最优非负变权灰色非线性模型及桥梁变形预测

陈洋，文鸿雁，覃辉，杨志

（1.广西空间信息与测绘重点实验室，广西桂林 541004； 2.桂林理工大学测绘地理信息学院，广西桂林 541004；3.桂林理工大学广西矿冶与环境科学实验中心，广西桂林 541004）

最优非负变权灰色非线性模型及桥梁变形预测

陈洋1，2，3*，文鸿雁1，2，3，覃辉1，2，3，杨志1，2，3

（1.广西空间信息与测绘重点实验室，广西桂林 541004； 2.桂林理工大学测绘地理信息学院，广西桂林 541004；3.桂林理工大学广西矿冶与环境科学实验中心，广西桂林 541004）

针对灰色预测模型GM（1，1）拟合精度低的情况，创新性的提出GM（1，1）模型同正弦函数、余弦函数、指数函数和同常数相结合的灰色非线性模型，并给出模型解算和精度评定方法。在此基础上，根据变权原理又提出了最优非负变权灰色非线性模型解算思路。并用某桥梁变形监测工程实例进行验证。通过比较分析各模型精度发现：最优非负变权灰色非线性模型预测精度较GM（1，1）模型、灰色非线性模型得到一定程度的提高，可以应用于桥梁变形预测中。

GM（1，1）；灰色非线性模型；最优非负变权灰色非线性模型；桥梁变形预测

1　引 言

桥梁建设是国家重要的基础设施建设［1］。随着我国经济、社会以及科学技术的迅猛发展，我国对交通运输事业的需求也日益增长。桥梁工程是交通运输中的咽喉工程。桥梁变形监测是桥梁建造和安全运营当中的重要内容。研究表明，成桥后预警值的设定、损伤监测以及适时维修制度的建立，将有助于从根本上消除隐患以及避免灾难性事件的发生［2］。

桥梁规模大，工艺复杂，测量精度要求较高。在桥梁运营中，其受力和线形受到许多诸如气候，环境等因素的影响。而在实际计算中，往往忽视了这些因素，这就使得计算结果与实际情况有一定的偏差［3］。而灰色理论作为一种预测理论，它能深入挖掘桥梁变形内在信息，具有原理简单，要求的样本数据少，运用方便等独特优势，因此不少学者将灰色理论运用到桥梁变形预测分析当中［4］。然而，随着新材料新工艺的开发，致使超大跨度桥梁等现代化桥梁的建造成为可能，这就对桥梁预测精度提出了更高的要求。本文针对当前灰色预测模型GM（1，1）拟合精度低、残差大的劣势［4］，提出GM（1，1）同正弦函数、余弦函数、指数函数、常数进行组合的灰色非线性模型，并根据最小方差估计［5］提出最优非负变权灰色非线性模型，最后将各个模型应用到桥梁变形预测工程实例中。通过对比分析各模型精度，证实新算法在桥梁变形预测中是可行的，更具有优越性。

2　最优非负变权灰色非线性模型

2.1GM（1，1）模型

令原始数据列为:x（0）（k）=（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），对x（0）（k）作一次累加生成（1-AGO）［5］，得到数列x（1）（k）=（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中，k=1，2，…，n。用x（1）的紧邻均值生成均值序列z（1）=（z1（1），z1（2），…z1（n-1）），其中z1（k）=（x1（k）+x（1）（k+1））/2，k=1，2，…，n-1。

按GM（1，1）的定义，灰色微分方程为［6～8］:

在最小二乘原理准则下求出灰色微分方程系数a，b。

对x（1）求导，建立GM（1，1）预测模型的白化方程:

式中:a是发展系数，控制系统发展态势的大小；b为灰色作用量，反映数据的变化关系，对式（2）求一重积分，得GM（1，1）白化方程的时间响应式:

通过累减生成GM（1，1）预测值:

2.2灰色非线性组合模型

通过大量的实验发现，灰色模型方程解与原始数据的偏差在一定的范围内波动。但如果在白化方程的时间响应式（3）基础上加上某一个波动函数Cf（t，w）和一个常量C3，此时灰色非线性模型为:

其中，f（t，w）表示不同增减性质的函数。在这种情况下，灰色非线性模型将波动值加入到GM（1，1）模型当中，所以预测精度有望得到进一步提高。根据f （t，w）增减特性，本论文选取正弦函数，余弦函数，指数函数，和常数分别进行计算，主要模型公式如下:

灰色正弦模型:

灰色常数模型:

灰色余弦模型:

灰色指数模型:

（1）灰色非线性组合模型解算

①发展系数v的求解

为了使灰色非线性模型的解在GM（1，1）的解式（3）周围波动，并且不破坏灰色模型预测的完整性，本论文直接令GM（1，1）的发展系数a作为灰色非线性模型发展系数v。

②最佳适值W的求取

本文通过多次迭代求取最佳适值W。本运算是在MATLAB软件中完成，通过将周期函数w设定在某一范围内，使用for循环，以0.1或者更小的数为步长［9］，对于每一个不同的w0。有方程:

在最小二乘原理下求出方程系数C的值

则得到预测模型函数:

通过一次累减得到预测值，再计算预测值的后验比。不同的数值w0，对应不同的后验比，选取最小后验比所对应的数值，即为灰色非线性模型的周期函数解，根据需要依次计算出式（6），式（7），式（8），式（9）中的、后验比、和最佳预测值。

2.3后验比精度评定

令S1为原始数列｛x（0）（k）｝的均方差，而S2为残差序列｛△（k）｝的均方差。后验差比小误差概率表示P=P｛|△（k）-△|＜0.6745S1｝，即表示落在［△-0.6745S1，△+0.6745S1］的概率，模型精度等级= max｛P所在的级别，C所在的级别｝［2，6］

模型精度等级　表1

2.4最优非负变权灰色非线性模型

设某桥梁n期实测变形值为Yt，t=1，2…n，用以上4种预测模型对其进行预测，预测值为Yti，i=1，2，3，4，Yti表示第i种模型在t时刻的预测值。令［10］

设eti=（Yt-Yti）表示第i种单项灰色非线性模型在t时刻的预测误差，et为加权预测值在t时刻的预测误差，则

设f为最优非负可变加权系数的预测误差平方和，则以预测误差平方和最小为目标的函数方程为:

其中，式（17）和式（14）满足的条件相同，则在式（16）和式（17）条件下求得最优预测值。

3　工程实例对比与分析

某桥梁使用Trimble Di Ni03电子水准仪按国家二等水准要求进行变形观测。本论文以监测点37922D1连续11期桥墩垂直位移监测数据为例，观测周期为7天，进行模型论证。垂直位移量是指每次观测高程与第1次高程比较值，实测下沉数据为表2中的垂直位移量。实测下沉数据少，下沉比较平缓，符合GM（1，1）建模要求。但是，下沉数据并不是呈现指数增长趋势，所以使用GM（1，1）模型很难满足预测精度要求。笔者利用监测点前8期的数据分别来建立GM（1，1）模型、灰色非线性模型、最优非负变权灰色非线性模型，并进行后3期的预测，然后进行各模型精度的对比分析。

3.1GM（1，1）和最优非负变权灰色非线性模型比较分析

表2表示GM（1，1）和最优非负变权灰色非线性模型预测对比，而图1表示GM（1，1）和最优非负变权灰色非线性模型预测图像。

GM（1，1）和最优非负变权灰色非线性模型预测对比　表2

图1　GM（1，1）和最优非负变权灰色非线性模型预测数值比较

由表2可知，在数据平稳时，GM（1，1）和最优非负变权灰色非线性模型拟合精度都比较高。在GM（1，1）模型中，最大拟合残差为6.05×10-2mm，而最优非负变权灰色非线性模型拟合精度更高，最大拟合残差仅为1.14×10-2mm。但是在进行预测时，GM（1，1）预测精度明显开始下降，本次预测最大残差高达21.52× 10-2mm，因其残差太大而不能使用该模型。然而，最优非负变权灰色非线性模型在后期预测中仍然保持着较高的精度，最大残差为5.95×10-2mm。残差在误差允许范围内，可以使用。从预测曲线图（图1）可以看出最优非负变权灰色非线性模型预测值比GM（1，1）模型预测值较原始数据波动范围更小。

