一种2自由度高速并联机械手的轨迹规划方法

王 喆，曾 侠，刘松涛，宋 涛，梅江平

（1. 天津大学机械工程学院，天津 300072；2. 辰星（天津）自动化设备有限公司技术部，天津 301701）

一种2自由度高速并联机械手的轨迹规划方法

王 喆1，曾 侠1，刘松涛2，宋 涛2，梅江平1

（1. 天津大学机械工程学院，天津 300072；2. 辰星（天津）自动化设备有限公司技术部，天津 301701）

以一种平面2自由度高速并联机械手为研究对象，研究其高速搬运作业的操作空间和关节空间轨迹规划策略．通过关键路径点设置，定义针对点到点的典型搬运作业轨迹．针对操作空间，以运动学逆解模型为基础，利用3-4-5次多项式运动规律，建立关节空间运动特征（角度、速度和加速度）关于操作空间运动特征的函数映射．针对关节空间，以运动学正解模型为基础，利用5次非均匀B样条运动规律，建立操作空间运动特征关于关节空间运动特征的函数映射．给定相同的关键路径点和运动时间，以一组参数为例，对比分析在两种不同轨迹规划方法下末端参考点的运动特征，并进行对比试验．结果表明：基于5次非均匀B样条运动规律的关节空间轨迹规划在降低系统功耗和抑制机构残余振动方面具有显著优势．

并联机械手；轨迹规划；5次非均匀B样条；残余振动；系统功耗

近年来为满足食品、电子、医药和日化等行业高速搬运作业的需求，一类可以完成高速抓取和放置作业的并联机械手［1-3］得到学术界和工程界的普遍关注．该类机械手的伺服驱动装置可安装在固定支架上且运动杆件可采用轻质细杆制作而成，故特别适合实现平面或空间内的高速搬运作业．目前，围绕该类高速并联机械手的研究主要涉及两方面内容：①性能评价［4-5］，研究合理的运动学/动力学性能指标，评价机构运动和控制性能的优劣；②尺度综合［6-7］，以所定义的运动学/动力学性能指标为优化目标，研究如何获得最优尺度参数，充分发挥机构的运动性能．显然，上述研究均仅从描述机构特性的数学模型出发，未进一步探讨机械手在真实作业状态下性能的优劣．考虑到该类机械手主要用于高速完成点到点的目标物搬运作业，其运动过程具有高速和高加速特性，因此评价真实作业过程中其性能的优劣主要有两方面：①在保证高速和高加速性能的同时，是否可以实现低功耗；②在高速和高加速运动特性下，是否可以有效降低振动，实现精准的点到点定位．在利用运动学/动力学分析优化确定合理的尺度和工作空间参数后，合理的轨迹规划［8］是保证真实作业时机械手性能优劣的关键．然而，目前轨迹规划多数在机械手的操作空间［9-10］完成，即根据任务需求，采用S曲线［11］、修正梯形［12］及正弦等运动规律实现运动轨迹规划，其缺陷是一般只能实现2个路径点之间的轨迹规划，如若需要实现多个路径点之间的连续轨迹规划，需分段插补，会导致电机力矩变化不平滑，产生机构振动，影响机构定位精度和使用寿命．为解决操作空间轨迹规划存在的问题，文献［13］提出了基于修正梯形运动规律的关节空间轨迹规划方法，其易于实现对运动起点和终点的约束，然而对于有避障需求的轨迹规划实施困难且计算复杂．文献［14-15］采用三次样条曲线的关节空间轨迹规划方法，可以满足多路径点规划的需要，但是其仅能保证位置、速度和加速度连续，而不能保证加加速度的连续．因此，针对高速并联机械手的真实作业需求，研究在保证其真实作业性能的前提下实现低功耗和低振动的轨迹规划方法，对于进一步提高机械手运动性能，推广其在实际工程中的应用具有重要意义．

