由图结构确定的交换环研究

单金炘，王荣荣，王成敏

江南大学理学院，江苏无锡214125

由图结构确定的交换环研究

单金炘，王荣荣，王成敏

江南大学理学院，江苏无锡214125

针对由图结构所确定的交换环的代数结构、性质，本文深入讨论了无圈图（独点、星图、双星图）与交换环之间的对应关系，并确定了相应的交换环的代数结构及同构分类，同时对有圈图的图结构进行了刻画。结果表明：只有唯一条件符合时，环的零因子图才能确定，从而奠定完全图带一个角对应的交换环代数结构的理论与实践基础。

交换环；无圈图；代数结构

近年来，零因子图的研究在代数领域越来越受到学者的关注，主要研究内容：在一定的条件下，环与半群的代数性质、结构是否与其零因子图的性质、结构存在着关联关系。Yousefian在对半群的零因子图进行定义时，明确指出了关联条件：乘法交换半群S的元为0，且满足0S=｛0｝，其全体零因子的集合为Z（S），零因子图则为Γ（S），顶点集记为Z（S）*，设任意两个顶点为x，y，当出现条件xy=0且x≠y时，这两个顶点只有一条边相连［1］。若该乘法交换半群未包含不等于0的零因子，则其零因子图为空图。由于交换环的本身是元为0的乘法交换半群，所以也具备了相对应的零因子图。从两者的研究文献看，零因子图是因为交换环的研究需要而产生的，其染色素与团数的关系、图性质与环性质的关系，是该领域的主要研究方向。但是在早期，0也被定义为图的顶点，因此该点与其它的顶点存在相连关系。在后期的研究中，交换环的零因子图被重新定义，0不再作为图的顶点出现，这样对环的代数结构能够更好地进行刻画，这种新的定义被当前的学者普遍采纳。

下面给出一些相关的概念。首先是完全图的概念，即任何一组不同的顶点，都有一条简单的边进行连接所构成的图。基于同构原则，就算顶点有n个，其完全图也仅有一个（Kn），若一个完全图的顶点被分解为2个非空的子集x与y，两者的任何一个顶点都相互连接，该图则被称为完全二部图（K|X|，|Y|），当符合条件|X|=1时，该完全二部图则被称为星图（K|Y|）。两个星图的中心点被某一个图所连接，该图则被称为双星图。按照正常的图论，连接顶点x与y的边通常用x-y表示，但是在交换环中，该符号同时具备了减法的含义。为了区别交换环内本身的减法符号，在后面的研究中，连接顶点x与y的边用x-o y表示。此次所讨论的环R均是带有单位元的交换环（不一定是有限环），环R是图G对应的交换环。当G=Γ（R）时，若环R中没有非零的幂零元，则称R是reduced环。对于交换环R，用Z（R）表示R的全体零因子集合，环R的幂零根则用N（R）表示，特征用char（R）表示。

1　无圈图对应的环的代数结构

Lakos证明了无圈的零因子图为独点、星图及双星图［2］。关于无圈图与半群之间的对应关系的研究这方面已取得了很多成果，可参见文献［3-8］。然而，对于交换环这一方面却少有系统的研究，这部分主要讨论无圈图与交换环之间的对应关系。首先给出独点对应的交换环的代数结构，有如下结论：

定理1.1设R是交换环并满足|Z（R）|=2，则R≌Z4或者R≌Z2［x］/（x2）。

证明：不妨设Z（R）=｛0，x｝，其中x≠0，不难验证x2=0，由正合列0→A nn（x）→R→R x→0可得R/A nn（x）≌R x。

对于有限星图与交换环之间的对应关系，Qijiao等人进行了讨论，给出有限星图对应的交换环的代数结构［9］，即Γ（R）是有限星图当且仅当R同构于下列环之一：Z8，Z2［x］/（x3），Z4［x］/（2x，x2-2），Z9，Z3［x］/（x2），Z2×F

其中F是有限域。但是对于无限星图与交换环的对应关系，这方面的研究还比较少，特别是无限星图确定的交换环的代数结构至今仍然没有完全解决。下面直接从图的结构出发，采用代数与图论结合的方法讨论无限星图对应的环的代数结构、性质，证明思路是全新的。

