基于梯度下降法的永磁同步电机单电流弱磁优化控制

李　珂　顾　欣　刘旭东　张承慧

(山东大学控制科学与工程学院　济南　250061)



基于梯度下降法的永磁同步电机单电流弱磁优化控制

李珂顾欣刘旭东张承慧

(山东大学控制科学与工程学院济南250061)

针对目前的单电流弱磁控制方法无法实现内置式永磁同步电机高速区运行效率最优的问题，提出一种基于梯度下降的单电流弱磁优化控制方法。首先在分析单电流弱磁控制思想的基础上，根据电机运行点恒转矩方向在电流下降梯度上的投影关系，在线寻优修正交轴电压使其工作电流达到最小值，从而实现了系统效率的提升；同时证明了梯度下降方法在解决内置式永磁同步电机弱磁优化控制问题时结果的惟一性；最后分别搭建了基于Matlab/Simulink和dSPACE的仿真与试验平台，与现有弱磁优化方法的对比试验研究结果表明，该文提出的方法可提高内置式永磁同步电机高速区的运行效率，为系统的高效运行提供了有效途径。

单电流控制弱磁控制永磁同步电机梯度优化

optimization

0　引言

内置式永磁同步电机(Interior Permanent Magnet Synchronous Motors，IPMSM)因具有效率高、功率密度大、易于弱磁扩速等突出优点，在电动汽车驱动系统、机器人等高性能调速系统中获得广泛应用[1]。电动汽车等系统要求具有较宽的调速范围以满足高速行驶的要求，因此对IPMSM高速区弱磁控制的研究至关重要。在传统的弱磁策略中，系统中有两个电流调节器，分别调节dq轴电流，调节器饱和以及高速阶段dq轴电流的相互耦合会恶化系统对电机转速、电流和转矩的调节性能，甚至导致系统不稳定[2-8]。

为得到更高的转速以及解决高速阶段dq轴电流的交叉耦合，文献[9]提出单电流控制策略，该方法利用了dq轴电流的耦合，而不是去试图消除耦合，只保留一个电流调节器，直接给定q轴电压，从而简化了结构，且具有动态响应快、对直流母线电压和负载的变化鲁棒性较好等优点。但因为q轴电压为给定的常数，电机效率和负载能力在不同工作状态下不能得到优化。因此，如何在不同的负载和转速情况下调制q轴电压以提高电机工作效率成为一个重要的研究方向。

为了调制q轴电压以提高电机的运行效率和负载能力，同时兼顾简化运算，文献[10，11]利用q轴电压和q轴电流的近似线性函数给定q轴电压，提高了电机效率和负载能力。但方程经过近似处理，不能达到效率的最优，且近似线性函数中系数不易确定。为避免上述缺点，文献[12，13]利用转矩、转速、q轴电压的三维查表，得到q轴电压给定，简化了计算，适合工程应用，但所用到的三维表格制表繁琐，可移植性差。文献[14]缩小问题范围从而简化问题，证明了表面式永磁同步电机工作点在电压极限圆上时，电流达到最小，效率最高。因此对于表面式永磁同步电机，q轴电压的给定应满足直流电压利用率最高，但此结论只适用于表面式永磁同步电机。文献[15，16]给出了调制q轴电压以实现直流电压利用率最大的一种方法：利用最大相电压和前馈d轴电压计算q轴电压给定，使运行点的给定值固定在电压极限圆和恒转矩曲线的交点上，从而保证了稳态下直流电压利用率最大。然而，对于内置式永磁同步电机，此方法仍不能保证稳态电流最小。

本文针对内置式永磁同步电机结构复杂的特点，在单电流控制的基础上，提出一种利用电流梯度与恒转矩方向比较，在线修正q轴电压的新方法，使电机运行电流自动收敛到当前转速和负载下的最小值，从而减小了电机损耗，提高了运行效率，并证明了该方法收敛点的惟一性和最优性。最后通过在Simulink仿真和基于dSPACE控制的内置式永磁同步电机上的对比试验结果验证了该方法的有效性。

