基于9阶van der Pol方程的三稳态电路设计及实现

吴志强，张宝强

（天津大学机械工程学院，天津 300072）

基于9阶van der Pol方程的三稳态电路设计及实现

吴志强，张宝强

（天津大学机械工程学院，天津 300072）

基于9阶van der Pol方程的分岔结果，设计了1个平衡点和2个极限环共存的三稳态电路．利用平均法分析了9阶van der Pol方程的分岔性质，设计了能够实现三稳态现象的无量纲方程的系统参数．根据基尔霍夫电路定理，利用运算放大器和模拟乘法器等元件，构建了9阶van der Pol方程的电路原理图，并通过PSpice仿真和硬件电路试验验证了该电路的可行性和可靠性．试验结果表明，该电路系统中有1个稳定平衡点与2个稳定极限环共存的现象，为研究确定性激励以及随机激励下三稳态系统的动力学行为奠定了基础．

三稳态电路；van der Pol方程；PSpice仿真

自1927年van der Pol［1］在研究三极管的振荡效应过程中提出了van der Pol方程以来，van der Pol振子作为一种典型的非线性系统，对于人们认识Hopf分岔现象以及自激振动（荡）现象发挥了重要作用，被广泛用于力学、物理、工程科学等领域的系统建模和分析．为探讨平衡点附近更大范围的系统动力学行为，高阶van der Pol方程理论的研究逐步引起人们关注［2-3］，其中试验验证作为一种重要的手段，一直被学者们所关注．

与机械试验的方法相比，电路试验因所受到的干扰因素少，实现起来相对简单快捷，在非线性动力学现象的研究和试验验证方面发挥了重要作用．比如Chua氏电路的提出和试验，解决了人们关于混沌现象是否存在于真实系统的疑问［4］，促进了混沌动力学的发展．

van der Pol电路理论、仿真和试验研究，也一直得到人们的持续关注，所考虑非线性项的最高次数不断增加．唐志凯等［5］利用运算放大器和模拟乘法器等电子元件复现了van der Pol振子系统，并在PSpice中进行了仿真验证；Lu等［6］将忆阻器应用到van der Pol振子电路中，并利用Multisim进行了仿真验证；Feoktistov等［7-8］利用运算放大器和模拟乘法器等元器件搭建了5阶非线性的van der Pol电路，开展了理论和试验研究．Datardina等［9］则利用电阻、电感、稳压管等电气元件搭建了5阶非线性电阻，进而构成了具有双稳态的5阶非线性电路，并研究了耦合的5阶van der Pol振子的动力学行为；Palumbo等［10］利用带有5阶多项式表示的压控电流源的LC振子，实现了5阶非线性电路，给出了仿真软件Spectrede的仿真结果；Kojima等［11］则提出了一种7阶非线性电阻的电路模型，用于构建7阶van der Pol振子电路，并研究了通过电感耦合的7阶van der Pol振子的动力学行为．

尽管人们在含高阶非线性项的van der Pol系统动力学方面做了大量工作，但重点分析平衡点和极限环共存现象的工作并不多．Zakharova等［8］针对具有双稳态行为的5阶van der Pol电路，分析了随机激励下的相干共振和随机同步现象．而郝颖等［2］在研究多稳态系统随机动力学行为时提到的三稳态系统，必须考虑9阶非线性项，相关试验尚鲜见报道．

为探索高阶非线性系统多稳态共存的现象，本文提出了一种9阶van der Pol振子电路的设计方案，并通过模拟仿真和硬件电路完成了试验验证．

1　9阶van der Pol方程的三稳态设计

无量纲van der Pol方程为

式中：ε为稳定系数；αi（i=1，…，4）为非线性项的系数．

假设系统存在解的形式为

式中：y（t）为响应的幅值；ϕ=t+θ（t）．

应用确定性平均法［12］求得平均方程为方程（4）的零解代表系统（1）（式（1））的平衡点，始终存在；方程（4）的非零解代表极限环，存在于特定参数条件下．要实现平衡点和多极限环共存，关键在于参数的选择．

综合考虑平均法的精度和电路试验中元器件参数选择的可行性，本文选α1=2.5，α2=4.545，α3=2.5，α4=0.4，则参数ε变化时系统分岔图如图1所示．图1中实线表示稳定解（平衡点及极限环），点划线表示不稳定极限环，星号线表示数值计算结果．图2给出不同参数下系统中共存的吸引子的相图，不稳定极限环未在图中画出．

从图1中可以看出，参数ε变化时系统行为发生多次分岔．ε∈（-0.19，0］区间时，系统存在1个稳定平衡点和1个稳定的幅值较大的极限环，系统相图如图2（a）所示；ε∈［-0.23，-0.19］区间时，系统存在1个稳定平衡点和2个稳定的极限环（其中一个幅值较大，另一个幅值较小），系统相图如图2（b）所示；ε∈［-0.33，-0.23）区间时，系统存在1个平衡点和1个稳定的幅值较大的极限环，系统相图如图2（c）所示．当选择系统参数ε∈［-0.23，-0.19］时，由于系统中同时存在3个稳定吸引子，即可实现三稳态系统设计．可见，借助分岔分析结果，可以直观地进行多稳态行为的参数设计．