定理1.2设交换环R无限星图的满足条件是Γ（R），则以下结论成立：

（1）如果R为reduced环，则R≌Z2×D，D为无限整环。

（2）如果R不是reduced环，则R/Z（R）≌Z2，并且R不是Artin环。char（R）=0，或者2，或者4。

证明：（l）当一个y∈Z（R）*已知时，且deg（y）=1的条件满足，R为reduced环，则A nn（y）=｛0，x｝，x作为Γ（R）的中心点，满足x≠y，因为不难验证x2=x，因此可以对R=R1⊕R2直和分解，在该等式中，R1=R x，R2=R（1-x），Γ（R）为无限星图，则R为无限环。在Ri中，无限环至少有一个存在，其中i的数值为1或2。设|R1|=∞，|R2|-1≤1，可以得出：|R2|=2。对R1为整环的证明如下：

首先反向证明，设R1非整环，在该假设中Γ（R1）≠0，如果r∈Z（R1）*的条件满足deg（r）≥2，则有2个不相等的点x、y存在，而Γ（R）的顶点集｛（x，0），（y，0）｝和｛（r，0），（r，1），（0，1）｝组成了K2，3，显然与Γ（R）为星图存在着矛盾，所以Γ（R1）应没有顶点度＞1的点存在，而且Γ（R1）为连通图，则deg（r）=1不难证明，但是跟Γ（R1）为无限图又有矛盾。

根据以上分析，无限整环D是存在的，且R≌Z2×D。

（2）反向证明R并非Artin环。设R是Artin环，若R为局部环，Z（R）=N（R）=｛0，x｝，Γ（R）为独点集，这与已存在的集矛盾，所以R并非局部环。对比（1）可知，R≌Z2×D，D为无限整环，这跟R不是reduced环互相矛盾。

（3）证明char（R）=0，2，4。首先要使char（R）=n＞0。由于N（R）=｛0，x｝，因此2x=0，根据以上条件可以推断出n为偶数，如果n为奇数，nx=0，2x=0，则得出x=0，这肯定不可能。所以n可以用以下等式表示：n=2ik，i≥1，k为奇数，根据已经推断出的n为偶数，则当n＜6的情况下，其数值必定为2，4。

下面给出无限星图对应的无限交换环的例子：

例1.1令R1=Z［x］/（2x，x2），R2=Z2［x，｛yi|i∈Λ｝］/（x2，｛xyi|i∈Λ｝），R3=Z4［｛xi|i∈Λ｝］/（｛2xi|i∈Λ｝）。Λ为无限集。Γ（Ri）是一个无限星图很容易验证。

接下来讨论双星图与交换环之间的对应关系，首先给出一个引理：

引理1.1设R是交换环，x-o y-o z是Γ（R）中长为2的道路。若x-o y-o z不包含在Γ（R）的任何圈中，则R/A nn（y）≌Z2。

证明：对于任意的r∈R，反设ry≠0，y，若ry=x，则x-o y-o z-o x是Γ（R）中长为3的圈，若ry≠x，则x-o y-o z-o x是Γ（R）中长为4的圈，与已知矛盾。考虑正合列0→A nn（y）→R→R y→0，有R/A nn（y）≌R y，因此R/A nn（y）≌Z2。

定理1.3设R是交换环满足Γ（R）是双星图，则R/A nn（y）≌Z2×Z4或者R/A nn（y）≌Z2×Z2［x］/（x2）。

证明：由于Γ（R）为双星图，所以有一条x-o y-o z-o w的道路存在，其长度为3，而Γ（R）内不存在圈，因此x-o y-o z和x-o z-o w都处于任何一个圈之外。由引理1.1可得R/A nn（y）≌R y≌Z2，R/A nn（z）≌R z≌Z2，因此A nn（y）与A nn（z）都是R的理想值，易知A nn（y）≠A nn（z），因此R=A nn（y）+ A nn（z）。

