探索与发现

王香

数学课程标准指出：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”我们的数学教学，应该努力实施课标的理念，引导学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程，让学生通过观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，主动对信息进行加工与整理，将数学知识进行简化和提炼，再通过数学语言、数学符号、数学字母等形式进行概括和归纳，形成规律性的认识并加以应用。从广义上讲，这些规律性认识包括数学概念、性质、定理、公式，法则以及数学关系和变化规律等。下面结合自己的教学实践谈几点拙见。

一、让学生在操作实践中建构

学生的学习过程，是一个从感性认识上升到理性认识的过程，也就是一个把具体事物的知识经验进行抽象概括，形成概念、法则、公式、性质并进行运用的过程，而要实现这个过程，就需要实践。

例如，在教学“圆的周长”时，先给学生准备一套直径分别为2、3、4厘米的圆形纸片，让学生思考一下怎样才能知道这些圆片的周长。学生的思维得到发散，有的用线绕圆片一周再测量线的长度；有的将圆片在直尺上滚动一周；有的在圆周上先点上一个点，在白纸上转动一周后再点上一个点，两点连线再测量长度……并依次记下数据填入表格中。方法虽然不同，但异曲同工。此后要求学生把这些数据填入表格中并认真观察表格中直径和测量圆周长得到的数据，便不难发现圆的周长与直径的倍比关系。此时，教师趁热打铁，说明圆的周长与直径的比值为π，如果圆的周长用C表示，那么C=πd的圆周长公式就在学生的操作实践中建构成功。

再如，“三角形的内角和”的教学，更能体现学生在操作实践中发现规律。教学中可采取小组合作形式，每个小组均有量角器、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形纸片各一张。让学生先猜测一下三角形内角和的度数，然后进行实践活动。有的采用测量的方法，有的则用折的方法，还有的先撕后拼，学生从不同的角度，用不同的方法得到同样的结论，即三角形的内角和不受形状的影响，也不受大小的影响，任意三角形的内角和都是180℃。如果教学中再用课件将以上几种方法进行演示，将学生的探索过程呈现在屏幕上，则更形象生动，给人以画龙点睛之感，会激起学生较长时间的思维兴奋。

二、让学生在比较中建构

比较是一种重要的思维方法，对于一些容易混淆的知识来说，通过比较可以发现他们之间的区别和联系，便于学生掌握各个相似概念的本质特征，提高自己分析问题和解决问题的能力。

例如，二年级上册对“求比一个数多（少）几的数”的数量关系的实际问题是密切联系的，由于二者本质上是同一类问题，只不过是两个数的相差关系发生了变化。教材对其进行整合的目的在于引导学生通过分析、对比，明确数量关系的变化，沟通其内在联系。为了帮助学生理解算理、掌握算法，教材创设了切合学生实际的问题情境，并以文字形式呈现了实际问题，甚至于还提供了一个解题的策略——画图。教学中要结合情境图，帮助学生弄清题目中的两个数量是谁和谁比，谁多谁少，知道了什么，让我们求什么。

（1）一班得了12面小红旗，二班比一班多得3面，也就是说二班和一班比，二班得的小红旗多，如果画图表示，则是：

从图示中可以清楚看出二班得的小红旗其实可以分为两部分，一部分是和一班同样多的12面，另一部分是比一般多的3面，只要把这两部分合起来就是二班得的小红旗的面数。抽象出数学问题就是，要求二班得了多少面小红旗，实际上就是求比12多3的数是多少。

（2）一班得了12面小红旗，三班的小红旗比一班少4面，也就是说，三班和一班比，三班得的小红旗少，如果画图表示，则是：

显然，三班得的小红旗比一班少4面。从图示中可以清楚一班得的小红旗其实可以分为两部分，一部分是和三班同样多的，另一部分是比三班多的4面，也就是三班比一班少的4面。因此，只要从12面里去掉4面，剩下的就和三班的小红旗同样多，那么，要求三班小红旗的面数，就是求比12少4的数是多少。

两道题的解决思路仿佛清楚了，计算方法好像也掌握了，但还达不到融会贯通，得心应手的程度，这就还需要进行分析对比。可把两道题目的思考解答过程同时呈现在课件上，引导学生观察对比，找出它们的异同。首先，二班和三班都是和一班比，二班是比一班多，三班是比一班少，由于一班的小红旗有12面，显然，求比已知数量多几就用加法，求比已知数量少几就用减法。其次，（1）题的12+3=15中，“12”是指“二班与一班同样多的12面”，而（2）题的12-4=8中，“12”则是“一班小红旗的面数”，“8”是三班与一班同样多的面数，也就是三班小红旗的面数。为了提高学生的认知，练习课上我又把这两种实际问题与“求一个数比另一个数多（少）几”的实际问题结合起来进行回顾对比，使相差关系问题成为一个整体，使之横向沟通融为一体。这样，学生遇到这类问题，便能清楚“谁比谁多”、“谁比谁少”，该用加法还是该用减法解答，从而“纵横结网”，触类旁通。

