大学概率统计教学的新问题及课程内容改革

马　健

(北京航空航天大学数学与系统科学学院, 北京100191)



大学概率统计教学的新问题及课程内容改革

马健

(北京航空航天大学数学与系统科学学院, 北京100191)

分析大学概率统计教学环境变化引发的三个新问题，并提出相应的课程改革方法.一是中学课改带来的学生概率统计基础的变化，提出以高中基础为起点，按照知识的内在逻辑，过渡到大学内容；二是实践中统计软件的普及对学生提出了新要求，可结合目前的概率统计课程内容，补充相应的软件知识和方法，以适应学生后续需求；三是信息和软件技术的发展为教学提供了新的教学手段，可借助这些新的手段对难点问题进行理解和教学.

大学概率统计；新问题；课程内容；改革

《工科类本科数学基础课程教学基本要求(2006年)》[1](经济、医学类似，下同)基于传统的概率统计教学环境，对大学概率统计教学提出了基本要求，在这一要求下形成了目前众多的概率统计教材，以及基于这些教材的教学体系，主要包括随机事件与概率、随机变量及分布、多维随机变量及分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验八个部分.

目前，这种教学的环境已经发生了变化.

第一个变化是，随着概率统计应用的日益普及和深入，教育部门加强了中学阶段的概率统计教育，在始于2003年的中学新课程改革中，高中数学加入了不少概率统计内容，如随机事件与概率、随机变量及分布、随机变量的数字特征及数理统计基本知识、假设检验等，即大学概率统计的部分内容在高中已经进行了学习.这导致学生学习概率统计的基础发生了变化，但目前的大学教材[2,3]一直假设学生概率统计基础为零.

第二个变化是，由于统计软件的发展和普及，学生毕业之后对概率统计的需求发生了变化，运用概率统计软件处理复杂的概率统计实际问题，成为学生必备的技能.但这一点并没有体现在目前的教学和教材中.

第三个变化是，信息技术的发展，为教学提供了更多的手段.概率统计课程的教学可以借助一些软件有效地进行，原有的教学中不易理解不太直观的部分可以通过软件工具直观方便地展示，这为学生透彻而便利的理解课程内容提供了一种有效的手段，而目前的教学和教材没有充分地利用这些先进手段.

上述变化之下，大学概率统计课程该如何进行改革，以适应目前概率统计教学环境和学生需求，是值得探讨的问题.

1　大学概率统计教学的新问题

1.1高中课程改革带来的学生基础变化

随着概率统计的广泛应用和深入普及，高中阶段也加入了不少概率统计的内容.目前的高中数学教材[4,5]是根据2003年教育部《普通高中数学课程标准(实验)》[6]编写，在教学内容上，概率部分包括随机现象与随机事件、古典概型、几何概型、超几何分布、二项分布、条件概率、独立、有限离散型随机变量及其概率分布列、均值、方差等；统计部分包括简单随机抽样、样本值、样本、用样本估计总体的特征等.

这些内容一直以来属于大学概率统计内容，因此大学和高中的内容出现了不少重复.当然，这种重复不是简单的完全相同，而是有着明显的区别.

在教学目的上，高中主要是让学生了解从数据的角度考虑问题的思想方法，形成数据意识，体会概率模型的作用，建立数据思维的习惯和随机观念，同时了解提出问题、收集数据及处理数据这一过程.而大学是系统掌握概率基本知识，掌握一般的数据处理方法，为进一步学习及应用概率解决实际问题做准备.

在教学方法上，高中主要采用案例的方式，呈现一个比较完整的概率统计过程，在这一过程中蕴含概率统计知识、思想及方法，并体现概率统计的直观.而大学目前是通过系统的数学推导和推理，从理论角度较为全面地学习概率统计的性质和规律，及概率统计的应用.

可以看出，和新课程之前大学生概率统计的零基础不同,新课程后大学生在学习时已经有了一些概率统计基础，但这种基础和大学的相应内容又有不同，因此，目前的零基础教材不适合他们，简单地把重复内容删除也不适合，大学概率统计教学内容如何适应高中课程变化，是一个新问题.

1.2学生后续工作和进一步学习对概率统计需求的变化

随着社会的发展和科技的进步，事物的随机性被越来越多地考虑，越来越多的领域从实践数据中取得结论.如工程技术、生物医学、经济金融，甚至政治、历史及语言领域都越来越多地采用统计的方法，通过分析数据得出结论，如通过研究红楼梦前80回和后40回一些字词的统计规律来判断是否为同一作者所写.

