基于最大熵原理的有极分子电介质极化研究

田宝国　曲亮生　王　栋

(海军航空工程学院基础部，山东 烟台　264001)



基于最大熵原理的有极分子电介质极化研究

田宝国曲亮生王栋

(海军航空工程学院基础部，山东 烟台264001)

本文从最大熵原理出发，研究了有极分子电介质的极化规律.结果表明，有极分子电介质的电极化强度与电场强度并非遵从严格的线性关系，只是当电场不很强时，电极化强度与电场强度近似成正比，而当电场强度非常大时，电极化强度将趋于定值.利用该原理同样可以研究无极分子电介质的极化问题.

熵；最大熵原理；电介质极化；有极分子

熵概念作为描述热力学系统的态函数，最早是由克劳修斯于1865年提出的，并可用之定量解释热力学第二定律.1877年，玻耳兹曼给出了熵的微观意义(统计解释)，把熵概念与宏观系统所包含的热力学概率联系起来[1].1948年，Shannon提出了信息熵的概念，用熵概念来描述信息量的获得[2].1958年，科尔莫戈罗夫发展了熵的概念，作为不确定性的数学度量，将其引入到非线性动力学中[3].目前，熵的概念在物理、化学、经济、信息科学等自然科学以及工程技术等许多领域都得到了广泛的应用，甚至被推广到社会科学中[4-8].在文献[6]中，作者用最大熵原理研究了电介质的极化问题，但文中分子的能量只考虑了分子在电场中所具有的电势能.本文在考虑有极分子转动动能的情况下继续进一步深入研究.

1　熵及最大熵原理

在统计物理学中，熵是分子运动无序程度的度量，熵值越大，分子运动无序程度越高；熵值越小，分子运动无序程度越低.而在熵的一般化定义中，熵是系统状态分布的一种量度.本文考虑系统状态可连续取值的情况，设系统某状态变量取值的概率密度为f(x)，则熵定义为S=-k∫f(x)lnf(x)dx

(1)

(2)

最大熵原理是1957年由E.T.Jaynes提出的[9]，原理的基本内容可以表述为：一个宏观系统的熵在一组约束条件下将趋于最大值.按照此原理，对于一个宏观系统，如果选择合适的约束条件，然后计算其熵在此约束条件下的极大值，就可以求出该系统的微观状态的概率分布.这样就把求系统的分布问题转变为数学上求一定约束条件下的极值问题.因此其在物理、化学、交通甚至社会科学等很多领域都得到了广泛应用.本文采用此原理研究有极分子电介质的极化问题.在统计物理教材中，有极分子电介质的极化问题通常采用玻耳兹曼分布理论或系综理论解决，但是这两个理论都是针对平衡态问题，而最大熵原理作为确定系统分布的重要方法，不仅适用于处理平衡态问题，同样也适用于处理非平衡定态问题，所以采用此原理研究电介质极化问题更具有一般性，结果也更丰富.

2　有极分子电介质的极化研究

电介质也称为绝缘体，其内部几乎不存在自由电荷.如果把电介质放在电场中，它的表面或内部将出现束缚电荷，也称为极化电荷；电介质在电场中出现极化电荷的现象，称为电介质的极化.按照电介质极化的微观机理解释，每个分子所有负电荷对外影响均可等效为单独一个静止负电荷的作用，这个等效负电荷的作用位置称为分子的“负电作用中心”.同理，分子中所有正电荷对外影响也可等效为一个正电荷的作用，其作用位置称为分子的“正电作用中心”.根据正负电荷“中心”位置的相互关系可以把电介质分为两类：一类电介质分子的正负电荷“中心”重合，这类分子叫做无极分子，由无极分子组成的电介质称为无极分子电介质；另一类电介质分子的正负电荷“中心”不重合，而是形成一定的电偶极矩，这类分子称为有极分子，由有极分子构成的电介质称为有极分子电介质.

有极分子电介质中的每一个分子虽然都具有一个固有电矩，但由于分子的无规则热运动，在没有外场时，电介质中所有分子的固有电矩的矢量和为零，宏观上不产生电效应.若加上电场，则在电场力的作用下，电介质分子的固有电矩将倾向于转向电场方向，于是各分子电矩的矢量和不再是零，宏观上表现为在电介质表面或内部出现了极化电荷，这种现象称为有极分子电介质的取向极化现象.在有极分子电介质中，除发生取向极化外，还会发生位移极化，但是由于取向极化比位移极化效应要大得多，所以一般不考虑位移极化，因此可以认为分子的电偶极矩大小不随电场变化.