本文以天津大学发明的2自由度高速并联机械手［16］（以下简称Diamond机械手）为研究对象，在Adept Motion（bw=305 mm ，hw=25 mm ，符号含义见第3节）轨迹下最快抓取次数为120次/min．首先，针对典型的搬运作业需求，设置关键路径点，作为轨迹规划的基础．其次，在分析机械手运动学正逆解模型的基础上，一方面，利用3-4-5次多项式运动规律，研究操作空间的轨迹规划方法；另一方面，利用5次非均匀B样条运动规律，研究关节空间的轨迹规划方法．最后，以一组参数为例，通过对比两种轨迹规划方法下机械手关节空间和操作空间的运动特征，表明在操作空间开展轨迹规划存在的缺陷，并通过对比试验，验证基于5次非均匀B样条运动规律的关节空间轨迹规划在降低功耗和抑制残留振动方面的显著作用．

1　系统描述

Diamond机械手（如图1所示）主体结构由静平台、2条运动支链和动平台构成．每条运动支链均由主动臂、从动臂、肘架、姿态保持短杆和姿态保持长杆构成，各运动构件间均通过转动副连接．利用由主动臂、静平台、肘架和姿态保持短杆构成的一组平行四边形机构与由从动臂、动平台、肘架和姿态保持长杆构成的一组平行四边形机构约束动平台实现平面内的二维平动．运动支链中的主动臂与减速器输出端固定连接，且通过与减速器输入端固定连接的伺服电机驱动，使得2条主动臂均可完成独立转动，从而驱动动平台在平面内运动．由于运动支链中的主动臂和从动臂均可采用轻质杆件制作而成，故该机械手特别适用于完成运动平面内的点到点高速搬运作业．

图1 Diamond机械手三维模型Fig.1 3D model of Diamond manipulator

2　运动学分析

Diamond机械手仅在平面内做二维平动，故可将原系统简化为图2所示的平面5杆铰接机构．其中，动平台被视为质点P，在坐标系Oxy下点P的位置矢量r=（xy）T可表示为

图2 Diamond简图Fig.2 Schematic of Diamond

将ui=（（sgni）cosθ11sinθ12）T代入式（2），并整理为三角函数式，得

根据机构的装配模式，化简式（3），可得位置逆解模型为

位置正解模型为

根据式（4）或式（5）可确定wi，即

将式（1）关于时间求导，得

式中：v为参考点P的速度矢量，v =（x.y.）T；θ.1i、θ.2i分别为第i条运动支链中主动臂的角速度和从动臂的角速度．

将式（8）写成矩阵形式，可得速度逆解模型为

速度正解模型为

将式（7）关于时间t求导，得

式中a为点P的加速度矢量．

履行与速度分析相仿的手续，可得加速度逆解模型为

加速度正解模型为

3　轨迹规划

轨迹规划涉及两方面内容：运动路径规划和运动规律优选．根据机械手的真实作业状态设置其末端通过的关键路径点，是进行运动路径规划的前提．因Diamond机械手主要用于完成点到点的搬运作业，设置路径关键点时一般有如下考虑：①避开位于路线中的障碍物；②抓放轨迹简单，易实现；③无不必要的时间损耗；④相邻路径点间过渡平缓，无冲击．

根据上述考虑，可设置图3所示路径关键点Pi（i=1～7）．坐标系O′ x′ y′位于工作空间中，其中x′轴平行于x轴，y′轴与y轴重合，原点O′在Oxy中的坐标为（0，hs-H-h），则图3所示各关键路径点在Oxy坐标系中的位置坐标为

图3 关键路径点设置Fig.3 Critical path points of trajectory

3.1操作空间轨迹规划

在操作空间中，给定运动规律，从单一运动方向出发，利用运动的分解与合成原理，完成轨迹规划．图3所示机械手的运动轨迹由上升段—平移段—下降段构成．设定完成上升段/下降段（即沿y轴提升/下降hw）所需时间为T1，完成平移段（即沿x轴平移bw）所需时间为T2，为了平滑地由上升段/下降段过渡到平移段，具体路径规划策略如表1所示．