在这些领域对数据的处理中，都需要借助相关统计软件如SPSS、SAS及EVIEWS来完成, 处理数据的手段基本都是统计软件.但目前的大学概率统计课程对这方面没有涉及,导致即使学生学过概率统计课程，却在解决实际问题中，还是无法适应需要.

这突出表现在，第一，学生可能就没有接触过统计软件，软件的基本操作没有掌握；第二，学生可能自学了一些软件的基本操作，但对软件使用中的具体问题模糊不清，比如在用SPSS进行假设检验时，很多学生看不懂参数的意义，也不懂得参数是怎么计算得来的，当然也就无法从检验的结果中分析数据的特征，一般都是按照僵化的标准得出相应的结论，而不是能够灵活的分析；第三，由于对统计软件没有透彻掌握，以及不具备概率统计思想，学生感觉不到目前学习的统计理论与统计软件及统计实践有什么样的联系.这三种表现给予学生的总体感受就是“学过的用不上，用上的没学过”.

因此，在概率统计课程中引入统计工具软件，将概率统计知识与实际工作的软件工具有机的融合在一起，使学生不仅具有概率统计理论知识，还具有相应的实践能力，是概率统计教学面临的新问题.

1.3概率统计教学手段的进步

传统的概率统计课程，主要通过板书，PPT等手段进行教学，这些手段的主要功能是表达知识，即将原本存在的知识呈现给学生.但作为一种静态表达的方式，在某些情况下，不够充分和透彻，如二元正态分布，传统的板书和PPT在表达二元正态分布、边沿分布、条件分布时，就存在一定困难，还需要借助学生的想象来补充，而想象本身也有一定难度.

但信息技术的发展，为概率统计教学提供了新的手段，目前的软件技术如Matlab、Excel等，不仅能够通过图形展示概念、含义，还可以提供实验，模拟真实的概率统计现象，不仅能推导出概率统计结论，而且能观察到概率统计结果.这使得学生对概率统计的理解更形象、深入，因此在教学中借助相关软件，能使教学得到更好的效果，

基于Matlab的概率统计实验已经有了比较充分的讨论，但概率统计实验是以某一概率问题为主题，运用软件解决和讨论这一问题.如何将Matlab作为教学手段，在课堂教学中，像粉笔、黑板、PPT一样的运用，还没有成熟.

作为教学工具的软件和作为统计工具的软件不同：作为统计工具的软件是为了进行统计工作而使用的软件，属于需要掌握的学习内容，如SPSS，SAS等；作为教学工具的软件是为了更好地呈现教学内容，为了使学生更好地理解教学内容而采用的教学手段，如Matlab等.

2　大学概率统计课程内容改革

2.1适应学生基础变化的课程内容改革

高中概率统计内容在大学概率统计教材中存在四种不同的情况，在大学概率统计教学中，对不同情况应该采用不同的处理方法：

(1)完全重复的，不必再讲：有一部分概率统计内容，大学和高中教材的叙述和内涵基本是相同的，如二项分布、两点分布等.对这部分内容，大学课程不必再进行重复.

(2)内容升华的，提升至大学层次：有一部分内容，大学的讲述及内涵和高中是不一致的，高中可能只是一种直观的表述，或者是基于高中知识可以理解的呈现，如正态分布等.对这部分内容，可以高中为基础，通过高中内容与大学要求之间的逻辑和联系，将知识的内涵提升至大学层次.

(3)高中没有的，全新讲解：高中没有涉及到的，大学可按照目前教材正常教学.

(4)大学没有的，可不讲解：有一部分高中内容，大学教材没有涉及，如独立性检验.基于目前大学概率统计的要求，这部分可以不讲.当然，从概率统计学科的发展看，这些内容大多反映了时代发展特别是信息技术的进步，大学生可能也是需要的，这可以在大学概率统计课纲改革中讨论.

以“随机变量及其分布”一章为例，高中与大学重复的内容有：随机变量、二项分布、超几何分布、两点分布. 高中没讲的内容有：泊松分布、连续型随机变量概念及性质、均匀分布、指数分布、分布函数、密度函数.高中已讲需要提升的内容有：离散型随机变量，已讲取值有限的，需补充无限可数的；正态分布，已讲密度、参数意义，未讲标准正态分布性质，其分布函数与一般分布函数之间的关系，分位点.

在大学讲授随机变量及其分布一章时，需考虑以上高中基础的三种不同情况，以高中基础为起点，实现大学概率统计教学目标.具体来说，可按如下顺序讲授本章内容：由频率分布直方图的极限情况引出总体密度函数，讨论密度函数性质；由密度函数引出随机变量的分布函数；给出连续型密度函数的定义，均匀分布、指数分布及其分布函数；由取值有限的离散型随机变量延伸到无限可数的离散型随机变量，泊松分布；离散型随机变量及其分布函数.