1　永磁同步电机单电流弱磁控制分析

1.1数学模型

在转子磁链定向的同步旋转坐标系下，永磁同步电机的稳态电压方程为

(1)

永磁同步电机的电磁转矩方程为

(2)

式中，vd、vq分别为电机d、q轴电压；Rs为电机一相定子电阻；id、iq分别为电机d、q轴电流；Ld、Lq分别为电机d、q轴电感；ωe为电机电角速度；ψm为电机永磁体磁链；pn为极对数。

永磁同步电机在运行过程中会受到逆变器最大输出电流Imax以及逆变器最大输出电压Vmax的限制，因此需要满足关系式

(3)

(4)

在高速运行阶段，忽略Rs的影响，将式(1)带入式(4)，可得

(5)

图1　内置式永磁同步电机弱磁轨迹Fig.1　Trajectory of current and voltage of IPMSM

式(5)为电机运行中的电压极限椭圆。将式(3)和式(5)画在q轴电流为纵轴、d轴电流为横轴的坐标系中，如图1所示。其中每条恒转矩曲线上电流最小的点组成最大转矩电流比(MTPA)曲线。从式(5)中易看出，随着转速的上升，电流极限椭圆不变，电压极限椭圆逐渐缩小。

1.2单电流控制策略

传统的控制系统中，有两个电流调节器分别调节d、q轴电流。在低速阶段，q轴电压没有到达极限，所以可用两个电流调节器独立控制d、q轴电流。在高速阶段，q轴电压被限制在最大值以下，出现电压不足，导致产生d、q轴电流相互耦合，恶化系统性能。

假设q轴电压为正常数Vfwc，且0

(6)

式(6)表明，在给定q轴电压且速度一定下，q轴电流和d轴电流为线性关系，即可通过控制d轴电流来控制q轴电流。该方法事实上利用了d、q轴电流内在的交叉耦合关系而不是去消除耦合。因此在弱磁控制阶段，只需要一个d轴电流调节器。

图2　单电流弱磁控制框图Fig.2　Block diagram of flux-weakening control based on single current control

2　基于梯度下降法的单电流弱磁优化控制

2.1Vfwc的选取原则

图3　Vfwc对运行点的影响Fig.3　Impact of Vfwc on operating point

图3中Vfwc1

2.2基于梯度下降法的单电流控制

通过上文分析可知，电机的稳定运行点为满足电压约束与电流约束下的恒转矩曲线和式(6)表示的直线的交点。若满足电压、电流约束，Vfwc增加，运行点沿恒转矩曲线向右移动。反之Vfwc减小，运行点沿恒转矩曲线向左移动。基于梯度下降法的单电流控制的基本思想是：在电压和电流约束下，根据电流下降梯度和恒转矩方向之间的角度，判断能使运行电流减小的移动方向，并通过改变Vfwc，使得运行点向电流减小的方向移动。

转矩上升的方向可表示为

(7)

恒转矩方向与转矩下降方向垂直，故向左的恒转矩方向可表示为

(8)

同理，电流下降梯度的方向为

(9)

基于梯度下降法的单电流控制方法如图4所示，若速度为ω1，当前运行点为A，电流下降梯度与向左的恒转矩方向夹角小于90°，说明运行点沿恒转矩曲线向左移动可以使当前电流减小，即应减小Vfwc。同理，若当前运行点为C，电流下降梯度与向左的恒转矩方向夹角大于90°，则应增大Vfwc。若当前运行点为B点，电流下降梯度与向右的恒转矩方向夹角等于90°，说明当前运行点为恒转矩曲线上电流的极小值运行点，则无需修正。

图4　基于梯度下降法的单电流控制轨迹Fig.4　Trajectory of single current control based on gradient descent

在修正Vfwc从而改变运行点时，应保持运行点处于电压极限圆内，所以应根据逆变器最大输出电压对Vfwc限幅，当Vfwc到达最大幅值时，不再修正Vfwc，如速度为ω2时图中的D点。

综上，基于梯度下降法的单电流控制框图如图5所示。

图5　基于梯度下降法的单电流控制框图Fig.5　Flow chart of single current control based on gradient descent