考虑机械手真实作业呈现频繁的加减速状态且依据表1所示路径规划策略，选定操作空间运动规律为3-4-5次多项式，则任意时刻沿任意不相关方向运动满足关系

式中：s（t）、v（t）、a（t）分别为t时刻目标物在规划方向上的位移、速度和加速度；T为完成规划方向运动所需的时间；amax为运动过程中的最大加速度，a=5.7735S/ T2，S为在规划方向上的总位移；λ=t/ T ．

表1 路径规划策略-操作空间Tab.1 Path planning strategy-operating space

依据式（15）和表1，操作空间所规划轨迹上各点沿坐标轴方向的运动特征见表2和表3．将表2和表3中末端轨迹特征通过运动学逆解模型并除以减速机的减速比即可求得驱动主动臂所需的伺服的角位移、角速度和角加速度，将其输入控制系统中，即可驱动机械手按照上述运动轨迹和运动规律完成所需的点到点运动．依据3-4-5次多项式的特征，P2y、P3x、P5x、P6y为

表2 各轨迹点x向运动特征Tab.2Movement characteristics of each track point in x direction

表3 各轨迹点y向运动特征Tab.3Movement characteristics of each track point in y direction

3.2 关节空间轨迹规划

（1）采用累积弦长参数化方法对时间节点tj进行归一化，求得5次非均匀B样条轨迹曲线的定义域节点向量

其中

（2）由节点向量U计算求得5次非均匀B样条基函数Nf，5（u）（f=0，1，…，n +9），有

（3）由德布尔递推公式计算5次非均匀B样条曲线上的位置点p（u），即

式中：dε（ε=0，1，…，n +4）为控制顶点；Nτ，5（u）（τ= 0，1，…，n+4）为5次规范B样条基函数．

将曲线定义域［u5，un+5］内的节点值依次代入方程，得到满足插值条件的n+1个方程，即

对于5次非均匀B样条曲线，还需增加关节起始点和结束点速度、加速度4个边界条件给定的附加方程，附加方程通过切矢边界条件得到，即

联立方程（22）和（23）可以求出5次非均匀B样条的控制顶点dε．

（4）在确定控制顶点dε后，根据式（19）和（20），则可求出5次非均匀B样条关节插补轨迹任意时刻的位置、速度、加速度，通过运动学正解模型即可求得动平台参考点P的位移、速度和加速度．此外，为了进行操作空间与关节空间轨迹规划方法的对比，依据图3关键路径点设置与操作空间轨迹的时间规划，在相同时间内进行关节空间轨迹规划，故设定关节角位移-时间序列如表4所示．

表4 关节角位移-时间序列设定Tab.4 Joint angular displacement-time series set

4　实例分析

设定机械手的尺度参数、工作空间参数、关键路径点参数［17］如表5所示．

表5 机械手与工作空间尺度参数Tab.5 Parameters of manipulator and its workspace m

考虑机械手的一般工作状态，设定T1=0.1s ，T2=0.2 s ．图4所示为基于3-4-5次多项式操作空间轨迹规划与基于5次非均匀B样条关节空间轨迹规划所得末端参考点P的轨迹对比．观察发现2种轨迹规划方法所得到的轨迹近似，因此2种轨迹规划方法均可满足机械手点到点的搬运作业需求．

图4 机械手动平台轨迹曲线Fig.4 Trajectory curves of manipulator moving platform

图5 关节角度曲线Fig.5 Curves of joint angle

图5～图7所示为2种轨迹规划方法下关节运动特征（角度、速度和加速度）随时间的变化情况．观察易知：①基于3-4-5次多项式的操作空间运动轨迹规划相比于基于5次非均匀B样条的轨迹规划，其速度峰值增大约35%，加速度峰值增大约45%，即在同等惯性条件下，完成同样运动过程，前者所需功耗更高；②基于3-4-5次多项式的操作空间运动轨迹规划所得关节加速度曲线存在尖点，即导数不连续，易导致机械手运动过程中产生振动．基于5次非均匀B样条轨迹规划方法得到的关节速度和加速度曲线均可导，理论上能够降低机械手运动过程中产生的振动．为了验证上述分析的正确性，基于表5数据开发出了Diamond机械手物理样机（见图8），用于进行力矩试验和振动试验．