有极分子介质中的每一个分子可以看作是一个用轻质刚性杆连接两个点电荷的刚体模型.另外，极化后的电介质在宏观上会出现极化电荷分布，这些极化电荷反过来又激发附加电场，叠加在原来的外电场上得到电介质内的实际电场.因此，分子所具有的能量应该包括分子的转动动能和在电场中所具有的电势能.设电介质内实际电场强度为E，电介质分子的瞬时电矩为p，当瞬时电矩与电场强度之间的夹角为θ时(见图1)，分子能量表达式为

图1　有极分子电介质模型

(4)

概率密度满足归一化条件，即

(5)

分子所具有的平均能量

(6)

这样求分子分布的问题在数学上转化为在满足式(5)和式(6)约束条件下的最大熵问题.由于有约束条件的限制，与分子分布有关的坐标和动量并不独立，为此，可通过引入两个拉格朗日不定乘子α和β，将坐标和动量的不独立性转嫁到拉格朗日不定乘子上，而认为分子坐标和动量彼此独立，但将是α和β的函数.为此，定义拉格朗日函数为

(7)

根据变分原理，由F对f的导数为零，可得

(8)

即

(9)

式(9)代入归一化条件式(5)得

(10)

于是得到

(11)

把式(11)代入式(9)得到概率密度表达式为

(12)

设电介质单位体积内的分子数为n，则单位体积内所有分子的电矩沿电场方向的分量之和为

(13)

由式(13)可以看出， 转动动能对电极化强度没有贡献，这是由于外部电场只改变了分子的电势能，而对分子的转动能量没有影响.令y=βpE，ξ=cosθ，利用朗之万函数

(14)

可得

(15)

而单位体积内所有分子的电矩垂直于电场方向的分量之和为

(16)

根据电极化强度的定义，电极化强度矢量等于单位体积内所有分子电矩的矢量和.综合式(15)和式(16)，可得电极化强度矢量的大小为P∥的大小，方向与电场方向平行.

在大学物理教材中，所给出的电极化强度与电场强度之间的关系满足线性关系，即

(17)

其中,χ为电介质的电极化率;ε0为真空电容率.

而由式(15)可以看出，在一定温度下，电介质电极化强度与外电场并非满足线性关系.我们作出朗之万函数的图像如图2所示.由图2可以看出，当y=βpE取值较小时，可以近似看作线性函数，而当y取值很大时，函数将趋于定值，这说明当电场强度非常大时，电介质的电极化强度将趋于不变，这是因为此时所有分子的固有电矩都趋向与外电场完全一致，电极化强度达到最大值.

图2　朗之万函数图像

(18)

可见在此条件下，电极化强度与电场强度近似成正比，与一般物理教材教材的结论一致.比较式(17)和式(18)，进一步得到电介质的电极化率为

(19)

3　结论和讨论

本文运用最大熵原理研究了有极分子电介质

在电场中的极化规律.结果表明，有极分子电介质的电极化强度与电场强度并非是严格的线性关系，只有当电场不很强时，电极化强度与电场强度近似成正比，而当电场强度非常大时，电极化强度将趋于定值.另外，论文只是针对有极分子电介质极化进行了研究，但这种方法也同样适用于无极分子电介质的极化问题，因为无极分子电介质的极化属于位移极化，此时分子的电偶极矩大小会随着电场强度的大小变化而变化，分子的能量表达式及系统熵要考虑此因素的影响.

[1]马文蔚.物理学[M].5版.北京：高等教育出版社, 2010.

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[3]KolmogorovAH.AnewmetricinvariantoftransientdynamicalsystemsandautomorphismsinLebesguespaces[J].Dokl.Akad.NaukSSSR, 1958, 116, 861-864.

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[5]李鹤龄, 杨斌. 统计物理方法在离散变量模型中的应用及推广[J]. 大学物理,2014,33(9):27-30.

[6]晋宏营. 使用最大熵原理研究电介质系统的极化[J].复杂系统与复杂性科学,2013,10(1):83-88.

[7]孔海霞.基于最大熵的汉语词性标注[D]. 大连理工大学, 2007.

[8]谭涛, 李鹤龄. 统计力学基本假设的数学更新[J].大学物理,1997,16(1):44-45;48.

[9]JaynesRT.Informationtheoryandstatisticalmechanics[J].ThePhysicalReview, 1957, 106(4), 620-630.

[10]王鹏,韩敬.朗之万函数与布里渊函数的一些近似公式的推导[J].安庆师范学院学报,2007,13(2):87-89.

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STUDY TO THE POLARIZATION OF POLAR MOLECULE DIELECTRIC BASED ON MAXIMUM ENTROPY PRINCIPLE

Tian BaoguoQu LiangshengWang dong

(Department of Basic Sciences, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai Shandong 264001)

Polarization of polar molecule dielectric is studied based on maximum entropy principle in this paper. The result shows that its electric polarization intensity is not proportional to the electric field intensity. Only when electric field isn’t very strong, the electric polarization intensity is proportional to the electric field intensity. However, when electric field is very strong, the electric polarization intensity will tend to be constant. The polarization of non-polar molecule dielectric can also be studied based on this principle.

entropy; maximum entropy principle; dielectric polarization; polar molecule

2015-09-07;

2015-11-07

田宝国，男，教授，海军航空工程学院基础部.tbgzjp@sina.com

引文格式: 田宝国,曲亮生,王栋. 基于最大熵原理的有极分子电介质极化研究[J]. 物理与工程，2016，26(3)：20-23