着眼核心素养的数学学习

张齐华

【设计理念】

《用数对确定位置》是“空间与几何”领域继“图形的认识”“图形的运算”“图形的变换”之后又一崭新领域。基于数学学习和生活经验，一二年级学生已经初步会用“第几个”“第几排第几个”“第几层第几个”等具体、直观的方式确定一维线性空间、二维平面空间中物体或点的位置。本课将在这一基础上，引导学生理解、掌握用“数对”这一相对抽象的、数学的规则来确定二维平面空间中一个物体或点的位置。

教材编排的线索是，以教室内的座位图为载体，引导学生先借助“第几组第几个”“第几排第几个”确定小军的位置。进而明确，“通常把竖排叫作列，横排叫作行。一般情况下，确定第几列要从左向右数，确定第几行要从前向后数”“小军坐在第4列第3行，可以用数对（4，3）表示”，由此完成对“何为数对”“如何用数对确定位置”这一内容的认识。教材作出如上安排，潜在的观念是，对四年级学生来说，凭借原有的数学经验，要自主探索并建构“用数对确定位置”这一规则，无疑是有难度的，甚至不在学生的“最近发展区”内。因而，“有意义地告诉学生”这一“规定性数学内容”，便成为教材编排这一内容的基本逻辑框架，也是一种合理且审慎的姿态。

基于这样的认识，笔者以为，完全放手让学生自行探索或建构上述内容，无疑是一种不客观、不理性的选择。事实上，笔者以往的数次教学实践，也印证了这一判断。因此，我们应在既定的基本框架内，将这一“规定性数学内容”背后的数学思考充分挖掘出来，引导学生在矛盾冲突中感受规则统一的必要性，在观察比较中体会“数对”的抽象概括性，在分析推理中领悟数学思维的价值，在数形结合中领略数学思想的魅力，在比较延伸中洞察数学知识内在的统一性。一句话，即便是“规定性数学内容”，即便是“告知式教学方式”，我们仍然可以通过对文本的深度理解与加工，通过对文本教学价值的深度开掘与外化，引导学生体会数学思考的魅力和数学思想的价值，并最终获得数学素养的提升。

【教学目标】

1.在具体情境中，理解如何用列数和行数组成的数对确定物体的位置，体会规则建立的必要性、统一性与合理性。

2.会根据相应的规则，用数对确定平面内物体或点的位置。

3.感受数学思维、数学方法的严谨与美。

【教学活动及意图】

一、呈现课题，引发问题

1.二年级时，我们已经研究过用第几排第几个、第几层第几个等方式来确定物体的位置。今天这节课，我们将在这一基础上，一起来学习“用数对确定位置”。读一读课题，你有什么问题？

学生可能的问题：什么是数对？怎样用数对来确定位置？用数对确定位置和以前研究的确定物体的位置有什么区别？等等。

2.今天这节课，我们将围绕同学们的这些问题来展开学习。

【直接出示课题，引导学生比对已有经验，产生认知冲突，形成新的学习需求，进而自己发现、提出问题，为新课的学习作好认知与情感的准备。】

二、营造冲突，建构新知

1.为了让大家更好地学习今天的内容，我还把我儿子带来了。（出示图1）猜猜看，哪一个会是张老师的儿子？

学生可能会用第几排第几个、第几组第几个等已有经验描述他们的猜想，也可能用方向确定位置，如从左往右第几竖排、从上往下第几个等。

2.大家的猜测各不相同。有什么问题吗？需要张老师提供什么线索吗？

学生可能的要求：他在第几排？他在第几组？他有什么外貌特征？

3.看来，没有提示，仅靠猜，很难确定张老师儿子的位置。张老师给点提示：在数学上，他在这幅图中的位置可以用两个数组成的一个数对（板书：（4，2））来表示。现在，你能找到他的准确位置吗？

（1）学生先独立思考，随后小组交流自己的想法，并找出他们认为的张老师儿子的位置。

（2）反馈交流，学生可能会出现四种不同的答案（见图2中的四个圆圈）。

（3）要求学生具体说一说：你为什么认为这个男孩是张老师的儿子？你理解的4和2分别表示什么？

4.张老师只有一个儿子，而且他的位置在数学上的确可以用数对（4，2）来表示，为什么你们帮我找出了四个儿子呢？

学生的困惑可能有：（1）你没说清楚，这里的4和2，哪一个是竖排，哪一个是横排。（2）你没说清楚，竖排时，究竟是从左往右还是从右往左。（3）你没说清楚，横排时，究竟是从上往下还是从下往上。

教师小结：看来，仅仅知道数对还不够，我们还得了解这个数对背后隐藏的一系列规则。

5.在数学上，竖排也叫列，横排也叫行。那么，用数对确定位置时，数对中的两个数究竟谁是列，谁是行？确定列和行时，又是按怎样的方向？接下来，张老师再给大家一点提示：张老师儿子最要好的朋友的位置可以用数对（2，1）来表示。现在，你能确定哪一个才是张老师真正的儿子吗？