3.2各模型精度综合比较分析

表3表示各模型的拟合值平均残差，拟合值后验比和预测值平均残差等的比较。由表2可算出原始数据的标准差S1为11.86，根据各残差方差计算后验比。由表1可知当后验比小于0.35，且满足小概率发生事件，则模型等级为一级。

各模型精度综合比较　表3

图2是各灰色非线性模型预测值图。由图2和表3数据可知，GM（1，1）模型的拟合值和预测值与原始数据相差最大。其拟合平均残差为12.02%，只满足一般要求，而其预测残差高达21.52%，则不能进行使用。可以从残差图（图3）中得到进一步了解。而灰色非线性模型和最优非负变权灰色非线性模型却具有良好的预测效果，其拟合平均残差最大2.02，后验比最大为0.0455，最优非负变权灰色非线性模型预测平均残差仅为4.32%。在本次试验中的最优非负变权灰色非线性模型既保留了GM（1，1）的预测稳定性，同时还具有拟合精度和预测精度高等独特优势。其拟合值平均残差较GM（1，1）模型减小了7倍，而后验比大小减少了5.5倍，预测精度提高了5倍。所以在实际运用中，能够运用本试验中的最优非负组合模型来预测桥梁后几期数据的大小，或者设定预定值，估计沉降到预定值所需要用的时间。这就为了快速判断桥梁的安全状态，准确识别险情，保障桥梁安全施工与安全运营提供了理论基础。

图2　灰色非线性模型预测值对比

图3　各预测模型残差对比图

4　结 论

针对GM（1，1）模型拟合精度和预测精度不高的情况，本文提出了灰色非线性模型和最优非负变权灰色非线性模型的算法。并以某桥梁变形数据为例，进行了试验验证。通过工程实例对比分析得出如下结论:

（1）变形是自然界普遍存在的现象。将灰色理论运用于桥梁变形监测当中，能够得到挖掘变形数据中潜在的某种规律，为桥梁变形监测提供理论基础。

（2）灰色非线性模型与GM（1，1）模型相比，灰色非线性模型能够有效地减小平均残差大小，拟合曲线与原始数据曲线更加逼近，预测值具有更高的可信度。

（3）从预测值精度的角度看，最优非负变权灰色非线性模型相对GM（1，1）、灰色非线性模型拥有最高的精度，它既有GM（1，1）模型能够挖掘数据中潜在规律的优势，同时又拥有了灰色非线性模型拟合精度高的特点，因此可以运用于桥梁变形预测工程实际当中。

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The Optimal Non-negative Variable Weight-grey Nonlinear Model and Bridge Deformation Prediction

Chen Yang1，2，3，Wen Hongyan1，2，3，Qin Hui1，2，3，Yang Zhi1，2，3
（1.Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics，Guilin 541004，China； 2.College of Geomatics and Geoinformation，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China； 3.Guangxi Scientific Experiment Center of Mining，Metallurgy and Environment，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

The GM（1，1）model fitting precision in some case is low，so this paper put forward the grey nonlinear model which combined GM（1，1）with sine function，cosine function，exponential function and constant.the accuracy evaluation method also given by this paper.On this basis，the optimal non-negative variable weight combination model and it's calculating way have been proposed according to the principle of variable weight.The project of bridge deformation monitoring is used to verify the feasibility of the model.By comparing the precision，we found that the optimal non-negative variable weight combination forecasting accuracy is higher than GM（1，1）model and the grey nonlinear model. Therefore，we can apply the optimal non-negative variable weight combination model to the bridge deformation prediction.

GM（1，1）；the grey non-linear models；the optimal non-negative variable weight combination model；the bridge deformation prediction

1672-8262（2016）04-126-05

TU196，P258

A

2016—05—07

陈洋（1991—），男，硕士研究生，主要从事精密工程测量与变形监测数据处理及变形数据处理理论优化研究。

国家自然科学基金项目（41461089），广西“八桂学者”岗位专项经费资助项目，广西空间信息与测绘重点实验室资助课题（桂科能151400702，140452402）；广西矿冶与环境科学实验中心资助课题（KH2012ZD004）；广西研究生教育创新计划项目（YCSZ2014151，YCSZ2012083）；广西自然科学基金项目（2014GXNSFAA118288）。