图1 系统的分岔图Fig.1 Bifurcation diagram of the system

图2 系统相图Fig.2 Phase diagram of the system

图3 9阶van der Pol振子电路原理Fig.3 Circuit diagram of ninth-order van der Pol oscillator circuit

2　三稳态van der Pol电路的设计

本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器（LF412CN）、模拟乘法器（AD633JN）设计实现9阶van der Pol振子系统电路，其中运算放大器用来实现电路的加、减和积分运算，模拟乘法器用来实现系统中的非线性项，系统的电路原理如图3所示．

根据基尔霍夫电压电流定理，可得系统的电路方程为式中：V1为反相积分器U1输出的电压信号，V；V3为可变电阻R15中间端子输出的电压值，V；Ri（i=1，2，··，16）为对应电阻的阻值，kΩ；C1、C2分别为2个电容器的电容值，nF．

选取电容参数C1=C2=10 nF ，电阻参数R2=R3= R4=R10=R13=1kΩ，R1=R5=R11=R12=10kΩ，R6= R8=100 kΩ，R7=4 kΩ，R9=2.2 kΩ，R14=4 kΩ，可变电阻R15=20 kΩ，R16=25 kΩ，可使系数α1=2.5，α2=4.545，α3=2.5，α4=0.4，从而实现三稳态电路设计．需要注意的是，从式（6）可以看出，式（1）中的参数是由多个电路元器件参数组合而成，故存在其他种类的元器件参数组合也可实现图1预测到的系统三稳态行为．

本文选择参数时，遵循以下原则：①电阻、电容参数的选择尽可能统一且为市场上常见的标称值；②电路系统的线性频率满足现有测量仪器（如示波器）的正常工作范围．

3　三稳态van der Pol电路的仿真及试验

为避免试验过程中的弯路且为实际电路的搭建提供依据，先进行仿真分析．在确定上述电路设计正确的基础上，再搭建实物电路进行试验验证．

3.1电路仿真及结果

本文所采用的电子设计自动化（electronic design automation）软件为PSpice．PSpice是一款非常出色的EDA软件，可以最大程度地模拟出真实电子元器件的性质．在PSpice中搭建原理图并仿真，输出端V1、V2的仿真结果如图4所示．

仿真过程中，调节V3=-0.23，V（在三稳态区间内），给定初始条件为0.1V，系统两状态变量的时间历程曲线以及相图如图4（a）和4（b）所示，稳态响应为平衡点；给定初始条件为0.5 V，系统两状态变量的时间历程曲线以及相图如图4（c）和4（d）所示，稳态响应为幅值较小的极限环；给定初始条件为1.0 V，系统两状态变量的时间历程曲线以及相图如图4（e）和4（f）所示，稳态响应为幅值较大的极限环．仿真结果说明该参数下系统存在3个吸引子共存的现象，因此也具备了搭建实际电路的可行性．

图4 9阶van der Pol振子电路仿真结果Fig.4 Simulation results of ninth-order van der Pol oscillator circuit

3.2硬件电路试验及结果

考虑到电路实际运行情况与模拟仿真有一定的不同，在图3所示电路原理基础上，笔者在Protel中重新绘制了电路原理图，如图5所示．

调节图中可变电阻R25的阻值，可得到不同电压值，通过按钮开关S1实现给定不同的初始条件．此外，R7、R9、R14、R16均为可变电阻，以方便调节阻值参数；其余电路元器件参数同上，输出端为V1和V2．图6为电路板实物照片．

图5 9阶van der Pol振子电路的Protel原理Fig.5 Protel diagram of ninth-order van der Pol oscillator circuit

图6 9阶van der Pol振子电路实物Fig.6 Physical picture of ninth-order van der Pol oscillator circuit

在电路试验中，取ε=-0.24 V ，即调节可变电阻R15的阻值使V3=-0.24，V，分别给定不同大小的初始条件，系统2个输出端的V1和V2的信号由示波器采集，试验结果如图7所示．图7（a）和7（b）表示系统的稳态为平衡点，稳定时两状态变量响应为0；图7（c）和7（d）表示系统的稳态为幅值较小（约1.2，V）的极限环，稳定时两状态变量响应为正弦曲线；图7（e）和7（f）表示系统的稳态为幅值较大（约3.8，V）的极限环，由于此时系统的非线性变强，响应波形发生畸变．需要说明的是，由于电路瞬态过程时间很短，图7中试验结果只给出响应达到稳态以后的结果，与图4中给出的仿真结果是一致的．

比较图4、图7和图1可知：首先，PSpice对本文所给出的电路具有很高的仿真精度，仿真波形与试验所得波形吻合度非常高；其次，与理论结果相比较，波形畸变后幅值相差较大．原因可能有两个方面：①用平均法近似求解时，仅仅考虑了基频分量，而图4（e）、图7（e）波形畸变后，高频成分不再是小量，不可忽略不计；②理论推导过程中，对模拟乘法器以及运算放大器的输入输出采用理想函数，忽略了实际元器件特性的限制．