2.3极值点惟一的证明

梯度算法在实际应用中需解决优化结果受初始点限制、易陷入局部极小值等问题。但当极小值惟一时，梯度算法优化结果不受初始点限制，且极小值就是最小值。

极值点满足恒转矩方程，即

(10)

向左恒转矩方向和电流下降方向的向量积为

(11)

将式(10)带入式(11)得

(12)

利用式(12)对id求导

(13)

式(13)中等式右侧三项均为正值，即导数单调，在id增加过程中，向量积增加。闭区间内导数单调，若向量积过零，则过零点惟一。

当在初始点向量积小于零时，运行点向右被修正，id增加，存在惟一点使向量积为0，或到达电压极限，停止修正。当在初始点向量积大于零时，运行点被向左修正，id减小，向量积持续减小，向量积过零点惟一。综上对于本文提出的基于梯度下降法的单电流控制，电流极小值惟一，极小值即最小值。

3　仿真与试验

3.1仿真分析

为验证本文提出算法的控制性能，使用Matlab/Simulink进行仿真研究。直流母线电压为300 V，仿真步长Ts为0.005 ms。同时，采用文献[10，11]的线性化算法与本文提出的基于梯度下降法的单电流控制算法进行比较分析。试验所用永磁同步电机的参数见表1。

电机带额定负载起动至2 600 r/min，图6为采用线性化方法(Vfwc=ρiq+hVmax)的实验结果，取h=0.8，ρ=-20。图6a显示电机约在0.1 s时升速到给定的2 600 r/min，并维持在2 600 r/min到1 s。图6b为id、iq、相电流有效值is以及Vfwc随时间的变化。可以看出，在电机稳定于2 600 r/min时，相电流有效值约为2.3A。图7为使用基于梯度下降法的单电流控制的实验结果。图7a为转速曲线，图7b为id、iq、相电流有效值is以及Vfwc随时间的变化。可以看出，随着电机运行，Vfwc被自动修正，稳态相电流有效值也被减小到2.0 A。对比仿真结果，使用基于梯度下降法的单电流控制，可有效修正Vfwc，使运行点向电流减小的方向移动。

表1　永磁同步电机参数Tab.1　Parameters of permanent magnet synchronous motor

图6　线性化方法的单电流控制Fig.6　Single current control based on the method of linearization

图7　基于梯度下降法的单电流控制Fig.7　Single current control based on gradient descent

3.2试验分析

为验证基于梯度下降法的永磁同步电机单电流弱磁优化控制策略的有效性，设计以dSPACE公司的MicroAutoBoxⅡ为控制核心的变频调速实验系统，系统中还包括永磁同步电机、功率变换器以及测功机等，如图8所示。功率变换器逆变部分选用三菱智能功率模块IPM，使用旋转变压器采集电机位置与转速信号，试验电机参数同表1。

图8　永磁同步电机驱动系统Fig.8　Field weakening control system experimental platform of IPMSM

试验中直流母线电压为300 V，采用幅值不变的坐标变换，则取电压综合矢量限幅值Vmax为173.2 V。控制器MicroAutoBoxⅡ的步长为0.5 ms，电流和转速的采集采用PWM同步采样方式，采样频率为10 kHz，采样带宽为1 kHz，A-D转换精度为14位。

使用基于梯度下降法的单电流控制将电机由额定转速扩速至2 600 r/min，试验结果如图9所示。可以看出随着电机的运行，Vfwc从初始值100 V被持续修正。同样使用线性化方法进行对比试验，并取h=0.8，ρ=-20，试验结果如图10所示。图11重点对比了两种控制策略的相电流有效值，稳定运行时，两种算法的相电流有效值分别为1.3 A与1.6 A。

图9　基于梯度下降法的单电流控制Fig.9　Single current control based on gradient descent

图10　线性化方法的单电流控制Fig.10　Single current control based on the method of linearization