教材中适合于分析对比的内容很多，如“倍比关系”实际问题，分数、百分数乘除法问题、正反比例等都是很好的素材。

三、让学生在观察分析中建构

教育心理学认为：观察是指学生获得感性知识的一种认识活动，是一种有目的、有计划的知觉。只有让学生独立地、有目的有系统地去探索与了解客观对象的变化与进程的知觉才是观察。因此，观察是一个知觉思维和语言相结合的智力活动过程。正如盘尼西林的发明者费莱明所说：“我的唯一功劳是我没有忽视观察。”我们的数学教学也是如此。

例如，在“2、5的倍数的特征”教学中就可以引导学生在观察中分析，在分析中建構。一般来说，教学“2、5的倍数的特征”的教学过程有不同呈现形式，但都离不开观察思考。教学中可以在“百数表”上分别圈出它们的倍数，再分别观察思考所圈出的这些数有什么特征；也可以先让学生说出2的若干个倍数，教师随之板书在黑板上（按照个位数字分别板书），5的倍数亦同。再让学生通过观察得出结论。还可以通过创设站队报数的情境，引出双号、单号数，再观察这些双数的特征。不难看出，这些教学环节都离不开观察。前者通过圈数，很容易看到5的倍数都集中在“5”和“10”所在的那一列，2的倍数则集中在“2”、“4”、“6”、“8”、“10”所在的那一列，而10的个位上的数字是0。后者由于2和5的倍数是学生口答出的，且教师又按照一定规律进行板书，很容易发现它们的倍数的特征。而双数、双号的个位数字分别是0、2、4、6、8。至于结论，对于五年级学生来说归纳概括起来应该不是问题。

再如，教学“循环小数”也离不开观察分析。在此之前，学生已经理解了小数除法的算理，建构并熟练掌握了计算方法。这里学习“循环小数”则是关于“商”的进一步研究，主要理解除法计算中产生循环小数的原因，掌握“循环小数”、“有限小数”、“无限小数”的概念，形成灵活处理“商”的意识和能力。

例7可以让学生用竖式计算，当学生发现该题“除不尽”时，教师可以让学生边观察竖式，边思考问题。

（1）如果继续除下去，会出现怎样的结果？

（2）余数有什么特点？

（3）商的小数部分的数字有什么特点？

学生通过观察思考会发现，如果继续除下去，商的小数部分总是重复出现3，余数25也重复出现，因此会永远除不完。那么为什么商的小数部分总是重复出现3，余数25也重复出现，二者有什么关系？仔细观察一下竖式，大家会发现，当余数重复出现时，商就会重复出现，商是随余数重复出现才重复出现的。

这样通过围绕所提问题进行计算、观察、分析等活动，学生对依次不能重复出现等关键词语，有了较深刻的理解，对于商循环出现的原因也有了较清楚地认识，循环小数的概念呼之欲出。一旦概括出了循环小数的概念，那么怎样表示循环小数又会引发学生新的探索。

四、让学生在知识形成过程中建构

在小学数学教材中，有些法则、公式的归纳概括是有一个过程的，也就是说不可能一步到位。之所以会出现这种情况，正如《课标》中所说“充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的本质。”教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序，这种关联。就拿整数加法笔算法则来说，它的构建就经历了几个阶段。

