探索高中立体几何的学法

摘 要：本文分析了高中数学教育在立体几何的学法困难，着重从几方面探究教学中如何操作使学生轻松掌握，提出用模型给学生直观的感官刺激，培养学生的动手能力，能作图才能识图，分析图形用降维，切割，补形等有效手段实现转化，让学生化繁为简，轻松驾驭。

关键词：高中数学；立体几何；模型；作图；转化

立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一道难度较高的台阶，对学生的空间思维要求较高，学生们往往对立体几何的学习倍感畏惧。究其原因，不外乎沿袭平面几何的思维，缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。就此，结合自己的教学体会，谈一点做法。

1 加强形象直观 善于使用模型

按照乌申斯基的说法，直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据，而是以学生的直接感知的具体形式为依据的。

教会学生去有意识地使用立体几何模型，是顺利地进入立体几何之门的有用钥匙。这里所说的模型并不仅指教学使用的立体几何教具，而主要是指学生人人都有的桌面、书本、笔、手掌（表示平面）、手指（表示直线）、打开的书本（表示二面角）等等。善于使用这些现成的模型，可以使许多立体几何问题变得比较直观，比较容易解决。

一些立体几何问题，不通过使用模型是很难作出判断的。如：“一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，这两个二面角的大小关系是什么？”此题仅靠空间想象很难得出结果，作图呢又较难，且作出的图形是不会运动的（模型是可以运动的），要作出各种情况下的图形既费时图形也难画，另外学生往往还会依据平面几何中一个类似的结论而去习惯性思维，得出“相等或互补”的错误结果，其实此题只需用两本打开的书本比划一下，结论很快就可以得到（两个角没有任何关系）。这一教法，融知识性和趣味性于一体，形象、直观，突破解题障碍，提高了学生的学习兴趣，培养了他们的空间想象力。

2 重视对学生识图、作图能力培养

识图和作图教学是培养学生空间想象力的重要途径之一。识图、作图能力是空间想象力的组成部分。我们常遇到这种情况，学生把题目看了几遍，但仍然画不出适合题意的图形以辅助解题。因此，在立体几何教学之初，要重视对学生识图、作图能力的培养和训练。

识图、作图训练可从以下两方面进行

1、用直观教具与实物，培养识图、作图能力

作图和识图有着密切的关系，如果学生的识图能力差，就很难画出所需要的图形。在立体几何教学中，应特别注意利用实物和模型，帮助学生认清点、线、面之间的关系，增强感性认识，加深对理论的理解。学生识图、作图能力的提高，就意味着他们在空间的抽象思维能力有了提高。

2、通过解剖图形，提高识图、作图能力

立体几何图形是由点、线、面这些基本元素通过一定的关系组合而成，这种关系到了空间已经较平面上发生了很大的变化，不熟悉、不适应这种变化，是学生难以从平面几何进入到立体几何学习的一个障碍。如果能将元素按照题意组合成几何图形，又能将图形分解成部件（有简单关系的基本元素的几何体），也就能将复杂问题分解为简单问题，将立体几何问题转化为已熟悉的平面几何问题加以解决。

经常让学生做一些解剖图形的训练，可增强学生的识图、作图能力。

例1 求证：在已知二面角内，从二面角的两个半平面出发的一个半平面内任意一点到二面角两个面的距离之比是一个常数。

分析：如图1，把平面角從立体图形中“切”出来，易发现∠ADB与∠ADC是定量，从而获得解题线索。

在立体几何问题中，若作出的图形较复杂，线面关系不易寻找，则可引导学生进行图形解剖，把一个复杂的图形分解为几个简单的常见图形，并联想以往知识寻找解题线索，这对进一步提高学生的识图能力有很大帮助。

3、介绍基本作图方法，直接训练作图能力

画空间图形的直观图，首先要画好平面，尤其是相交的平面，如例3。另可引导学生总结一些基本方法和作图顺序，使他们明确画图要领，掌握画法和程序。画结构比较复杂的几何直观图，应要求学生先根据文字描述进行空间想象，在脑海中形成一个基本图形，然后画出草图，大致确定图形的形状、大小和元素间的位置关系，分清哪些是可见的轮廓线，哪些是不可见的，最后再画出正式的直观图。直观图的作图顺序是：由前到后、先线后面、保持平行、实虚分明。

