构建数学模型突破“基因频率和基因型频率的变化”

周翔

数学模型是用来描述一个系统或它的性质的数学形式。构建数学模型来解决高中生物学中的相关问题，构建的过程即是解决问题的过程，而模型的得出更让学生可以直观地看到一个系统规律性的变化，从而更好地理解生物学现象。

基因频率和基因型频率的相关内容在2016年新课标全国Ⅰ卷第6题、江苏卷第30题、2015年新课标全国Ⅰ卷第32题、北京卷第30题和山东卷第6题等各年和各省份的高考卷中都有出现，部分题目的难度还相当大。

分析学生的答题情况，凡牵涉到以下四种情况之一，学生回答的错误率就很高：（1） 杂合子连续自交n代求子代中某种基因型频率；（2） 连续自交n次并逐代淘汰一种纯合子（或某种基因型不育），求子代中某种基因型频率或基因频率；（3） 杂合子随机（或自由）交配，求子代中某种基因型频率或基因频率；（4） 杂合子随机（或自由）交配n次并逐代淘汰一种纯合子（或某种基因型不育），求子代中某种基因型频率或基因频率。最典型的是2013年山东卷第6题。

【例1】 （2013·山东卷，6）用基因型为Aa的小麦分别进行连续自交、随机交配、连续自交并逐代淘汰隐性个体、随机交配并逐代淘汰隐性个体，根据各代Aa基因型频率绘制曲线如图1，下列分析错误的是（ ）

A. 曲线Ⅱ的F3中Aa基因型频率为0.4

B. 曲线Ⅲ的F2中Aa基因型频率为0.4

C. 曲线Ⅳ的Fn中纯合体的比例比上一代增加（1/2）n+1

D. 曲线Ⅰ和Ⅳ的各子代间A和a的基因频率始终相等

此题的难度较大，学生要能准确判断Ⅰ～Ⅳ，才能作答。绝大多数考生对这种综合题只能通过取特殊值，采用排除法，如计算F1、F2的值。如果教师在平时的教学中构建了数学模型，则学生既能掌握分析和推算的方法，更能从Aa的变化趋势直观地发现四者的差别，从而快速作答。

现采用不完全归纳法对4种情况构建数学模型，步骤如下：

1 杂合子连续自交，不淘汰

1.1 推算

推算过程见表1。

1.2 构建模型

Aa连续自交，子代中AA、Aa、aa的基因型频率见表2。

可在坐标系中绘出后代中纯合子、杂合子和显隐性纯合子所占比例的变化曲线如图2所示。

1.3 特点

随着自交代数的增加，杂合子的比例越来越少，纯合子所占比例越来越大，且显、隐性纯合子比例相等。

杂合子连续自交，A、a基因频率不发生改变。

2 杂合子连续自交，逐代淘汰隐性个体（或隐性个体不育）

2.1 推算

推算过程见表3。

2.2 构建模型

计算杂合子连续自交，逐代淘汰aa，子代中各种基因型频率（表4），并画出相应的曲线图（图3）。

2.3 特点

淘汰aa（或aa不育）不仅使a的基因频率降低，杂合子在显性个体中的比例也急剧减少，这也是杂交育种要逐代筛选再自交，最终才能使纯合子的比例达到育种要求的理论依据。

3 杂合子逐代随机（或自由）交配，不淘汰

3.1 推算

推算过程见表5。

3.2 构建模型

计算杂合子逐代随机交配，子代中各种基因型频率（表6）。

3.3 特点

当种群达到遗传平衡后，种群的基因频率和基因型频率均不发生改变。

4 杂合子随机（或自由）交配，淘汰隐性个体（或隐性个体不育）

4.1 推算

具体推算过程见表7。

4.2 构建模型

计算杂合子随机交配，逐代淘汰aa，子代中各种基因型频率（表8），并画出相应的曲线图（图4）。

4.3 特点

该过程a基因频率降低，杂合子在显性个体中的比例也下降，但下降的速率不及杂合子自交并逐代淘汰隐性个体（或隐性个体不育）的情况。

通过四种情况的分析可以进一步发现：只要存在淘汰（或不育），即存在选择（自然或人工），基因频率就会发生改变。没有选择，基因频率就不发生改变，种群无进化，但基因型频率仍可能发生改变。

根据上述构建的数学模型，可以直接判断例1中曲线Ⅰ表示随机交配，曲线Ⅱ表示随机交配并逐代淘汰隐性个体，曲线Ⅲ表示连续自交并逐代淘汰隐性个体，曲线Ⅳ表示连续自交，所以首先判断D选项叙述正确，A、B通过计算可知正确，C选项应为[1-（1/2）n]-[1-（1/2）n-1]=（1/2）n

【例2】 （2015·课标全国卷Ⅰ，32）假设某果蝇种群中雌雄个体数目相等，且对于A和a这对等位基因来说只有Aa一种基因型。回答下列问题：

（1） 若不考虑基因突变和染色体变异，则该果蝇种群中A基因频率：a基因频率为 。理论上该果蝇种群随机交配产生的第一代中AA、Aa和aa的数量比为 ，A基因频率为 。

（2） 若该果蝇种群随机交配的实验结果是第一代中只有Aa和aa两种基因型，且比例为2∶1，则对该结果最合理的解释是 。根据这一解释，第一代再随机交配，第二代中Aa和aa基因型个体数量的比例应为 。

答案：（1） 1∶1 1∶2∶1 0.5 （2） A基因纯合致死 1∶1

解析：（1）对于A和a这对等位基因来说只有Aa一种基因型。所以基因A、a频率都为0.5，比例1∶1。AA%=50%×50%=0.25，Aa%=2×50%×50%=0.5，aa%=50%×50%=0.25。比例1∶2∶1。基因频率不变，A仍为0.5。

（2） AA个体致死，只剩下Aa和aa个体，比例为2∶1。A的基因频率为1/3，a的基因频率为2/3，故aa基因型频率占4/9，Aa基因频率占4/9，Aa和aa基因型个体数量的比例为1∶1。

构建模型符合《普通高中生物学课程标准（实验）》倡导的探究性学习，能促进学生学习方式的变革，引导学生主动参与探究过程、勤于动手和动脑，逐步培养学生分析和解决问题的能力。得到的数学模型使事物的本质特征更加清晰，有助于师生从宏观上把握某个系统的规律，在遇到相关问题时，能迅速找到突破口，披荆斩棘，解决问题。

参考文献：

[1] 稳态与环境.普通高中课程标准实验教科书[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2] 中华人民共和国教育部.高中生物学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.