在活动中学习数学和发现数学本质

沈英

荷兰数学家弗赖登塔尔提出“学一个活动的最好方法就是做”。通过“做”让学生进行“再创造”，从而获得知识，形成素养。《数学课标》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验。”教师要以“课标”精神为指导，用活用好教材，让学生经历学习过程，在数学活动中操作、猜想、归纳分析，进行合情推理及进一步逻辑推理，进而实现知识的再创造。

《面积的意义》是第六册第八单元《长方形和正方形的面积》第一课时，属于概念课。教学时先认识物体表面的面积，再认识平面图形的面积，按照“物体（图形）有面—每个面都有其大小—面的大小是面积”这样的线索，引导学生逐渐体会面积的意义，分三个层次展开面积意义的教学。可让学生在动手操作、自主探索、游戏、竞猜中理解面积的意义，感悟数学本质。

例1：在动手操作中体验面积的意义

播放视频《我是一个粉刷匠》，动画中的小朋友粉刷了哪些地方？（墙面，屋顶等）出示一张桌子，桌子哪里还没有粉刷了？（桌面）谁愿意把桌面粉刷好？伸出小手，吹口气，把它当作刷子，粉刷桌面。

出示两块大小不一样的黑板：学校要粉刷两块黑板，请两位学生帮忙，要求刷得又好又快。分给每位同学一把刷子，用水代替油漆，请两位学生刷黑板。问其中慢的同学：怎么还没好呢？（这块黑板的面比那块的面大）看来，物体的面是有大有小的。

物体都有面，如果把刚才两个物体（长方体和圆柱体）的面画出来，就变成了熟悉的平面图形，这两个图形分别是正方形和圆形。那正方形和圆形有没有面积？面积在哪里？请学生用红笔涂出来。指出：图形周围白色的线是它的周长，图形里面红色部分是它的面积。

传统教学中，教师通常会让学生摸摸物体的面，但学生很难摸全面的大小。本次教学活动中，用“刷一刷面”代替“摸一摸面”，帮助学生建立面积的概念。一共安排了三次刷的教学活动，第一次先以桌面为研究对象，安排学生“粉刷”桌面，体会“面”在哪里，从而进行认识迁移，感悟生活中物体都有面。第二次，以黑板为研究对象，用刷子为黑板“粉刷”，通过比赛形式丰富教学活动，使学生体会到每个面都有其确定的大小。在此基础上，体会什么是黑板面的面积，什么是课本封面的面积，意义接受面积的概念，再让学生试着使用“面积”这个词语，描述黑板面与课本封面的大小关系。第三次，用彩笔描一描长方体和圆柱体的面，即正方形和圆形，再涂出它们的面积，感受平面图形一周边线所围成的面的大小就是平面图形的面积。这样安排可以轻松地将研究方向从生活中物体的面转换成平面图形的面，而且能帮助学生正确区分面积与周长这两个概念。

例2：在自主探索中掌握比较面积大小的方法

出示两个面积相差较大的平面图形，哪个图形的面积大？你怎么知道？指出：平面图形面积相差较大时，可以直接用眼睛观察。

出示两个面积差不多的平面图形，谁的面积比较大？同时出示两张纸：你有什么办法确保答案是正确的呢？学生说明用重叠的办法，请学生试一试。指出：当面积相差不大时，可以采用重叠的办法来比较面积大小。

出示两个长方形，其中一个3×3，一个2×5，哪个面积大？即使重叠，好像也不太确定，怎么办？讨论后引导学生动手试试。学生说明可以重叠后剪去多余部分，将多余部分再次重叠，如果有多余，重叠后再剪一剪，如此重复三次，最后发现2×5的长方形比3×3的正方形要多一个1×1的小正方形。教师追问：能用这个小正方形去量量刚才两个长方形中有多少个这样的小正方形吗？动画演示过程，形成网格。指出，数格是比较面积的一种新方法。

比较面积大小方法有多种，包括观察、重叠、数格等。其内在是否有联系？此环节一共组织学生进行了三次比较平面图形面积大小的教学活动：第一次，比较两个面积相差较大的图形，观察即可。第二次，形状、面积差不多的两个图形，可以重叠比较。第三次，面积差不多，形状不同的两个图形，可以重叠后剪多余部分，多次重叠后得到了一个小正方形，一个小正方形就是一个面积单位。然后，充分利用这个小正方形测量两个图形的面积，图形中有几个小正方形，面积就是几个单位，以此引出数格法。三次教学活动，由易到难，由简到繁，符合学生的认知规律，培养学生比较面积大小的多种技能，为面积单位埋下了伏笔，为长方形和正方形的面积计算孕育了思想。

例3：在竞猜中发现长方形面积大小与长、宽有关，出示下图，猜猜哪个面积最小？为什么？

学生猜了三次，每次都猜错。让学生反思：为什么只有第二个图形猜得出它的面积大小，而第一个和第三个的面积一直在变？因为第二个图形长有4格，宽有2格，面积始终是8格。而第一图，只知宽2格，而不知长几格，几个图长宽都不确定。总结：一个长方形，只有确定了它的长和宽，才能确定这个长方形的大小。长方形的面积大小与它的长、宽有关。

作为数格法的延伸，作为本节课的拓展，有意识地渗透长方形的面积大小与它的长和宽有关。通过游戏的形式，组织学生猜一猜哪个长方形面积最小？为什么？游戏一共进行了三次，每次学生都能猜对其中两个图形的面积大小。在认知冲突中总结反思，只有确定了长方形的长和宽，才能确定长方形的面积，即长方形的面积与长方形的长、宽有关。

总之，新课改带来了新的教学理念和教学方式，但是数学教学方法的变革不应被看成教学模式的简单化。无论教学方法如何改革，“有效的课堂数学活动”都应是衡量教学效果的唯一标准；“教师教得开心，学生学得愉快；课业负担减轻，学习质量提高”是我们始终的追求；“为学生未来发展奠定坚实的基础”则是我们教学的唯一宗旨。