例2 画两对平行平面。（画法如下图）

图形是直观的语言，图形的直观性、准确性，直接影响数学思维和数学推理，它是学习立体几何的第一道难关，应该引起我们的重视。

突出转化思想的应用

立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面如手。

位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

例3 已知三棱锥S-ABC中，∠ABC=900，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。

分析：∵A、E、F三点不共线，AF⊥SC，

∴要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF，

只要证SC⊥AE（如图3）。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，

∴SB是SC在平面SAB上的射影。

∴只要证AE⊥SB（已知），∴EF⊥SC。

例4 设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形折成二面角A-EF-C1（如图-4）。求证：平面AB1E∥平面CD1F。

分析一（纵向转化）：∵AE∥DF，AE平面C1DF，∴

AE∥平面C1DF.同理，B1E∥平面C1DF，又AE∩B1E=E，∴平面AB1E∥平面C1DF。

分析二（横向转化）：∵AE∥EF，B1E⊥EF，且AE∩B1E=E，∴EF⊥平面C1DF。同理，EF⊥平面C1DF 。平面AB1E∥平面C1DF。

2、降维转化

由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理就是转化为三角形全等的平面问题。

例5 设正三棱锥S-ABC的底边长为a，侧棱长为2a，过A作与侧棱SB、SC都相交的截面AEF（如图5），求这个截面周长的最小值。

分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。

沿侧棱SA将三棱锥剪开，得侧面展开图（如图6），则求截面⊿AEF周长的最小值问题就转化为侧面展开图中求A、A1两点的最短连线段长的问题（解略）。

又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。

实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

3、割补转化

“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”

可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。如教材中斜棱柱侧面积公式的推导，就是通过割补法转化为直棱柱后进行的。

例6 如图7，三棱锥P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=n，PA/BC的公垂线ED=h，求证：三棱锥P-ABC的体积V=n2h/6.（1987年全国高考试题）

此题证法很多，下面用割补法证明如下：

分析一：如图7，连结AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴VP-ABC=VB-APD+VC-APD=BC·S⊿APD= 。

分析二：如图8，以三棱锥P-ABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄PB1C1-ABC，连结EC、EB，则易证AP⊥平面EBC，

∴V三棱拄=AP·S⊿EBC= n2h。

∴VP-ABC = V三棱拄 = 。

4、等积转化

“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”（或称等积变换）是以面积、体积（尤其是四面体的体积）作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

例7 如图9，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积。

略解：易证四边形EBFD1是菱形，连结A1C1、EC1、AC1、AD1，则VA1-EBFD1=2VA-EFD=2VF- A1ED1=

2VC1- A1ED1=2VE- A1C1D1=VA-A1C1D1=V正方体AC1=a3。

还有如92年高考的立体几何解答题，求线面距离，最好的方法就是通过转化为点面距离、再转化为三棱锥的高，最后利用等积转换而求出的，若用其他方法则较难。

5、抽象向具体转化

例8 A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是900、900、600。求球O夹在二面角B-AO-C间部分的体积。

分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师引导学生读题：条件即∠AOB=∠AOC=900，∠BOC=600，然后给出图形（如图10），则可想象此题意即为用刀沿600二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，（答：）。问题于是变得直观具体多了。

例9 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成600角，求此直线与另外一条直线所成的角。

分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是600、600、α，求α的大小。

根據长方体的性质，有COS2α+COS2600+COS2600=1，可求得α=450。

立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]霍益萍.研究性学习：实践与探索[M].南宁：广西教育出版社，2001.

[3]郑毓信.数学教育哲学[M].成都：四川教育出版社，2001.

[4]李尚志.中学生数学实验[J].数学通报，2005（7）

作者简介

吴清稚（1978-），女，重庆，毕业于四川师范大学，硕士，就职于四川省西昌市第一中学，现为中学一级数学教师。