图11　两种方法相电流对比Fig.11　Phase current comparison of two methods

比较两组试验，在采用文献[10，11]的线性化算法下工作点在id-iq平面上的坐标为(-0.7 A，1.8 A)，将工作点代入式(11),并通过式(8)与式(9)，可得向左的恒转矩方向与电流下降方向的向量积为负，夹角约为117°，仍存在被修正的空间。而使用基于梯度下降法的单电流控制，工作点明显改善，向左的恒转矩方向与电流下降方向夹角明显减小，在误差允许的范围内近似直角，即修正后的工作点向着恒转矩曲线上电流的最小值点移动。相对于近似线性化方法，基于梯度下降法的单电流控制降低了电机损耗，提高了效率，而且不需查表或调节多个系数，简化了控制。

需要指出的是，在线修正Vfwc时的寻优步长ΔV选取需综合考虑算法的响应速度、转速超调和寻优精度等因素。分别做了当ΔV为10 V、1 V、0.1 V、0.05 V和0.01 V时基于梯度下降法的单电流控制的相关试验，结果如表2所示。

表2　不同ΔV寻优步长的对比结果Tab.2　Comparison of operation in different ΔV

对比可知转速超调和Vfwc寻优速度的趋势均为随ΔV的减小而降低，当ΔV取值小于0.1V时转速超调区别不明显。当ΔV取值较大时虽可获得更快的寻优速度，但由于无法达到Vfwc最优值，不仅波动较大且影响寻优精度。本文采取在不明显降低寻优速度的前提下尽量减小ΔV的原则，以减小超调量和稳态波动，取ΔV为0.1 V。实际应用中可根据应用场合需求的不同(如需要响应快速或对效率指标要求苛刻等)调整ΔV。

另外，在基频以上的重载情况下，由于电机运行于电压极限椭圆与电流极限椭圆的交点区域，电流已经达到或接近最小值，本文提出的方法优化效果有限。而在电机高速轻载或中载场合下则拥有较好的效率提升能力(如电动汽车在高速公路上行驶等永磁电机控制场合等)。

4　结论

本文分析了弱磁控制原理和传统单电流弱磁方法，提出一种基于梯度下降法的单电流弱磁控制，以电流最小为目标调制Vfwc，以此提高电机稳态运行效率。通过建立Matlab/Simulink仿真模型，对仿真结果进行分析。最后搭建了以dSPACE为控制器的实验控制平台，试验结果很好的验证了此方法可有效调制Vfwc,使电流在单电流控制下达到最小值，为提高内置式永磁同步电机高速区的高效运行提供了有效途径。

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Optimized Flux Weakening Control of IPMSM Based on Gradient Descent Method with Single Current Regulator

Li KeGu XinLiu XudongZhang Chenghui

(School of Control Science and EngineeringShandong UniversityJinan250061China)

Considering the fact that single current weakening control methods cannot guarantee optimum motor efficiency in high-speed field-weakening control of interior permanent magnet synchronous motors (IPMSM)，this paper proposes a novel weakening control method based on gradient descent by using single current regulator.On the basis of single current control，this online method automatically optimizes the corrected q-axis voltage by comparing the current gradient descent direction and the constant torque direction of the load and speed respectively，so that the current reaches the minimum to improve operational efficiency.It is also proved that the optimal result of this problem is unique and optimal.Finally，the motor simulation and experiment platforms based on Simulink and dSPACE are set up to demonstrate the superiority of this method compared with traditional weakening control methods.The results show that the proposed method can improve the efficiency of the permanent magnet synchronous motor in the high speed region，which provides an effective way for the efficient operation of the system.

Permanent magnet synchronous，flux-weakening control，single current control，gradient

2015-06-01改稿日期2015-09-24

TM341

李珂男，1979年生，博士，硕士生导师，研究方向为电动汽车电驱动系统、新能源、控制理论与应用。

E-mail：like@sdu.edu.cn(通信作者)

顾欣男，1989年生，硕士研究生，研究方向为电动汽车电驱动系统、弱磁控制。

E-mail：guxinshow@qq.com

国家重点基础研究发展(973)计划项目(2013CB035600)、国家自然科学基金重大国际(地区)合作研究项目(61320106011)和国家自然科学基金项目(61573223)资助。