浸没圆柱壳低频自振频率计算中流固与声固耦合模型统一性分析

杨国栋，李天匀，朱翔，郭文杰

1华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉4300742船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，湖北武汉430074

浸没圆柱壳低频自振频率计算中流固与声固耦合模型统一性分析

杨国栋1，2，李天匀1，2，朱翔1，2，郭文杰1，2

1华中科技大学船舶与海洋工程学院，湖北武汉430074
2船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，湖北武汉430074

流固耦合与声固耦合模型是分析流场中圆柱壳自振特性的常用理论模型。现有的研究表明，基于这2种理论模型的流场中圆柱壳低频自振特性计算结果吻合较好，但尚未有关于二者本质联系方面的研究。分别基于这2种理论模型求解浸没圆柱壳的自由振动，基于圆柱壳自由振动的Flügge方程进行相关公式的推导，并提出利用Galerkin法求解特征方程的方法。结果显示，采用该方法既可求得各阶模态固有频率的精确解，又能显著提高运算效率。对2种理论模型进行统一性分析，从贝塞尔函数的性质出发，证实流固与声固耦合模型虽然是基于不同的理论基础，但在求解浸没圆柱壳低频自振特性上其本质上是一致的，且通过算例的对比，证明2种模型在低频段计算结果吻合较好。

圆柱壳；自由振动；固有频率；流固耦合；声固耦合

网络出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20160729.0945.024.html期刊网址：www.ship-research.com

引用格式：杨国栋，李天匀，朱翔，等.浸没圆柱壳低频自振频率计算中流固与声固耦合模型统一性分析［J］.中国舰船研究，2016，11（4）：87-92.

YANG Guodong，LI Tianyun，ZHU Xiang，et al.Unity analysis of the fluid-structure coupling model and the acoustic-structure coupling model in the natural frequency calculation of a submerged cylindrical shel［lJ］.Chinese Journal of Ship Research，2016，11（4）：87-92.

0　引　言

圆柱壳属工程应用中的一个经典结构，被广泛应用于船舶领域。潜艇主体及双体船片体的主要部分均为典型的水下圆柱壳结构。国内外学者已对浸没圆柱壳的振动特性进行了大量研究，而如何考虑水的影响则是研究圆柱壳耦合振动特性的一个关键问题。目前，最常使用的模型是流固耦合模型和声固耦合模型。

流固耦合模型将流体考虑为不可压缩理想流体，流场使用拉普拉斯方程描述，流体对耦合系统中结构的影响通过附连水质量计入。雷国璞［1］对充液圆柱壳的自由振动进行分析，探讨了流体质量、速度与静压力对自由振动频率的影响，并与Yamaki等［2］基于声固耦合模型的算例数据进行了对比，结果吻合较好。刘忠族等［3］研究了无限长圆柱壳附连水质量与湿模态之间的关系。Kwak［4］基于势流理论，将附连水质量以矩阵形式加入圆柱壳的自由振动方程中，研究了浸没圆柱壳的自由振动。

声固耦合模型则将流体视为可压缩声介质，声场满足Helmholtz波动方程，流体对结构的影响表现为作用在结构壁面的声压动载荷。基于耦合系统的声振方程，Zhang等［5］运用波传播法研究了充液圆柱壳的自振特性。李天匀等［6］研究了流体静压对圆柱壳流场耦合系统固有频率的影响，发现静水压力使充液圆柱壳的固有频率升高，而使浸没于水中圆柱壳的固有频率降低。叶文兵［7］研究了部分浸没及有限浸没深度下圆柱壳的声振特性，系统地讨论了自由液面及刚性壁面对水下圆柱壳声振特性的影响。

虽然对于同一物理对象，基于2种模型的固有频率计算结果吻合较好，但一直缺乏有关二者本质联系方面的研究。本文拟通过基于流固与声固耦合模型的浸没圆柱壳固有频率表达式的分析，从贝塞尔函数的性质出发，证实二者虽基于不同的理论基础，但在求解浸没圆柱壳低频自振特性时本质上是一致的。