令J=A nn（y）∩A nn（z），可知J≠｛0｝，而y-o z在任何一个圈之外，因此J⊆｛0，y，z｝，如两者相等，可得y+z=0，即y与z互为倒数，因此A nn（y）=A nn（z），这与A nn（y）≠A nn（z）矛盾，因此J=｛0，y｝或者J=｛0，z｝。不妨设J=｛0，y｝，则y2=0，z2≠0，可以选择z2。为证明z2=z，首先假设z2≠z，如果z2=y，则得出yw=0，形成y-o z-o w-o y的三角形，显然不存在这种可能。所以z2≠y，同理可证z2≠w，而z2w=0=z2y，所以形成y-o z-o w-o z2-o y的四边形，与已知的条件存在矛盾，所以该假设不成立，从而反向证明出z2=z。在这种情况下，直和分解R=R z⊕R（1-z），可以选择R（1-z）。因为R/J≌R/A nn（y）×R/A nn（z），所以R/｛0，y｝≌Z2×Z2，且|R|=8。因为R（1-z）≌R/R z，得出|R（1-z）|=4，在基于同构原则的交换环中，只有Z4、Z2［x］/（x2）、Z2×Z2的阶为4，不难验证当R（1-z）≌Z2×Z2时，R≌Z2×Z2×Z2。此时Γ（R）不是双星图。因此R（1-z）≌Z4，或者R（1-z）≌Z2［x］/（x2）。此时，R同构于Z2×Z4，或者Z2×Z2［x］/（x2）。

到目前为止已完全解决了无圈图与交换环之间的对应关系。

2　有圈图对应的交换环

由于零因子图中有圈图的种类繁多，因此它与交换环之间的对应关系的研究也就比较复杂。在这部分主要讨论完全图带一个角对应的交换环的代数结构。首先给出交换环上有圈的零因子图的一个具体刻画：

命题2.1设R是交换环满足G=Γ（R）且K（G）≠0，则Γ（R）K（G）=｛x∈Z（R）*|A nn（x）=（0，y），其中y∈K（G）｝。在特别情况下，若Γ（R）K（G）≠0，则Γ（R）K（G）中的点都是离散的。

证明：令W=Γ（R）K（G）=｛x∈Z（R）*|A nn（x）=（0，y），其中y∈K（G）｝。易知对任意的x∈W，有deg（x）=1，故W∩K（G）=0，于是有W⊆Γ（R）K（G），下面证明Γ（R）K（G）⊆W：

首先证明对任意的x∈Γ（R）K（G），存在y∈K（G），使得xy=0。取x∈Γ（R）K（G），z∈K（G），有d（x，z）≤3。当d（x，z）=1时，结论显然成立。若d（x，z）=3，则存在x2，x3∈Z（R）*满足x-o x2-o x3-o z是Γ（R）中长为3的道路，由定理1.3可知｛x2，x3｝∈K（G）。若d（x，z）=2，则存在x2∈Z（R）*满足x-o x2-o z中长为2的道路，同理可知x2∈K（G），故对任意的x∈Γ（R）K（G），存在y∈K（G）使得xy=0，即x与y相连。因为x不属于集合K（G），所以｛x，y｝不是K（G）的子集。不难证明｛0，y｝⊆A nn（x）⊆｛0，x，y｝，则x+y∈A nn（x）→x+y=0→x=-y→x∈K（G），这与x不属于集合K（G）矛盾。故A nn（x）=｛0，y｝，这样就证明了Γ（R）K（G）⊆W，综上可得W=Γ（R）K（G）。

当Γ（R）K（G）≠0时，由上述的证明可知Γ（R）K（G）中的点只与K（G）中的点相邻，故Γ（R）K（G）中的点都是离散的。

由命题2.1的的证明思路，自然会想到这样的一个问题：完全图带一簇端点集是否是交换环的零因子图？下面将对这一问题进行讨论。

定义2.1完全图带一个角是指在完全图中的某一个顶点上添加若干端点，顶点与端点之间相连接所构成的图，记为K n⊙T，其中T是与完全图K n的一个项点相连的所有端点的集合。