后续多稳态电路改进设计时，拟通过降低极限环最大幅值来提高理论和试验结果吻合程度．

图7 9阶van der Pol振子电路试验结果Fig.7Experimental results of ninth-order van der Pol oscillator circuit

4　结 语

本文利用运算放大器和模拟乘法器等电子元器件设计实现了一种9阶van der Pol振子非线性电路．首先，利用平均法设计了系统能够实现三稳态现象的无量纲方程的参数；其次，依据该参数，利用PSpice对所设计的电路进行了模拟仿真分析；最后，在上述基础上搭建了硬件电路并完成了试验验证.通过调节分岔参数以及给定不同的初始条件，仿真和试验都得到了不同稳态下该系统中2个状态变量的波形及其相图的轨迹，直观地展示了高阶非线性系统中3个吸引子共存的现象，所用方法对更高维非线性系统的多稳态设计有参考价值，并为下一步开展随机动力学行为的试验研究奠定了基础．

［1］ van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with nonlinear resistance （Receptance with reactive triode）［J］. Edingburg and Dublin Phil，1927，3（13）：65-80.

［2］ 郝 颖，吴志强. 三稳态van der Pol-Duffing振子的随机P分岔［J］. 力学学报，2013，45（2）：257-264. Hao Ying，Wu Zhiqiang. Stochastic P-bifurcation of tri-stable van der Pol-Duffing oscillator［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2013，45（2）：257-264（in Chinese）.

［3］ Zakharova A，Vadivasova T，Anishchenko V，et al. Stochastic bifurcations and coherencelike resonance in a self-sustained bistable noisy oscillator［J］. Physical Review E：Statistical，Nonlinear，and Soft Matter Physics，2010，81（1）：1-6.

［4］ Chua L O. The genesis of Chua's circuit［J］. Archiv Elektronik Ubertragungstechnik，1992，46（4）：250-257.

［5］ 唐志凯，刘隆和，姜永华，等. Van der Pol振荡器的模拟仿真［J］. 现代雷达，2007，29（5）：89-92. Tang Zhikai，Liu Longhe，Jiang Yonghua，et al. Simulations of van der Pol oscillators［J］. Modern Radar，2007，29（5）：89-92（in Chinese）.

［6］ Lu Y，Chen M，Huang X. Synchronizing Chaos in memristor based van der Pol oscillation circuits［C］// Proceedings of 2014 International Power Electronics and Application Conference and Exposition（IEEE PEAC）. Shanghai，China，2014：1154-1158.

［7］ Feoktistov A V，Anishchenko V S. Coherence resonance and synchronization of stochastic self-sustained oscillations in hard excitation oscillator［J］. Nelineinaya Dinamika，2012，8（5）：897-911.

［8］ Zakharova A，Feoktistov A，Vadivasova T，et al. Coherence resonance and stochastic synchronization in a nonlinear circuit near a subcritical Hopf bifurcation［J］. The European Physical Journal Special Topics，2013，222（10）：2481-2495.

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［10］ Palumbo G，Pennisi M，Pennisi S. Exploitation of the phasor approach for closed-form solution of the van der Pol's oscillator and sinusoidal oscillators with high-order nonlinearity［C］//16th IEEE International Conference on Electronics，Circuits，and Systems. Yasmine Hammamet，Tunisia，2009：155-158.

［11］ Kojima M，Uwate Y，Nishio Y. Multimode oscillations in coupled oscillators with high-order nonlinear characteristics［J］. IEEE Transactions on Circuits and Systems：Regular Papers，2014，61（9）：2653-2662.

［12］ 陈予恕. 非线性振动系统的分叉和混沌理论［M］. 北京：高等教育出版社，1993. Chen Yushu. The Bifurcation and Chaos Theory of Nonlinear Vibration Systems［M］. Beijing：Higher Education Press，1993（in Chinese）.

（责任编辑：金顺爱）

Design and Implementation of Tri-Stable Circuit Based on the Ninth-Order van der Pol Equation

Wu Zhiqiang，Zhang Baoqiang
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

A kind of tri-stable circuit with one stable equilibrium point and two stable limit cycles was designed based on the bifurcation analysis of the ninth-order van der Pol equation．By using the averaging method，the bifurcation properties of the ninth-order van der Pol equation were analyzed，and the dimensionless equation parameters which could achieve the tri-stable phenomena were designed．According to Kirchhoff laws，the circuit diagram of the ninthorder van der Pol equation was constructed with such elements as operational amplifiers，analog multiplier，etc．The feasibility and reliability of the circuit were verified by PSpice simulation and hardware experiments．The results show that the proposed circuit system does have one stable equilibrium point and two stable limit cycles，which lays a foundation for further study on the dynamic behaviors of tri-stable system under deterministic excitation and random excitation.

tri-stable circuit；van der Pol equation；PSpice simulation

O322

A

0493-2137（2016）07-0709-07

10.11784/tdxbz201507003

2015-07-01；

2015-08-13.

国家自然科学基金资助项目（11372211）.

吴志强（1968— ），男，博士，教授.

吴志强，zhiqwu@tju.edu.cn.

网络出版时间：2015-09-01. 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150901.0843.002.html.