1　研究对象

考虑浸没于水中的流场—圆柱壳耦合系统。设壳体厚度为h，中面半径为R，材料密度为 ρs，弹性模量为E，泊松比为 μ。流体密度为 ρf，声传播速度为Cf，流场为由理想流体组成的静止流场。用x，θ和r分别表示壳体的轴向、周向和径向，u，v和w分别表示壳体中面轴向、中面周向和径向位移。圆柱壳的坐标系与周向模态数n如图1所示。

图1　圆柱壳坐标系和周向模态Fig.1　Coordinate system and circumferential modes of cylindrical shell

2　理论模型

2.1壳体的振动方程

由壳体几何方程、物理方程、壳体内力及内力矩的平衡方程，可得到矩阵形式的圆柱壳自由振动Flügge方程［8］

式中：Pf为流体动载荷，但其在流固耦合模型与声固耦合模型中的表达式不同，为区别起见，设Pf 1为流固耦合模型中的流体动压力，Pf 2为对应的声固耦合模型中的声压力；，其中：

式中，K=h2/12R2。其余元素可依据对称性得到。

对式（1）进行简化后，可得到如下方程：

由于流体动载荷只考虑由径向位移带来的影响，故求解式（2）的本质问题就是如何确定径向位移的形式。对于薄壁长圆柱壳体，通常以欧拉梁模型来假设径向位移，然后代入本构方程（2）中，最后，通过采用Galerkin法消除残差。

对于任意边界条件，径向位移可以设为

式中：ω为圆频率，rad/s；km为轴向波数；m为轴向模态阶数；Cmn为广义幅值；H（kmx）为梁挠度函数。对于任意边界条件，梁挠度函数可取为［9］

式中，C1，C2，C3和C4为由边界条件决定的待定系数。

由于三角函数和双曲函数求二阶导后有正、负号差异，故设

其中：

2.2流固耦合模型的运动方程

在流固耦合求解过程中，通常将液体看作是不可压缩的理想流体。由此，可以引入速度势函数ϕ（x,r,θ,t），柱坐标系下流体的拉普拉斯方程为［10］

在流体与壳体的接触面上，流体径向位移必须等于壳体的径向位移，即

由伯努利方程，可得到壁面处流体动压力为

无穷远处流场边界条件为

采用分离变量法求解拉普拉斯方程，考虑径向位移如式（3）所示形式，速度势函数的表达式为

将式（10）代入式（6）中，可以得到：

式（11）和式（12）有通解：

式中：In（）为n阶第1类变型贝塞尔函数；Kn（）为n阶第2类变型贝塞尔函数；Jn（）为n阶第1类贝塞尔函数；（）为n阶第2类汉克尔函数。由式（9），可以得到A1=A3=0，从而得到

将式（3）和式（15）代入式（8）可以解得系数A2和A4，代入式（7）可最终得到流体动载荷的解析表达式

按照流固耦合方法，可从耦合系统机械能守恒的角度推导出附连水质量表达式，其中，式（16）即为出发点。由于本文要揭示2种耦合模型的本质关系，而2种模型均存在流体动载荷的表达式，因此，可只对式（16）进行深入研究，以揭示问题的本质。

2.3声固耦合模型的运动方程

在声固耦合求解过程中，流体是可压缩的理想流体，存在纵波，Pf 2为作用于壳壁上的流体声压力。

柱坐标系下理想流体的Helmholtz波动方程为［11］无穷远处声场边界条件为

在流体与壳体的接触面上，流体径向位移必须等于壳体的径向位移，即

对于声压场，用分离变量法求解Helmholtz方程，声压场有如下形式的解：

将式（20）代入式（17），再由式（18）和式（19），可以得到针对每一个（m，n）的声压动载荷式中，。当km＞ω/Cf时，，Zn（）取为n阶第2类变型贝塞尔函数；当km＜ω/Cf时，，Zn（）取为n阶第2类汉克尔函数。

