉴平面Euler梁单元的位移模式，提出了一种2节点8自由度的初始扭转Euler梁单元，基于该单元的刚度矩阵和质量矩阵，自编有限元程序，求解初始扭转梁的自振频率，并通过算例，分析证明了初始扭转Euler梁单元的合理性和高效性。

初始扭转Euler梁，单元刚度矩阵，有限元程序

0 引言

近年来涌现出的大量新型空间结构，如网壳、悬索、张拉索—膜结构，充分体现了现代建筑结构富于变换的特点。为满足建筑造型和工程结构的需要,新型空间结构的设计采用了大量初始扭转杆件。2008年北京奥运会主体育馆“鸟巢”就是这类结构的典型代表，如图1所示。

初始扭转构件指构件本身的几何形态呈现扭转状态。由于扭转角的存在,初始扭转构件两个弯曲方向的受力和变形相互耦合，其受力比较复杂。故部分学者[1-3]进行了该梁力学性能的理论研究。

于是，部分学者开始借助有限元技术，用壳单元模拟初始扭转梁[4,5]。但由于位移模式不准确，结果仍有误差，而且耗时、耗资。为了弥补壳单元模拟初始扭转梁的不足，部分学者[6,7]直接开展了该梁的静力和动力有限单元研究，但考虑因素相对较少。

基于初始扭转梁研究不足的现状，本文针对忽略剪切效应的常规初始扭转梁，采用有限元基本理论，开展了新型初始扭转Euler-Bernouli梁有限单元的研究。

1 初始扭转Euler-Bernouli梁单元刚度矩阵和质量矩阵的建立

如图2所示，初始扭转梁结构存在两种坐标系，梁单元整体坐标系(x-y-z)和梁截面局部坐标系(x′-y′-z)。在整体坐标系下定义节点自由度和建立单元刚度矩阵。

单元有2个节点，并且每个节点有4个节点自由度。根据节点自由度，使用插值理论构造初始扭转梁单元的位移场。

(1)

(2)

其中，w(z)，v(z)分别为y方向，x方向的位移；u1，u2分别为节点1,节点2沿y方向的位移；u3,u4分别为节点1,节点2沿y方向的转角；u5,u6分别为节点1,节点2沿x方向的位移；u7,u8分别为节点1,节点2沿x方向的转角。

在式(1)的基础上，建立初始扭转梁单元的应变能和动力。

因不考虑剪切应变和轴向变形，扭梁中应变能U仅为两个方向弯曲引起的应变能：

(3)

其中，l为梁单元长度；E为材料的弹性模量；Ixx，Ixy，Iyy均为初始扭转梁截面惯性矩。

Ixx，Ixy，Iyy的计算公式为：

(4)

其中，b，h分别为梁截面的宽度和高度；θ为截面扭转角，θ=c·z+θ0，θ0为坐标原点处截面的初始扭转角，c为扭率。

初始扭转梁的动能T包括线位移引起项和转动惯量项，为：

(5)

最终扭转梁的应变能U和动能T的矩阵表达形式为：

(6)

(7)

基于K和M，可以方便地建立初始扭转梁单元的动力方程，求解出扭转梁的动力特性。

2 算例验证

表1 初始扭转梁本文计算结果与Banerjee[7]所得结果的比较

表2 两端固定梁自振频率表 ×103

根据上述初始扭转梁有限元理论的介绍，本文自编程序计算初始扭转Euler梁的自振频率。通过与Banerjee[7]所得结果的对比来说明这种梁单元的有效性和精度。

由表1可见，本文所算结果与Banerjee所算结果基本一致，说明本文所提扭转梁单元的正确性。由表2可见，对于梁的前四阶自振频率值，从5个、6个单元开始趋于稳定(频率值变化小于2%)，说明本文所提新型单元具有较高的计算效率，只需要少量单元，就能获得理想的计算结果。

3 结语

本文基于有限元理论，建立了一种新型的初始扭转梁单元模型。通过算例分析表明本文所建立的有限元模型不但精度高，而且计算效率高，方便工程应用。

[1] 虞爱民.自然弯扭梁的非线性分析[J].力学季刊，2002，23(2)：275-281.

[2] 虞爱民,易 明.自然弯扭梁广义翘曲坐标的求解[J].应用数学和力，2004，25(10)：1067-1075.

[3] 陈昌宏，单 建，黄 莺.初始扭转矩形梁力学性能研究[J].工业建筑，2009，39(4)：54-57.

[4] 陈春华，舒赣平.具有初始扭转的箱型截面梁的极限抗弯承载力研究[J].工业建筑，2009，39(S1)：1685-1693.

[5] 陈昌宏，单 建，黄 莺.初始扭转轴压杆弹性弯扭屈曲性能研究[J].工程力学，2009，26(6)：166-171.

[6] 陈昌宏，黄 莺，单 建.初始扭转欧拉梁有限元力学模型研究[J].工业建筑，2012，42(5):94-97.

[7] J.R.Banerjee.Free vibration analysis of a twisted beam using the dynamic stiffness method[J].International Journal of Solid and Structure,2001(38)：6703-6722.

On new pre-twisted Euler-Bernouli beam element

Xin Xufei

(StateNuclearElectricPowerPlanningDesignandResearchInstitute,Beijing100094,China)

The paper adopts the finite element theory, points out 2-joint and 8 DOF pre-twisted Euler beam element by referring to the displacement model of the plane Euler beam element, designs the finite element program based on the stiffness and quality matrix of the element, solves the self-vibration frequency of the pre-twisted beam, and through the example, analyzes the pre-twisted Euler beam is reasonable and efficient.

pre-twisted Euler beam, element stiffness matrix, finite element program

1009-6825(2016)20-0035-02

2016-05-13

辛旭飞(1979- )，男，工程师

TU311.4

A