基于弹性动力学的制动夹钳结构刚度设计

曾梁彬　金　璟

（中车戚墅堰机车车辆工艺研究所有限公司，常州 213000）

基于弹性动力学的制动夹钳结构刚度设计

曾梁彬金璟

（中车戚墅堰机车车辆工艺研究所有限公司，常州 213000）

针对制动夹钳结构刚度的设计，利用弹性动力学方法建立了一个6单元21自由度的有限元分析模型，通过求解系统运动微分方程，研究制动夹钳各部分结构对系统整体刚度的影响情况，以期为夹钳本体的结构设计提供理论依据。

制动夹钳 结构刚度 弹性动力学

1　引言

制动系统作为动车组九大关键技术之一，其性能直接影响列车运行的安全。对于基础制动装置中的制动夹钳而言，若其结构刚度设计不足，将可能导致多方面的功能性与安全性问题。一方面可能引起夹紧力曲线出现迟滞；另一方面，在高制动载荷状态下，制动缸间隙调整机构的端齿配合可能会出现“跳齿”现象，使得缓解后盘片间隙减小。此外，过大的结构形变也会造成关键承载件的疲劳寿命缩短。

针对上述问题，本文利用弹性动力学方法，研究制动夹钳本体关键承载件的结构设计对整体刚性的影响，并对其截面设计提供理论依据。

2　弹性动力学建模

2.1制动夹钳简化模型

图1所示为动车组用三点吊挂制动夹钳单元的一般结构，主要由夹钳本体和制动缸两部分组成。其中，夹钳本体中最主要的承载构件为吊架和杠杆。因此，本文的结构刚度设计重点围绕杠杆和吊架展开。

图1　制动夹钳单元

本文采用有限元模型来简化杠杆吊架连续体模型。根据文献[1]对单元长度的规定，将杠杆和吊架用2个单元来模拟，以保证较小的计算误差。整个制动夹钳杠杆吊架模型可简化为一个6单元7节点的有限元模型，如图2所示。

图2　制动夹钳杠杆吊架简化有限元模型

2.2系统运动微分方程

2.2.1梁单元及单元广义坐标

根据制动夹钳结构特点，采用等截面直线梁单元来模拟杠杆和吊架各部分结构[2]。梁单元模型及各坐标系如图3所示。

图3　梁单元模型及坐标关系

梁单元上任意点纵向（x方向）和横向（y方向）位移分别用W（,t）和V（,t）表示

设u1（t）、u5（t）分别为节点A、B的纵向位移；u2（t）、u6（t）分别为节点A、B的横向位移；u3（t）、u7（t）分别为节点A、B的弹性转角；u4（t）、u8（t）分别为节点A、B的曲率。

于是，梁单元的单元广义坐标向量为

其边界条件为

将式（3）代入式（1），于是

通过坐标变换可将绝对参考坐标系下的绝对速度和加速度表示为旋转坐标系下的形式，坐标变换如下：

进而得到的速度和加速度关系为

2.2.2单元运动微分方程

梁单元能量主要包括动能与弹性变形能两部分。单元动能可写为

单元变形能可写为

其中，

将式（18）代入式（17）得到

梁单元的拉格朗日方程可写为

将式（19）对iu˙求导得到

将式（22）-（24）代入（21），并写成矩阵形式

考虑式（12），则上式可改写为

由此，得到旋转坐标系下的单元运动微分方程。

以A点和B点为原点，分别建立平动坐标系A-ξAηA和B-ξBηB。设平动坐标系下的单元广义坐标列阵为

则平动坐标系下的单元广义坐标Ue与旋转坐标系下广义坐标u之间关系为

其中，R为坐标转换矩阵

将式（26）左乘RT得到

其中，m和k分别为单元当量质量矩阵和单元当量刚度矩阵。

f为对应于广义坐标Ue的广义力列阵，其形式为

2.2.3系统运动微分方程

以制动夹钳单元的实际工况作为边界条件，将简化模型设置为一个6单元7节点21自由度的有限元模型（自由度设置规则详见文献[3]）。各单元节点自由度设置及广义坐标编号如图2和表1所示。