3　统一性分析

3.1数学简化

当结构的抗弯刚度相对于流体的压缩刚度比较大，即流体中的压缩波数相对于轴向弯曲波数较小时，可以忽略流体的压缩性，流体对结构的影响表现为附加质量效应［1］。但对于长度与半径较大的圆柱壳，其抗弯刚度很小，即使频率很低，通常压缩波数相比于轴向波数也不能被忽略。由前文的分析可以看出，在求解浸没圆柱壳的自振特性时，流体压缩性的影响体现在流体动压力项。

在流固耦合模型中，流体压力实际包含流体静压力与动压力。由式（7）可知，通过对速度势函数偏导，所得的Pf 1为流体动压力，不包含流体静压力；对于声固耦合系统，声压Pf 2即为动压力。观察式（16）和式（21）可发现，Pf 1与Pf 2的差别在于贝塞尔函数形式及无量纲波数kmR，R，kr2R的不同。由于细长圆柱壳的长度与半径之比较大，对于低频振动，无量纲波数kmR，R和R均为较小的数，根据贝塞尔函数的性质［12］，当x为小量时：

式中，Γ（n）为伽马函数，对于正整数 n，有Γ（n）=（n-1）！。

由式（22）和式（23），可以得到

则式（16）和式（21）可统一简化为

3.2物理解释

式（25）为从数学角度得出的求解低频振动时Pf 1和 Pf 2的统一简化形式，为解释其物理含义，考虑一个无限长浸没圆柱壳，其径向位移可设为

流固耦合模型下，速度势函数的表达式设为

将式（26）和式（27）分别代入式（6）～式（9），可以求得基于流固耦合模型的流体动载荷为

以平面x=±πR截取圆柱壳，得到空间流体域为Ω、长度为2πR的壳体，并考虑流固界面及无穷远处流体边界条件，可以得到Ω内流体的动能

以上2种流体动能的表达方式是等效的，即T=T′，分别将式（25）和式（28）代入上式，可得

式中，s为流固交界面。

设圆柱壳表面单位面积的附连水质量为σf，且假定其沿圆柱壳的表面均匀分布，则Ω内流体的动能又可以表示为

由式（31）可以看出，流体动压力 Pf 1和声压力Pf 2可以简化为Pf 3的形式，实质上就是，在计算浸没圆柱壳低频自振特性时，流体对壳体振动的影响可以退化为只与流体密度、圆柱壳半径以及周向模态数n有关的附连水质量的影响，且圆柱壳表面单位面积的附连水质量与同等半径的无限长浸没圆柱壳的附连水质量相同。

4　数值计算

4.1固有频率的求解

对于简支边界条件，假设径向位移函数同时满足边界条件及控制方程，便可直接求解。对于固支、自由等边界条件，径向位移函数仅满足边界条件，不满足控制方程（1），因此，针对上述模型利用Galerkin法求解其固有频率，其中残值函数与权函数的选取如下。

权函数：

残值函数：

加权残值的积分过程如下：

积分后，可得到任意模态下固有频率的方程Fmn（ω）=0，用Matlab编程，便可很快求得固有频率值。

4.2算例分析

选取壳长L=20 m，半径R=1.0 m，壳厚h= 0.01 m的圆柱壳作为计算对象。壳体材料为钢，弹性模量E=2.1×1011N/m2，泊松比 μ=0.3，密度ρs=7 850 kg/m3。流体纵波传播速度Cf=1 500 m/s，密度 ρf=1 000 kg/m3。计算时，边界条件为圆柱壳两端固支，当水深不大时，可不考虑流体静压力。