其他大学与高中重复较多的章包括随机事件的概率、随机变量的数字特征、统计总体和样本，每章的高中基础不同，大学概率统计教学可采用不同的教学设计，合理的过渡到大学内容的教学.

2.2适应社会需求变化的课程内容改革

社会需求的变化主要是要求学生能够应用概率统计软件解决实际问题.《工科类本科数学基础课程教学基本要求(2006年)》的统计部分有两章，即参数估计和假设检验，但所提要求及基于此要求的教材只涉及基本理论，与学生毕业后的实际需求不能对接，对广为应用的统计方法及其软件实现没有涉及，学生往往在后续的学习和工作中不得不对这些需要的知识和技能进行自学.但由于自学的效果有限，结果常常是对概率统计的应用一知半解，对统计方法的软件实现知其然而不知其所以然，无法将学到的概率统计知识转化为进一步学习和工作的能力.这在统计软件越来越普及的情形下，降低了统计的实用性，也影响了学生的统计应用能力，限制了概率统计课程功能的发挥.

因此，有必要在统计部分，加入统计软件内容，以加强理论联系实际、提高实际工作能力.主要的统计软件有SPSS，SAS，EVIEWS等，这些软件虽侧重各有不同，但其与概率统计知识的联系基本一致，都是应用基本的概率统计知识进行统计，大学不同专业方向可以根据未来需求确定具体哪一个软件，如社会科学领域可选SPSS，经济学可选EVIEWS等.

目前的统计软件实验大多是统计软件的操作，在具体问题中一般不讨论参数的来源及含义，使学生不能将软件与概率统计知识相连接.学过一遍概率统计，还要再探索一遍统计软件，才能真正理解和灵活运用，这就人为地割裂了概率统计知识和软件之间的有机联系.因此可以在大学概率统计学习中将概率统计知识与统计软件有机结合在一起学习，在讲解统计原理的同时，对照软件可讲解每个参数的来源、软件实现和含义.

如在学习未知方差正态分布的均值参数检验时，便可以将SPSS与概率统计知识有机结合：

示例1：(未知方差正态分布均值的t检验)某砖厂生产的一批砖中，随机的抽取10块进行抗断强度试验，测得结果(单位：kg/cm2)分别为：32.56、29.66、31.64、30.00、31.87、31.03、32.78、31.52、32.45、31.94，设砖的抗断强度服从正态分布，问：这批砖的平均抗断强度是否为32.50 kg/cm2.

可以在提出假设之后，将数据输入到SPSS建立数据库文件，操作“分析-均值比较-单一样本T检验(S)”，会显示如下结果：

One-Sample Statistics

One-Sample Test

其他估计和检验中，也可采用类似的方法，使学生在学习的过程中既掌握理论又掌握软件，从而在统计实践中可以灵活运用.

2.3适应教学手段变化的课程内容改革

由于教学手段的限制，在传统概率统计教学中，有些知识在一定的条件下，不能很充分地表达，比如中心极限定理，证明方法用到概率后续知识，所以一般教材只给出结论和解释，学生既没有证明，也无法验证，只能接受和默认.但软件的发展在一定程度上提供了解决的方法，比如在工科中广泛使用的Matlab软件，可以充分地呈现概率统计知识，在表达中心极限定理时，可以通过变换和的随机变量的个数，并通过改变随机变量的分布，观察和的分布规律.

示例2：(中心极限定理)：均匀分布的和的分布

Matlab程序:

clear;close; K=1000;a=2;b=8;N=K;M=1000;r=unifrnd(a,b,N,M); mu0=(a+b)*0.5*N;igma0=sqrt((b-a).^2/12*N);s=(sum(r)-mu0)/sigma0; mu=mean(s);sigma=std(s);[n,x]=hist(s,mu-5*sigma:0.5*sigma:mu+5*sigma); bar(x,n/M/sigma*2,'r');hold on;h=mu-5*sigma:0.1*sigma:mu+5*sigma; t=exp(-(h-mu).^2/2/sigma^2)/sqrt(2*pi)/sigma;plot(h,t,'K'); title('中心极限定理');legend('独立RV和','正态分布');

hold off;

结果

示例2在区间[2,8]内产生1000个服从均匀分布的随机变量的值，计算这1000个随机变量的和，采用模拟的方法，绘出这个和标准化之后的模拟密度图.学生可以直观地体验到，同分布随机变量的和标准化后，近似服从标准正态分布，不仅表达充分，而且生动形象深刻.

