一类具耗散项高阶非线性发展方程解的渐近性质

马腾宇

【摘要】研究了一类非线性发展方程整体解的渐近性质，利用乘子法建立了方程的渐近性定理，证明了当方程中的耗散项满足一定简单而宽泛的条件下，方程的整体强解依指数形式衰减于零。

【关键词】非线性发展方程 耗散项 整体解 渐近性质

一、引言

非线性拟双曲方程是近年来在神经传播，具有粘性效应的杆的纵向振动等生物、力学问题中提出的，具有重要的应用背景。在描述非线性弹性杆中纵向位移波传播的运动方程时，Greeenberg，MacCamy和Mizel于1968年首先提出了如下著名的具强阻尼项的拟线性发展方程[1]。

utt-uxxt=σ（ux）x

其中u（x，t）表示杆在x处，t时刻的位移，ux为应变，σ（ux）为非线性应变。许多学者分别从不同的角度，采用不同的方法对如上方程整体解的适定性做了卓有成效的研究，并得到了很多好的结果[2-8]。刘亚成等在文献[2]中研究了如上问题的初边值问题，得到了整体强解的存在性与唯一性，并在初值函数及σ（s）满足一定的条件下，得到了整体强解的相应光滑性。杨志坚、宋长明在文献[5]中研究了非线性弹性杆的纵波振动的一类非线性发展方程utt=uxxtt+σ（ux）x的初边值问题。在关于非线性项及初值的某些假设下，证明了此问题有唯一整体强解。刘亚成等在文献[6]中研究了如下带有耗散、色散项的四阶非线性波动方程的初边值问题，尚亚东在文[7]中，研究了如下一类四阶强阻尼非线性波动方程的初边值问题。用方法与能量估计得到了上述问题的整体强解。

众所周知，在非线性振动过程中，除了物体内部的粘性对物体运动有着重要的影响外，非线性外力因素也起着十分重要的作用。尤其是非线性粘性阻尼和非线性力源的影响。因此，将上述由物体周围介质所产生的，非线性外力因素考虑进去是十分必要的并且具有重要的现实意义[9-11]，Chen和Yang在[12]中研究了非线性项的更加广泛的方程，得到了方程广义解和经典解的整体存在性，并给出了解在有限时间内爆破的充分条件。

对于解的适定性有了充分的了解后，为了更全面的了解方程的特性，特别是所描述的物理方程的复杂行为，方程解的长时间演化行为往往成为讨论的重点内容。因此，当人们对如上问题解的适定性有了充分了解后，自然对于解的渐近性质很感兴趣。然而，关于此类方程解的渐近性质的研究结果并不多见[13，14]。

参考文献

[1]Greenberg，J.M.MacCamy，R.C.and Mizel，J.J.，On the existence，uniqueness and stability of the equationσ（ux）uxx+λuxxt=ρ0utt[J].J.Math.Mech.，1968，17，707-728.

[2]刘亚成，刘大成.方程utt=uxxt+σ（ux）x的初边值问题、周期边界问题与初值问题[J].数学年刊，1988，9A（4）：459-470.

[3]刘亚成.方程utt-Δut=f（u）的整体解[J].数学物理学报，1989，9（2）：155-166.

[4]刘亚成，王锋，刘大成.任意维数的强阻尼非线性波动方程（I）-初边值问题[J].应用数学，1995，8（3）：262-266.

[5]杨志坚，宋长明.关于一类非线性发展方程整体解的存在性[J].应用数学学报，1997，20（3）：321-331.

[6]Liu Y C，Zhao J S.Global existence and blow-up of Wk，p solutions for a class

of nonlinear wave equations with dispersive term[J].Nonlinear Analysis，62（2005）：45-63.

[7]尚亚东.方程utt-Δu-Δut-Δutt=f（u）的初边值问题[J].应用数学学报，2000，23（23）：385-393.

[8]刘亚成，李晓媛.关于方程utt-Δu-Δut-Δutt=f（u）的某些注记[J].黑龙江大学自然科学学报，2004，21（3）：1-2，6.

[9]杨志坚.两类非线性数学物理模型方程的初边值问题[D].郑州大学，2000.

[10]Ikehata R.Some remarks on the wave equations with nonlinear damping and source terms. Nonlinear Analysis[J].Theory，Methods & Applications，1996，27（10）：1165-1175.

[11]Ono K.On Global Existence，Asymptotic Stability and Blowing Up of Solutions for Some Degenerate Non-linear Wave Equations of Kirchhoff Type with a Strong Dissipation[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，1997，20（2）：151-177.

[12]Guowang C and Zhijian Y.Existence and nonexistence of global solutions for a class of nonlinear wave equations[J].Mathematical Methods in the Applied Sciences，2000，23（7）：615-631.

[13]Linares F and Ponce G.Asymptotic Behavior of Solutions for the k-gKdV Equations[J].Introduction to Nonlinear Dispersive Equations.Springer New York，2015：191-214.

[14]Runzhang X.Asymptotic behavior and blow up of solutions for semilinear parabolic equations at critical energy level[J].Mathematics and Computers in Simulation，2009，80（4）：808-813.