高等数学解题中的“做实验”思想

许曼珊 黄健

摘 要：高等数学的解题与初等数学有很多差异，遇到一道没见过的高等数学题目出现无从下手的状况是一种常态。如何打破这种状态，为问题的解决提供思路是学生困惑的问题。“做实验”思想正是解决此问题的一个突破口，其中知识点发散和特殊值发散便是设计“实验方案”的有限途径。

关键词：高等数学；解题；“做实验”思想

“做实验”思想，即要尽可能多地设计出解题方案，通过一定的“实验”，多思路解决问题。这是一种发散思维的训练，具有“尽快联想，尽多作出假设和提出解题方案”的特点，是培养研究者创造性思维的突破口。那么在高等数学解题时，如何创造性使用“做实验”思维？笔者认为下面两个角度可作为“实验方案”设计切入口。

1 知识点发散

基于题目条件分析，尽可能多地联想与题目关键词相关的公式、定理或法则，逐一进行尝试。以下面例题说明：

例1 是否存在？若存在求出极限，否则给予证明。

从关键词入手可知，本题只涉及数列极限和余弦函数。

从求数列极限的方法来看，有单调有界定理、柯西收敛准则、迫敛性等均不能直接解决这个问题。那么考虑余弦函数的特征，搜索与余弦函数有关的公式，对其一一进行“实验”。

“做实验”：

我们试图从题目的关键词入手，从知识点展开联想，再逐一进行尝试，这就是设计“实验方案”的过程。

2 特殊值发散

通过特殊值寻求解题思路的方法很多人在高中数学解题上就已经有所运用，但是到了大学后，由于高等数学难度加大而且选择题急剧减少，使得很多人觉得特殊值已经无用武之地了。其实不然，虽然高等数学的题目无法直接利用特殊值得到最终证明或者求解答案，但是很多时候它仍可以为我们提供解题思路。一道题目的证明和求解并不能一蹴而就，我们需要去做一些“实验”。特殊值发散通常包括参数发散和函数发散，现在就参数发散来说明“实验”过程。

2.1 参数发散

从题目中的不定参数和函数特征入手，尝试特殊值，可以找到一些规律。尹景学教授在课堂上给过这样一个例子。

例3 设f（x）是[0，1]上的连续函数，试求积分

此题涉及到二重积分，一开始似乎无从下手，但仔细观察题目，发现其含有两个参数a、b，且函数 并无具体给出，因此我们可以通过假设一些特殊值来找到解题规律。

从这道题可以发现，再一些含有参数的高等数学题中，我们可以采取给参数赋值或者赋予特殊函数进行“实验”尝试，从中发现一些规律并以此寻找解题思路，制定一般情况下的解题方案。

利用知识点发散和特殊值发散进行“实验方案”设计，可以很好地帮助我们解决很多高等数学题目，甚至很多时候可以因此得到题目的一题多解。“做实验”思想重在强调联想、设计和尝试，可以在我们无从下手的时候提供灵感，可以在我们手足无措的时候提供机会。另外，对数学解题的研究，对我们发散性思维和创新性思维的培养都有着重要的作用，是一种值得提倡的思想方法。

参考文献

[1]毛琪莉. 高等数学发散思维培养新探[J]. 黄石理工学院学报，2012，02：63-66.

[2]庞桂琴. 关于数学思想方法对解题指导作用的教学尝试[J]. 中原职业技术教育，1996，01：53-55.

作者简介

许曼珊（1994-），女，汉，广东揭阳人，华南师范大学数学与应用数学（师范类）专业本科生。

黄健（1994-），男，汉，广东潮州人，华南师范大学数学与应用数学（师范類）专业本科生。