考虑非线性因素的工程梁理论正应力计算

吴 强中国商飞上海飞机设计研究院吴强（1987-）男，硕士，工程师。主要研究方向：有限元，静强度，结构优化。



考虑非线性因素的工程梁理论正应力计算

吴 强
中国商飞上海飞机设计研究院
吴强（1987-）男，硕士，工程师。主要研究方向：有限元，静强度，结构优化。

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提出了一种可以考虑受拉部件材料非线性和蒙皮局部受压失稳后的有效宽度等非线性因素的机翼加筋薄壁结构计算的工程梁理论正应力计算修正方法。工程梁理论是进行机翼加筋薄壁壳体结构的经典方法，但是该方法只能考虑结构并未失稳且处于材料应力应变曲线的线性区间的情况。为了解决结构进入非线性承载阶段后的问题，利用减缩系数的概念，将各元件进入非线性后的承载特性以减缩系数的形式反映至相应的受载面积上，并利用迭代的方法进行求解，实现了对于工程梁理论的修正，拓展了其应用范围。

加筋薄壁结构的工程梁理论是计算类似于机翼的这种细长薄壁结构应力分布的经典理论。目前，虽然随着计算结构力学的发展，飞机的应力分布多以有限元方法求解，但是由于工程梁理论计算速度快、参数修改简单，依然应用于飞机的初步设计阶段，以实现各种结构方案的快速修改和评估。

工程梁理论是一种线性理论，适用于结构和材料处于线性承载阶段。然而在极限载荷下，机翼是允许局部结构失稳或者发生塑性变形，此时结构各长桁和各区域蒙皮之间的载荷分配会发生变化。目前，关于局部进入非线性承载阶段后机翼的内力分配计算多是由非线性有限元完成，时间消耗较大；而公开资料中，并未找到通过工程梁理论来解决此问题的相关研究。为了使工程梁理论能适用于进入非线性后的承载特性，本文利用了减缩系数的概念对此问题展开研究。

工程梁理论正应力计算

工程梁理论做为求解细长薄壁加筋结构的经典理论，其推导过程本文不再赘述，仅列出与本文相关的假设和公式。

机翼剖面元件的受载假设

机翼壁板由蒙皮和长桁构成。在工程梁理论简化中，蒙皮只承受并传递剪应力，且忽略剪应力沿厚度方向的变化；蒙皮实际的传递正应力的能力人为的附加到纵向元件上去。长桁等纵向元件被理想化为具有集中面积的杆，其面积由两部分组成，即长桁的真实面积和蒙皮的等效面积。

正应力折减系数法

飞行器部件由不同材料组成，为了方便计算，通常将不同材料向同一种材料折算。设微面积Ai的弹性模量为Ei，现用面积为Air，弹性模量为Eir的虚拟元件来替代真实元件。

为了使这种替换是等价的，就必须满足以下条件：真实元件与虚拟元件内力相等，即：

真实元件与虚拟元件应变相等，即：

定义减缩系数为：

可以得到：

这样，通过剖面面积折算，可以把不同材料的实际元件变化成一种材料的虚拟元件。其真实应力为：

正应力计算

各元件的真实正应力可由以下公式求得：

其中，Iz和Iy分别剖面两个方向的相对惯性主轴的惯性矩，A为减缩剖面承载正应力的总面积，k为剖面的不对称系数。

非线性因素的减缩系数修正

当蒙皮所受的压应力大于其临界失稳应力时，其宽度应为有效宽度：

其中，w为蒙皮有效宽度，δ为蒙皮厚度，Est为长桁弹性模量，σst为长桁应力。此时蒙皮的减缩系数为：

其中，φ为蒙皮失稳时的减缩系数，φ为不考虑失稳时的蒙皮减缩系数，F为蒙皮面积。由此求得蒙皮应力，判断是否失稳并进行如上修正。多次迭代后得出正应力分布。需要注意的是，σst不得大于长桁屈服应力或临界失稳应力，蒙皮应力分布为波浪形，其峰值为长桁应力，本文中的蒙皮应力取其平均应力。

当拉应力作用下的计算应力超过材料比例极限时，按材料的应力应变曲线进行非线性修正，逐步迭代逼近求解。

由减缩系数法原理可知，虚拟材料与真实材料的应变是相同的。因此，由应变带入材料应力应变曲线求得进入非线性状态的材料弹性模量，再除以虚拟材料的弹性模量得出此时的减缩系数，进而进行内力修正。依此法多次迭代后可求得正应力分布。

考虑非线性因素的工程梁理论正应力计算流程如图1所示。

图3 壁板材料的简化应力应变曲线

图4 点9和点13处的长桁应力及蒙皮平均应力

图5 点21处长桁应力随载荷变化

图1 考虑非线性因素的工程梁理论正应力计算流程

图2 某飞机翼盒剖面形状示意图

算例分析

某飞机翼盒剖面形状如图2所示，上下壁板各有14根长桁（含梁缘条），上壁板蒙皮厚度为3mm，下壁板蒙皮厚度为2mm。上壁板蒙皮受压临界失稳应力为181MPa。材料的弹性模量为70GPa，比例极限为280MPa，其简化的应力应变曲线如图3所示。

对此模型施加-220KN*m至-280KN*m的弯矩Mz时，上壁板点9和点13处的长桁应力及蒙皮平均应力如图4所示。由如4可见，点13处蒙皮处于线性受载区域，蒙皮平均应力和长桁应力是一致的。而点9处在载荷大于-230KN*m后蒙皮失稳，进入非线性受载区域，蒙皮平均应力逐渐低于长桁应力。

表1为上述载荷下各点内力占上壁板总内力比例的变化趋势。由表中可见，随着载荷增加，蒙皮进入失稳的高应力区的内力占比逐渐减少，而蒙皮没有失稳区域的内力占比逐渐增大，结构进入非线性承载阶段后的载荷会重新分配，失稳区域分配到的内力比线性计算时减少。

表1 不同弯矩各点内力占上壁板总内力比例

对于下壁板受拉情况，以21点处长桁为例，分析其应力随载荷变化，如图5所示。如图5可见，当长桁应力高于其比例极限后，其应力随载荷增加的增长率快速下降，呈现出明显的非线性现象。

结语

提出了一种可以考虑受拉部件材料非线性和蒙皮局部受压失稳后的有效宽度等非线性因素的机翼加筋薄壁结构计算的工程梁理论正应力计算修正方法。利用减缩系数的概念，将各元件进入非线性后的承载特性以减缩系数的形式反映至相应的受载面积上，并利用迭代的方法进行求解，实现了对于工程梁理论的修正，拓展了其应用范围。

10.3969/j.issn.101- 8972.2016.12.028