此时，设梁挠度函数

可求得每个m对应的km和γm。

基于流固耦合模型和声固耦合模型，计算m= 1，2，3，4以及n取1～10时浸没固支圆柱壳的各阶固有频率，如图2所示。

图2　各阶模态的固有频率Fig.2　Natural frequencies of different modes

从图中可以看出，基于流固耦合模型和声固耦合模型求出的各阶模态固有频率点均吻合较好，说明流固耦合模型与声固耦合模型虽然是基于不同的理论基础，但在低频范围内其计算结果是吻合的。

表1列出了基于流固耦合模型、声固耦合模型计算的结果与文献［13］中数据的对比。

由表中基于流固耦合模型与声固耦合模型求得的固有频率值的对比来看，数据吻合较好，且与文献［13］中的数据吻合也较好，证明本文的计算方法是准确的。

依照前文对2种理论模型统一性的分析，使用简化的动压力表达式（25），求得各阶模态的固有频率如表2所示。

从表2与表1中数据的对比可以看出，采用简化算法计算出的固有频率值与基于流固耦合模型及声固耦合模型求得的固有频率值吻合较好，说明这种对流体动压力的简化形式是合理的，同时也证实在求解浸没圆柱壳低频自振特性时，流固耦合模型与声固耦合模型在本质上是一致的。

表1　两端固支浸没柱壳固有频率Tab.1　Natural frequencies of clamped-clamped submerged cylindrical shell

表2　简化算法求得固有频率Tab.2　Natural frequencies calculated using simplified algorithm

5　结　语

本文分别基于流固耦合模型和声固耦合模型分析了浸没圆柱壳的低频自振特性，这2种理论模型的差别主要体现在流体对圆柱壳的动载荷项，但对于求解低频振动，无量纲波数kmR，R 和R均是较小的数。根据贝塞尔函数的性质，流固耦合模型及声固耦合模型中流体对结构的动载荷均可退化成统一的型式，2种方法实际在求解浸没圆柱壳的低频自振特性时具有一致性。本文的工作不仅从理论上证明了二者的统一性，同时也可为研究者选择分析模型提供有益的参考。

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Unity analysis of the fluid-structure coupling model and the acoustic-structure coupling model in the natural frequency calculation of a submerged cylindrical shell

YANG Guodong1，2，LI Tianyun1，2，ZHU Xiang1，2，GUO Wenjie1，2
1 School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China
2 Hubei Key Laboratory of Naval Architecture and Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China

The fluid-structure interaction model and the acoustic-structure interaction model are two commonly-used theoretical models to analyze free vibration characteristics of submerged cylindrical shells.It has already been confirmed that the results are consistent when dealing with low-frequency free vibration problems，but no study was conducted to explain the cause behind.In this paper，free vibration characteristics of a submerged cylindrical shell are investigated based on both the fluid-structure interaction model and the acoustic-structure interaction model.According to Flügge theory，free vibration equations are established as well as related formulas.In order to apply the Galerkin method to solve the characteristic equations，the accurate data of natural frequencies of the system is first obtained，and the calculation efficiency is improved.Consistency analysis of the two theoretical models is also carried out based on the characters of the Bessel function，which indicates that the nature and the calculation samples of the two models are indeed consistent when dealing low-frequency free vibration problems，though the two methods which are based on different theories.

cylindrical shell；free vibration；natural frequency；fluid-structure interaction；acoustic-structure interaction

U661.44

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2016.04.013

2015-10-21网络出版时间：2016-7-29 9:45

国家自然科学基金资助项目（51379083，51479079，51579109）；高等学校博士学科点专项科研基金资助项目（20120142110051）

杨国栋，男，1992年生，硕士生。研究方向：结构振动噪声分析，机械结构静、动力学仿真

分析。E-mail：yanghust92@foxmail.com

李天匀（通信作者），男，1969年生，博士，教授。研究方向：船舶与海洋工程结构力学，结构振动与噪声控制。E-mail：ltyz801@hust.edu.cn