（1）学生独立思考，随后小组交流。

（2）反馈时，学生可能会说：因为这个男孩在从左往右第2列，从下往上第1行，所以，第一个数表示列数，方向是从左往右；第二个数表示行数，方向是从下往上。

（3）按照上述规则，学生正确地找到了张老师的儿子。教师借机引导学生完整地指出从左往右的5列和从下往上的5行。

（4）教师结合学生的交流，板书如下：

【教师貌似直接给出了答案，但“告诉”背后恰恰隐藏着强烈的问题冲突：明明给出了张老师儿子所在位置的数对，为什么会找出“四个儿子”？有矛盾就会有思维冲突，有思维冲突就会有深度追究与探寻，而数对背后蕴含的丰富的规则内涵，恰恰在这样的矛盾与探究过程中得到了有效彰显。此外，面对学生的质询，教师也没有直接给出规则，而是以（2，1）为引子，再度引导学生展开思考。看似只是一个细节，但背后蕴含的恰是教师的一种教学价值追求：让每一个细节彰显最充分的数学思考，让数学判断、推理等思维过程充溢在数学学习的完整过程之中。】

6.按照这样的规则，另外三个男孩的位置又可以用怎样的数对来表示？

（1）学生尝试用数对（2，2）、（2，4）、（4，4）来表示。

（2）教师追问：（2，4）和（4，2）用的数字都一样，为什么表示的人却不相同？引导学生认识到：数字交换顺序后，表示的列数和行数就会发生变化，表示的位置也会发生变化。

（3）教师追问：（2，2）、（4，4）这两个数对中，同样都是2或4，表示的意思一样吗？引导学生认识到：同样的数字，在不同的位置，表示的含义不同，前一个表示第几列，后一个表示第几行。

（4）教师追问：像（2，2）、（4，4）这样的数对，在这幅图中，你还能找到哪几个？观察它们的位置，你有什么新发现？引导学生通过观察、探索，发现（x，x）这样的数对都在一条直线上。

【另外三个男孩的数对是什么？同样的两个数字，交换位置，为什么表示的位置不同？两个同样的数字，表示的意义又有什么不同？类似的数对还有哪些？你发现了什么规律？用数对确定位置的规则内涵正是在这样的追问中得到了强化，而学生的数学思维正是在这些貌似不经意的追问中得以深化。最后一问，貌似只是一种形式上的模仿，然而，当（1，1）、（2，2）、（3，3）……这些数对一一呈现在画面上时，数形结合的思想已经跃然纸上。】

三、实践应用，拓展提升

1.回到我们的教室，你能写出自己所在位置的数对吗？先观察再思考，想一想，你有什么问题？

（1）学生可能提出：教室里，哪里是左，哪里是右？结合学生的提问，教师指出：在用数对确定同学们的位置时，通常是站在教师的视角来观察，从而确定教室里的第一列和第一行。

（2）现在，你能写出自己所在位置的数对吗？学生书写，全班反馈。

（3）你能说一说你好朋友所在位置的数对，让大家来猜一猜他（她）是谁吗？

（4）我找到一位同学，他是（3，5）的同桌，你们猜一猜，他的数对可能是多少？如果学生给出两种答案，教师引导学生思考：（2，5）和（4，5）哪一个更合适？帮助学生体会到，实际问题还要结合具体情境去思考和理解。

（5）我还找到一位同学，他和（4，3）紧靠在一起，他的数对可能是多少？学生可能找出（4，2）、（4，4）、（3，3）、（5，3）。教师结合学生的回答，在屏幕上出示抽象后的教室座位图，并标出这五个学生的位置及其相应的数对，并引导学生思考：你发现了什么？在学生思考和交流后，教师引导学生发现：同一列的数对，列数相同；同一行的数对，行数相同；这五个学生正好构成一个“十字形”，再次体会数形结合的思想。

（6）我想找一位同学，只知道他（她）数对中的两个数字相加之和是7，猜一猜，他（她）可能是谁？学生猜测，教师分别请符合要求的学生（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）起立。

（7）观察这些数对和同学的位置，你发现了什么？你还有什么新的猜想？学生有可能会猜想：是不是只要数对中的两个数字之和相等，这些位置就一定在同一条直线上？教师可以引导学生自己试着写一写符合要求的数对，看一看他们的具体位置，验证自己的猜想。

2.你能用数对确定下面四块瓷砖（如图3）的位置吗？

（1）学生尝试给出数对。

（2）如果让你再添几块瓷砖，使它们显得比较美观，你会添在哪些位置上？写出它们的数对。

（3）全班反馈时，引导学生评价：谁设计得最美观？你从这些数对中发现了什么规律？让学生既感受到设计的美，又从美的作品中发现隐藏的数学秘密。

3.生活中，你还在哪里见到过像“数对”这样用两个数来确定人或物体的位置的？

（1）学生独立思考，并在组内交流。学生可能会提到飞机票、电影票、国际象棋、地球仪等。

（2）教师出示电影票，并提问：明明可以用更简洁的数对来表示，为什么电影票通常还是选择用第几排第几号的方式来确定位置？

（3）教师出示飞机票，并提问：确定飞机上的位置所用的方法和我们今天学习的数对有什么不同？为什么会用一个数和一个字母（如5A、11D）来表示位置，这样的方法有什么优点？

（4）既然字母和数字结合还可以省略中间的逗号，比数对更简洁，为什么在数学上还是选择用数对来确定位置？用数对确定位置有什么优点？

（5）比较飞机票、电影票、国际象棋、地球仪上确定位置的不同方法，它们有什么相同的地方？为什么都需要用两个数或两个量来确定一个点的位置？

【好的数学练习，除了要巩固所学的知识与技能外，还应关注学生对数学方法的领悟、数学思想的熏陶以及数学美的感受，并引导学生透过纷繁复杂的现象，发现其背后蕴含的内在统一性与数学美感。在笔者看来，这恰恰是培养学生的数学核心素养的体现，也是未来数学课堂不变的追求。】

（作者系南京市北京东路小学副校长，江苏省数学特级教师）