反证法在多项式理论中的应用

高岩

[摘 要]多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，它是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛，它在高等代数中一个相对独立的部分，与线性代数一起，构成高等代数的整体内容.反证法是一种间接地证明问题的方法，在数学的各个领域中均有应用，本文讨论它在多项式理论中的应用.多项式理论中涉及许多命题的证明 ，其中有些命题无法或不易用直接证法证明 ，而用反证法来证明十分简捷有效.

[关键词]反证法；多项式；互素；不可约

一、多项式的基础知识

多项式理论是高等数学研究的重要内容之一，它是高等代数中一个相对独立的部分，与线性代数一起，构成高等代数的整体内容.它的理论抽象，涉及的概念较多，一些问题直接利用定义证明较为困难，而使用反证法却可以使论证的过程得到简化.

多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛.多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论.研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法.

多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相.多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。下面结合实例来讨论反证法在论证多项式理论中的应用.

二、反证法

反证法的定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了定理，也叫归谬法.

反证法的实质：

事实上，反证法就是去证明一个命题的逆否命题是正确的，这与直接证明是等价的，但是可能其逆否命题比较容易证明。上述的得出了矛盾，事实上就是得出了“假设与题设不相融”这个结论，所以我们不能接受这个假设，所以这个假设的反面就是正确的，从而命题得证。

适用范围：

证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否定则比较浅显。

反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得.法国数学家阿达玛（Hadamard）对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆.

针对高等代数中许多结论、定理的证明有时虽然可以用构造法、数学归纳法等其他方法证明，但证明过程较复杂；有时结果虽然是数值却无法用求解的方法来求解，提出了用反证法来证明或求解的思想，从而达到了化复杂为简明、化难为易的效果

三、反证法在多项式理论中的应用的实例

1.关于不可约多项式的一个命题

多项式理论中有几类问题利用定义或等价证明比较方便，例如整除一般用定义直接证明，最大公因式和互质则通常使用其等价定义或一些性质定理证明，用不可约多项式的定义用起来就不太方便，而且对于多项式的不可约性又没有定理或公理可利用，只有一个可以直接利用Eisebstei判别法，故这一类问题的证明最适宜反证法。

2.关于互素多项式的一个命题

这类命题通常在互质，最大公因式，多项式的根等问题中出现，结论里一般具备“唯一…”“只有…”等字样，而直接证较困难，可假设另外存在“一个”推出矛盾.此命题的结论是互质的等价定义.这类命题

3.关于多项式重因式的一个命题

判断一个多项式有没有重因式首先判断多项式是否有重因式，即求出；其次，用除所得商式为，其中没有重因式，与含有完全相同的不可约因式；然后，求的不可约因式，这样不难求出其在中的重数.

若多项式在F中没有重因式，那么把看成含F的某一个数域G上的多项式时，也没有重因式；若是的k重因式，则能整除、、…、，但不能整除，这就知道与的关系了.

此题推出结论的方法与例1类似都是在否定结论之后，利用已知条件推出了与命题的题设相矛盾的结论.

4.关于实系数多项式根的一个命题

此题不适宜从正面去证，首先要讨论的情况较多，其次从已知入手也很难得证。而从反面去证则可以根据根与系数的关系很快推出矛盾。如果考虑的情况不够全面就无法完善解决此类问题，容易遗漏某种情况，反证法可以既简便又快捷的证得结论。