另一方面，这些软件还带来了一个便利，即可以模拟概率统计实验，从而探讨规律，使得这些模拟实验成为概率统计课程的一部分.

示例3：(模拟实验)：抛硬币模拟实验

Matlab程序:

N=1000;for i=1:Na=randint(1,i); sum1(i)=sum(a); P(i)=sum1(i)/i; end n=1:N;

plot(n,P);xlabel('次数n');ylabel('频率P');

结果:

通过Matlab模拟抛硬币，学生会观察到，抛硬币次数比较少时，正面向上的频率偏离0.5比较大，但随着抛硬币次数的增加，正面向上的频率越来越在0.5的附近.这样学生不仅理解了频率的稳定性与波动性，而且理解了这是一种统计意义上的稳定性和波动性，具体直观、本质深刻.

类似的，还有随机模拟蒲丰投针、掷骰子等随机现象，这些现象基于软件这一新的教学手段，可以得到更直观深刻的理解.

2.4编写新教材，反映上述调整

教材是教学内容的载体和教学活动中介，也是课程改革的基础，将上述对教学内容的改革和调整具体体现在教材上，才能方便教学和交流.因此，在一定探索的基础上，可以将上述课程改革内容融合统一，形成一本解决上述问题的教材.

在大学与高中内容重复的部分，主要是随机事件与概率、随机变量及分布、随机变量数字特征、样本与统计部分，可以以高中为基础，进行新内容的展开.这需要分析大学和高中相关知识之间的关系，在目前大学要求中，哪些部分已经在中学解决了，哪些还没有解决，已经解决的和没有解决的知识之间是什么关系，然后在高中基础上，编写属于大学学习内容的教材.

参数估计和假设检验部分，补充相应的软件理论与实践.在目前理论的基础上，加入软件实现的部分，将软件和理论融为一体，使学生即掌握了统计原理，又能在实践中应用软件，并从理论的角度理解软件中涉及到的参数及相应结论，从而可以灵活地使用软件.

其他部分增加以软件为手段的教学，特别是传统的概率统计难点及抽象点.借助软件的图形功能及模拟实验，将概率统计知识直观化，从而变得具体易懂.

3　结论与讨论

目前大学概率统计教学环境发生了三方面的变化，学生基础、应用软件、教学手段.为适应教学环境的变化，在大学概率统计内容上，应进行相应的变革：第一，处理好大学概率统计要求与高中课程基础之间的关系，做到不重复，衔接合理，符合知识内在逻辑；第二，在统计部分引入统计软件，并与理论原理形成有机整体，使得学生能在理论指导下，通过软件解决概率统计实际问题；第三，在教学过程中引入作为教学手段的软件，使得概率统计知识能够更好地呈现，并能通过教学软件，以模拟随机试验的方式，反映概率统计规律.

除了这些内容改革之外，随着时代的发展，在大学概率统计课程中是否需要引入更多的统计内容，如线性回归、方差分析等，以及教学方法上的改革，本文没有涉及，需要进一步的讨论.

[1]教育部非数学类专业数学基础课程教学指导分委员会.工科类本科数学基础课程教学基本要求[J]. 大学数学, 2004,(1):1-6.

[2]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第4版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3]邢家省,马健.概率统计教程(第1版)[M].北京:机械工业出版社,2015.

[4]教育部.普通高中数学教材(选修2-3,B版)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[5]教育部.普通高中数学教材(必修3,B版)[M].北京:人民教育出版社,2007.

[6]教育部 .普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

(责任编校：晴川)

New Problems in College Probability and Statistic Teaching and Curriculum Content Reform

MA Jian

(School of Mathematics and Systems Science, Beihang University, Beijing 100191, China)

The paper analyzes three new problems in probability and statistic teaching because of environment change, and proposes curriculum reform methods according to the problems. The first one is the change of students’ knowledge base because of the new curriculum reform in middle school, and it is proposed that college contents begin at the senior school knowledge and develop logically; the second one is that the statistic software is mixed together with current curriculum content in order to meet students’ subsequent demand; the third one is new teaching tools developed with new information and software technology should be used in college probability and statistic teaching, especially in teaching the difficult study problems.

college probability and statistic; new problem; curriculum content; reform

2016-05-08

2015年北京航空航天大学教改项目“工科概率统计教学的新问题及课程改革”.

马健(1975— )，男，河南项城人，北京航空航天大学数学与系统科学学院讲师，博士.研究方向：概率统计学.

G642.0

A

1008-4681(2016)05-0114-04