显然，当n=1，2时，K n⊙T是星图。只有当n≥3时，K n⊙T才是有圈图。由于已经确定了与星图对应的有限交换环的代数结构，因此仅需要对n≥3的情况进行讨论。

定理2.1设R是交换环满足Z®=N（R）且Γ（R）=K n⊙T，则n=3，|T|≤4。

证明：显然Γ（R）是星图加细，不妨假设c是Γ（R）的中心。令I=V（K n）∪｛0｝，显然c∈I，易知R c=｛0，c｝，故c2=0。下面要证明IT⊆｛0，c｝。

事实上，若IT不是｛0，c｝的子集，则存在b∈V（K n）｛c｝，以及t∈T，在这种情况下，bt不属于集合｛0，c｝。易知bt∈V（K n），若bt=b，则1-t∈A nn（b）⊆A nn（c），再由ct=0可推出c=0，显然这是不可能的。故bt≠b，因为b+bt≠0，b，bt，所以b+bt∈V（K n），而且b（b+bt）=0=b·bt，所以可以推断出b2=0。根据以上分析，可以考虑选择bt2，利用前面类似的证明可得bt2≠0，b，bt，若bt2=c，那么（bt）2=b（bt2）=0=（bt）t2，由此可推出t2∈A nn（bt）A nn（b）=0，这显然也不可能。因此bt2≠0，c，b，bt，如果重复之前的讨论，得出互不相等的一组数列：b，bt，bt2，…btm，…，这与已知Z（R）中所有元素都是幂零元矛盾。因此IT⊆｛0，c｝，下面反设n≥4，T≠0或者n=3，|T|＞4。

若n＞4，T≠0，则至少存在三个互不相同的顶点a，b，d∈V（K n），满足等式成立条件ac=bc=dc=0。当t∈T时，ct=0，at=bt=dt=c，所以t（a-b）=0=t（a-d），得出a-b，a-d∈A nn（t）｛0｝⊆｛t，c｝，由于a-b≠a-d，可以设a-b=t，a-d=c，而且t（b-d）=0，a-b≠a-d=c，因此b-d=t，d-b =c，这显然是矛盾的。

若n=3，|T|＞4，不妨假设V（K n）=｛al，a2，c｝，并且至少存在5个互不相同的t1，t2，t3，t4，t5∈T，满足a1ti=c=a2ti，其中1≤i≤5，故t1-ti∈［A nn（a1）∩A nn（a2）］｛0｝⊆｛a1，a2，c｝，其中2≤i≤5。显然，对任意的i≠j，都有t1-ti≠t1-tj，这与｛t1-ti|2≤i≤5｝⊆｛a1，a2，c｝矛盾。

综上所述，仅当n=3，|T|＞4时，G=K n⊙T才是环的零因子图。G为有限图［10，11］，当|T|=1，2或者3时，K3⊙T都没有对应的交换环。只有当|T|=4时，K3⊙T才成为环的零因子图，其有限局部环互不同构：

Z2［x］/（x4），Z4［x］/（x2+2），Z4［x］/（x2+2x+2），Z4［x］/（x3-2，2x），Z16

为了读者的理解方便，定理3.1中的图结构如图1所示。

图1　图K3⊙T，其中|T|=4Fig.1 Figure K 3⊙T，where|T|=4

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Research on Commutative Ring Determined by the Graph Structure

SHAN Jin-xin，WANG Rong-rong，WANG Cheng-m in
SchoolofScience/Jiangnan University，Wuxi214122，China

This paper discussed the corresponding relationship between the acyclic graph（isolated vertex，star graph，double star graph）and commutative ring，in terms of the algebraic structures and properties of commutative ring determ ined by the graph structure.Italso confirmed corresponding commutative ring'salgebraic structuresw ith isomorphism classification and characterized the graph structure of cyclic graph.The result showed thatonly when the condition was achieved，zero-divisor graph of algebraic ring could be determ ined.Hence，it established the theoretical and practical foundation for the complete graphwith an anglewhichwas corresponding to algebraic structuresof commutative ring.

Commutative ring；acyclic graph；algebraic structure

G633.62

A

1000-2324（2016）04-0600-04

2014-03-11

2014-03-22

国家自然科学基金：两类码的最优性及组合编制研究（11471144）

单金炘（1989-），男，江苏无锡人，硕士研究生.研究方向：组合设计理论、图论等.E-mail：w cm@jiangnan.edu.cn