表1　各单元节点自由度与广义坐标编号

根据表1即可写出系统的模型组成矩阵Iu。引入单元坐标协调矩阵Bi（i=1, 2, ..., 6），其形式为

进一步可获得

其中，

将所有单元在广义坐标系下的运动方程累加起来，即可得到系统的运动微分方程

其中，M、K和F分别为系统质量矩阵、系统刚度矩阵和系统广义力列阵。若考虑阻尼，则系统运动微分方程为

3　动态响应求解

3.1固有频率求解

制动夹钳简化模型的无阻尼自由振动方程为

其解为

其中，A为振幅列阵；ω为系统固有圆频率；α为初始相位角。将式（45）代入（44），得到

求解上式即可获得系统各阶固有频率。

3.2动态响应求解

3.2.1方程解耦

通过式（46）（47）可以得到系统的n个固有频率和相应的主振型Ar（r=1, 2, ..., n）。设称为正则化因子；φr称为第r阶正则振型且满足以下条件其中，

对n阶主振型均进行正则化处理后构成正则振型矩阵Φ

利用正则振型矩阵，则有

各阶正则振型矢量φ1,φ2,...,φn线性无关，可以作为n维线性空间的一组基底。将系统广义坐标矢量U表示为

其中

系统无阻尼自由振动方程即可转变为

因此，式（54）可以展开为n个互不耦合的独立方程

3.2.2正则振型阻尼假定

将阻尼矩阵假定为系统质量矩阵和刚度矩阵的线性组合

式中的α和β为常数。设

其中ζ1,ζ2,...,ζn称为振型阻尼比。则系统自由振动方程转化为

在阻尼比较小的情况下（0≤ζi≤0.2），采用该振型阻尼假设时分析产生的误差较小。本文取各阶正则阻尼比均为0.05。

3.2.3广义力矩阵定义

制动夹钳主要承受来自制动缸的推力，其作用在两侧杠杆后端。在简化模型中，制动缸推力施加在广义坐标u16和u19上。考虑广义力列阵F后，可得到正则化后的系统有阻尼受迫振动方程

其中

4　制动夹钳刚度设计算例

由于制动夹钳主要变形集中在杠杆后半部分，所以本文采用杠杆后端节点的位移来衡量制动夹钳整体结构刚度，即广义坐标u16和u19。

以某制动夹钳结构为例，材料为QT600-7，密度7120kg/m3，弹性模量169GPa。各单元的长度、截面积与惯性矩见表2。将各参数代入上述模型，设制动缸推力10kN，可以计算得到广义坐标u16和u19处的位移约为1.057mm。

表2　各单元结构参数

分别以单元1和2、单元3和4、单元5和6的截面惯性矩为变量，得到各单元截面惯性矩对最大变形量的敏感度，如图4所示。

图4　各单元界面惯性矩对最大变形的影响

从图4中可以看出，单元5和6对最大变形的敏感度最高，其次为单元1和2，单元3和4最低。由此可知，增大杠杆后半部分的截面惯性矩对改善夹钳整体刚性和降低变形效果最为明显。

5　结论

（1）文中采用等截面直线梁单元对制动夹钳关键承载件进行模拟，建立了系统运动微分方程，能够直接获得外部载荷与结构变形之间的关系。

（2）通过算例，对比制动夹钳各部分结构对整体结构刚度的影响。其中，通过增大杠杆后半部分的截面惯性矩对改善整体结构刚度效果最明显。因此，结构设计中可优先对该部分进行优化。

（3）文中所采用的6单元21自由度简化模型，能够用于指导对吊架、左右杠杆前半部和后半部进行等截面设计。利用相同方法将夹钳本体进一步拓展为多单元多自由度模型，则能够对变截面杠杆吊架的结构设计提供理论依据。

[1]王生泽，廖道训.高速平面连杆机构弹性变形及动应力的有限元分析[J].华中理工大学学报，1988，（3）：115-122.

[2]张策.机构动力学[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]曾梁彬.新型肘杆式高速压力机关键技术研究[D].南京：南京理工大学，2012.

Structural Stiffness Design of Brake Caliper Bas ed on Elasto-Dynamic Analysis

ZENG Liangbin,JIN Jing
(CRRC Qishuyan Institute Co.,Ltd, Changzhou 213000)

A FE A model with 6 e lements a nd 21 DOFs, which was established by elasto-dynamic method, was introduced into structural s tiffness design of brake caliper. By s olving the system’s differential equation of motion, the influences of different parts of brake caliper on the structural stiffness of system were inves tigated, which will provide a theoretical basis for the structure design of brake caliper.

Brake caliper, Structural stiffness, Elastodynamic analysis