整数加法法则的建构经历了两个阶段。第一阶段是学习百以内的加法。对于这部分知识，教材安排了2个层次。先学习不进位加法，构建了整数加法的前两条法则，即“相同数位对齐”和“从个位加起”。再学习进位加法，建构了“个位上相加满十，向十位进一。”这个阶段是继续学习整数加法乃至于整数加减法、小数加减法、分数加减法的基础。所谓“相同数位对齐”，就是指相同数位上的数相加，也就是相同单位的数相加。“从个位加起”则是经验的总结，是个规定。而“个位上相加满十，向十位进。”则是伴随着计算产生的，其中既有算理，又有算法，它是进位加法的第一步。第一个层次安排了2个例题教学。例1的35+2要借助学生用小棒进行操作，使学生知道在写竖式时“2”要和“5”对齐的道理，也就是个位数要和个位数对齐。例2的35+32中，第二个加数有了十位数，会引发学生有了新的思考。第二个加数十位上的3在哪里写？从哪里加起？用小棒进行操作可以解决“3”的书写位置。而先加什么，后加什么则会出现两种可能，这就需要教师的及时点拨了。要强调竖式计算时一定要从个位加起，至于为什么，以后大家会明白的。为了巩固新知，在练习中不能满足于学生用竖式算，而应在计算的同时进一步体会这两条法则。第二个层次是进位加，重点解决竖式计算中个位上相加满十怎么办，以及竖式上如何写的问题，这是教学的难点所在。为了让学生理解，还是应该重视小棒操作。一旦摆出了小棒，学生就会意识到单根的加起来是12根，要把10根捆成一捆，这一捆要放在整捆的位置，那2根还在单根的位置，所以写竖式时，得数的个位上写2，而新捆成的一捆怎么在竖式上表示会使学生感到纠结，这就需要进行点拨，要把这个“1”写在第二个加数的右下方，并尽量写小一点。然后让学生说一说十位上怎么算，提醒学生十位上相加时千万别忘了加上进位数1。至于竖式计算时，为什么要从个位加起，恐怕大家也就心知肚明了。初学进位加法，很多学生还不适应，很可能会出现忘记进位，忘记加进位数等问题，所以要进行适当的专项训练。如出道题目让学生说说先算什么，再算什么，尤其是十位上是怎么算的。此后可以让学生结合以上几道题的计算过程，尝试着归纳出“个位相加满十，向十位进1”，继而完整地叙述一下100以内笔算加法的计算法则。

第二阶段的学习是在三年级上册，这个阶段的笔算加法是100以内笔算加法的延伸，数的范围由百以内扩展到万以内。教材安排了3个例题，例1是不进位加法，新的知识点是百位数的对位和百位数相加。例2新的知识点是十位上相加满十和百位上相加满十。例3出现了连续进位的情况。教学中要抓好衔接点的教学，要充分利用知识迁移规律。相信對于三年级学生来说，例1完全可以自己解决，例2可能会出现问题，即十位上相加满十了，在竖式上怎么写？百位上相加满十了，竖式上又怎么写？解决的方法还应该借助于操作表象。不过用小棒进行操作准备起来有些困难，我们可以选择教学课件或计数器，依然可以让学生感到动感，感悟到整捆的相加是12捆，可以把10捆捆成一大捆，放在大捆的位置。而用计数器似乎就省事了，十位上相加拨珠满了10，自然要用百位上的1颗珠子代替。用了计数器，百位上相加满十怎么办的问题也就迎刃而解了。至于忘了加进位数的问题，首先让学生明白为什么加，更重要的是良好计算习惯的培养。

综上所述，例2是个位满十向十位进1这条进位法则的扩展，一定要让学生结合练习真正理解和熟练运用。至于教材中提出的“计算万以内的加法要注意什么”，目的在于让学生归纳笔算加法法则，即“相同数位对齐”，“从个位加起”。而进位法则，一定要遵循知识迁移规律，让学生结合“个位相加满十，向十位进1”，“十位相加满十，向百位进1”，“百位相加满十，向前位进1”，通过合作学习的方式尝试着用一句话阐明进位法则，也就是把个位、十位、百位概括成“哪一位”，向十位、向百位、向千位，概括成“前一位”。成功构建了整数加法法则，然后再研究例3的连续进位加法，学生便会有的放矢，个位满十要向十位进1，十位也满十要自然还要向百位进1，连续两次进位，每一次都要向前一位进1，十位、百位上相加时都不能忘记加上进位数，这样连续进位的难点便不攻自破了。纵观整数笔算加法法则的构建过程，可以充分看出教学的由浅入深、环环相扣，充分展现了整数加法本身是密切联系的一个有机整体。抓住了知识间的内在联系，就抓住了“纲”，就能一通百通。而学生主动参与到法则生成的过程中，既培养了学生的抽象概括能力，还为整数减法计算法则，甚至于小数加减法法则的构建打下了良好的基础。

实践证明，让学生亲身经历知识形成的过程，并在这个过程中使学生做到会观察、会实践、会对比、会分析、会研究、会概括归纳，能够在数学的大舞台上展示激情、展示智慧、展示个性、展示自我，学生的创造性火花就会不断闪现，真正体验到成功的愉悦，而我们的数学课堂也愈加丰富、鲜活与深刻。

（作者单位：山东大学第一附属小学，山东 济南 250000）