抓住本质，理解概率

刘佳

概率渗透到现代生活的方方面面.正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题.你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解.甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上.”

概率是对一个事件发生的可能性大小的描述.以生活实际中的概率问题为背景，初步认识概率，也为学习高中数学中的概率知识内容打下基础.然而，正因为才初步接触相关知识，在实际学习中同学们对这部分的内容会有不少的混淆以及错误，下面就这些错误的成因以及解决策略进行简单的阐述.

易错点1：对事件发生概率的理解不清晰

例1 下列事件属于必然事件的为（ ）.

①今天下雨的可能性为99%；②太阳从东方升起；③某种彩票平均每10张中有一张中奖，小红买了10张这种彩票，肯定有一张获奖；④南沙群岛的某一天下了一场大雨.

A. ② B. ②③

C. ②③④ D. ②④

【学生错解】B.

【学生分析】每10张彩票有1张中奖，那么每张彩票的中奖概率就是1/10，所以10张彩票中必然有一张会中奖，所以③是正确的.

【错因分析】必然事件是指一定会发生的事件，②中太阳从东方升起是必然事件，③中彩票的中奖概率是1/10，并不代表10张彩票中必然有一张彩票会中奖，而正确的④选项同学们较易忽视，南沙群岛的某一天下了一场雨是过去已经发生了的事，所以是必然事件，这与①中的情况恰好相反，今天下雨是还未发生的事件，所以①是不确定事件.

【正解】D.

易错点2：几何概型的认识错误

例2 在一次晚会上玩飞镖游戏，靶子设计如图1所示，从里到外的三个圆的半径之比为1∶2∶4，则打中阴影部分的概率为多少？

【学生错解】P（打中阴影部分）=2-1/4=1/4.

【学生分析】

P（打中阴影部分）=阴影部分圆环的宽度/大圆半径

【错因分析】该题考查的内容是几何概率模型，根据几何概型的意义，应求出阴影部分的面积占总面积的比，要避免单纯依靠公式机械计算.

【正解】P（打中阴影部分）=π2-π1/π4

易错点3：利用树状图解决问题缺乏灵活性

例3 我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出频数分布表和频数分布直方图如下：

（1） 求表中a的值；

（2） 请把频数分布直方图补充完整；

（3） 若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

（4） 第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率.

【正解】（1） a=50-4-8-16-10=12

（2）

（3） 优秀人数=12+10=22（人）

优秀率=22/55×100%=44%

【学生错解】（4） 设四名同学分别为①②③④，其中①代表小宇，②代表小强，树状图如下：

由树状图可知，共有12种等可能情况，符合题意的情况共有2种，所以P（小宇小强共组）=2/12=1/6.

【错因分析】这与摸球问题的区别在于，当③号和④号出现在一组时，小宇和小强也恰好是在同一组的，所以符合题意的等可能情况共有4种.

【正解】（4） 由树状图可知，共有12种等可能情况，符合题意的情况共有4种，所以P（小宇小强共组）=4/12=1/3.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）