离散数学初识与应用

李振瑜

摘 要：我们高中数学学习中有涉及数列与差分、离散型随机变量等内容，虽然其涉及的知识比较简单，也不作为考察的重点，但是这一知识点却可引申为未来数学学习中离散数学概念中最基本知识点。所谓离散数学，被视为现代数学的一个重要分支，其在各个学科领域都有着广泛的应用，尤其在计算机科学领域、程序设计、编译技术等有着重要作用。本文通过高中知识的展开，初步介绍了离散数学的概念，并就其在计算机软件领域的应用做了一定的讨论。

关键词：离散数学；概念；应用

一、离散数学的概念

离散数学作为现代数学的一个十分重要的分支，同时是计算机科学和相关技术的理论基础，所以又被人们戏称为计算机的数学[ 1 ]。一般的，广义离散数学的概念包含了图论、数论、集合论、信息论、数理逻辑、关系理论、代数结构、组合数学等等概念，现代又加上了算法设计、组合分析、计算模型等应用方向，总的来说，离散数学是一门综合学科，而其应用则遍及现代科学与技术的诸多领域。

二、离散数学在高中数学中的体现

离散数学的概念对于我们高中生来说可能相对陌生，但其实，我们高中数学中很多知识都常常涉及到离散数学。相较于我们平时接触较多的连续性数学而言，离散数学侧重于思维方式和逻辑过程的应用于体现，可以说是数学中一个非常特别的分支，在应用的过程中主要是构建起一种专属的思维方式。这种方式既有别于传统的对事物的理解与推论，还与常规的数学解题思维有着很大的不同。而高中阶段像我们学习所涉及的数理逻辑、集合、数列等知识都是离散数学的基础概念。

以一个简单的高中数学命题的问题为例：高中数学的命题关系的讨论，其中常见的命题形式有：若p则q，以及与其相关的原命题、逆命题、否命题、逆否命题的形式与真假关系，和“且、或、非”三种简单的逻辑连接词。这是我们在高中数学中常常接触的一类问题，而延伸至离散数学的概念下，其实只是更深入的讨论和研究了这一问题，并建立起独特的逻辑概念，这种数理的逻辑也是计算机编程的基础。

三、离散数学的应用

（一）数学思维在计算机软件编程中的应用

隨着计算机科技的逐步发展，信息技术在日常生活中的应用目前越来越为广泛。而软件程序作为各种技术问题的关键，其发展更是日新月异，而算法被称为软件编程的基础。数学思维的运用贯穿软件与计算机科学的始终。

其实当我们对编程有了一定的了解后可以发现，需要通过编程实现的很多要求都可转化为数学逻辑的讨论与梳理。当计算机需要解决一个具体的问题时，必须运用应用数据结构的知识。而对于问题中所需要处理的数据，就需要从具体的问题中通过一定方式建立起一定的数学模型。然后再针对这一数学模型建立起相应的算法，最后通过编程实现对算法的应用，然后经过反复测试、调整直至确定最终的解答。上述过程即一个编程的过程，从提取模型、建立算法到问题解决的过程都离不开离散数学的知识运用。

（二）离散数学与人工智能

人工智能是现在非常热门的一个议题，作为计算机学科发展的一个非常重要的方向，人工智能中对于离散数学的应用主要是数理逻辑部分充当智能思维的应用，即形成类似人类的思考方式。数理逻辑包括了命题逻辑与谓词逻辑：所谓命题逻辑就是以命题为单位进行的前提与结论之间推理过程的研究；而谓词逻辑则侧重于研究句子内在的联系。一般的，人工智能现在大致分为两个流派，即连接主义流派和符号主义流派。在符号主义流派里，认为现实世界的各种事物可以用符号的形式表示出来，而最主要的理论就是人类的自然语言是可以用符号表示出来的。语言的符号化，是数理逻辑研究的最基本的内容，所以计算机的智能化是以将人类的语言符号化为机器可以识别的符号为前提的，通过这样的方式才能使计算机进行推理，才能具有智能。由此可见数理逻辑中重要的思想、方法及内容贯穿到人工智能的整个学科。

（三）现实生活中的离散数学

其实离散数学除了在计算机、软件技术等领域中有着重要的应用价值外。其在金融分析、交通规划、企业管理、战争指挥等广泛的领域也有着重要的应用。正是看到了离散数学对于未来科技发展的重要意义，很多国家都已将离散数学列为新世纪未来应当重点发展的数学领域之一。甚至美国有一家公司直接以离散数学来命名，他们运用离散数学的方法来分析解决企业管理上的问题，进而提高企业的效益。此外，试验设计也是具有很广泛发展潜力和很大应用价值的一门新兴学科，它的数学原理就是组合设计。通过使用组合设计的方法解决工业行业的试验设计问题，已有很多专门的公司在进行这方面的研究。最近，一位德国著名的离散数学家利用了离散数学的方法对药物结构进行深入研究，极大节约了制药行业的研制成本，引起了制药业的广泛关注。

（四）离散数学重要性

离散数学在计算机以及软件领域都发挥着十分重要的作用，甚至现代计算机科学的理论基础都可以被称之为离散数学的一个分支。在其中大量的采用了离散数学中基本概念、 知识以及基础的研究方法。 离散数学的学习不但为未来大学的进阶学习提供极其必要的理论基础，而且通过对离散数学思想和方法的学习也反过来提高了我们自身的逻辑思维能力和创造性思维能力。

四、总结

随着科技信息时代的到来，计算机科学发展如火如荼，人工智能技术方兴未艾，工业革命时代以来一直以微积分为基础的连续数学的主导地位已经发生了显著的变化，离散数学正逐步成为科学领域新突破的土壤，其重要性逐渐被人们认识。也有越来越多的人把更多的经历投入到这一领域的研究中。

离散数学是一个非常注重思维逻辑的数学学科分支，对于离散数学的学习过程可以看作是一个对数学思维构建的锻炼的过程。通过本文上述的讨论，同时也可以看到，所有的理论学习都是一个循序渐进的过程，我们不应当放过自己学习中每一个细微的知识点，扎实的基础知识和严谨的逻辑思维能力都对的未来进阶学习有非常有益的帮助。

参考文献：

[1] 傅彦，顾小丰，王庆先等.离散数学及其应用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 离散数学及其应用[M].北京：机械工业出版社，2006.