图6 关节速度曲线Fig.6 Curves of joint velocity

图7 关节加速度曲线Fig.7 Curves of joint acceleration

图8 Diamond试验样机Fig.8 Diamond experiment prototype

首先，沿机械手坐标系，在其动平台上固定x向、y向和z向加速度传感器，利用LMS振动测试仪采集加速度传感器信号，利用NI数据采集卡由伺服驱动器采集各关节电机力矩信号．依据表1所示仿真轨迹参数设定，分别利用上述两种轨迹规划方法进行试验，得到伺服电机力矩曲线和x向、y向、z向加速度传感器数据曲线，分别见图9和图10，图10中左侧虚线为机械手运动开始时刻，右侧虚线为运动结束时刻．观察图9和图10，可得结论如下．

（1） 完成相同的运动，基于5次非均匀B样条的轨迹规划方法所需驱动力矩值更小，便于在电机选型时选用额定力矩较低的电机，降低功耗且节省成本，与运动学分析所得结论相吻合．

（2） 基于5次非均匀B样条的轨迹规划方法，运动过程中的末端各向加速度峰值和振动均更低．

图9 关节实际力矩曲线Fig.9 Curves of joint actual torque

（3） 基于Diamond机械手z向相对于x向和y向刚度明显偏低，因此z向残余振动对机械手残余振动的影响远大于x向和y向．基于5次非均匀B样条的轨迹规划方法，图10（a）、图10（b）分别显示x向、y向残余振动降低，图10（c）显示z向残余振动降低了37%，．所以该方法在控制机械手残余振动方面具有明显优势．

图10 各运动方向加速度曲线Fig.10 Acceleration curves in each moving direction

5　结 论

（1） 针对点到点的高速搬运作业，设定了同时适用于操作空间和关节空间轨迹规划的关键路径点，将该类机械手在不同空间的轨迹规划统一在了同一框架下．

（2） 以关键路径点为基础，系统研究了该类机械手操作空间轨迹规划和关节空间轨迹规划的策略和实施方法．针对操作空间，提出了一种基于3-4-5次多项式运动规律的轨迹规划方法；针对关节空间，提出了一种基于5次非均匀B样条运动规律的轨迹规划实施方法．

（3） 通过对比分析和试验表明：基于5次非均匀B样条的轨迹规划方法在降低机械手系统功耗、过程及残余振动方面具有显著优势．

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（责任编辑：金顺爱）

Trajectory Planning Method for a 2-DOF High-Speed Parallel Manipulator

Wang Zhe1，Zeng Xia1，Liu Songtao2，Song Tao2，Mei Jiangping1
（1．School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2．Technical Department，Chenxing（Tianjin）Automation Equipment Limited Company，Tianjin 301701，China）

Taking a 2-DOF translational parallel manipulator as the research object，a space trajectory planning strategy for operating and joint spaces was presented in high-speed handling operations．The typical point-to-point handling operation trajectory was defined through the setting of critical path points．Based on the establishment of the robot inverse kinematics model in operating space，the function mapping of motion characteristics（angle，velocity and acceleration）from operating space to joint space was obtained according to the 3-4-5 polynomial motion law．On the basis of forward kinematics model in joint space，the function mapping of motion characteristics from joint space to operating space was obtained according to quintic non-uniform B-spline motion law．The movement characteristics of the end reference point in two different trajectory planning methods were analyzed under the same critical path points and time．In addition，the comparison experiment was carried out．The result shows that the trajectory planning of joint space based on quintic non-uniform B-spline motion law has significant advantages in reducing the system power consumption and restraining mechanism residual vibration．

parallel manipulator；trajectory planning；quintic non-uniform B-spline；residual vibration；system power consumption

TH112；TP242

A

0493-2137（2016）07-0687-08

10.11784/tdxbz201507100

2015-07-30；

2015-11-03.

国家自然科学基金资助项目（51475320）；天津市人才引进与科技合作项目（13RCHZGX01118）.

王 喆（1969— ），男，博士，副教授，wzwhm@126.com.

刘松涛，st2060@126.com.

网络出版时间：2015-11-11. 网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20151111.1736.004.html.