凸分析观点下的库仑摩擦定律

富立 孙舒 巴颖（华北理工大学理学院，河北唐山 063000）

凸分析观点下的库仑摩擦定律

富立 孙舒 巴颖
（华北理工大学理学院，河北唐山 063000）

以凸分析理论为工具，从非光滑分析的角度分析经典的库仑摩擦定律。站在更高的数学理论基础上，重新审视我们熟知的库仑摩擦定律，会有许多新的理解与发现。采用凸分析理论工具重新认识经典的库仑摩擦定律。首先介绍凸分析理论的若干基本概念。然后从两方面对库仑摩擦定律进行分析。一方面是摩擦力与速度势能的广义微分关系；另一方面速度与共轭势能的广义微分关系。最后给出速度在摩擦力凸集的法锥上以及库仑摩擦力与相对滑动方向不一定相反的结论。

库仑摩擦 凸分析 集值函数 速度势能 共轭势能

1 凸分析若干基本概念

1.1 集值函数

集（合）值函数是函数概念的扩展。集值函数是定义域与值域之间的多值映射，它将定义域中的点映射为值域中的集合。以集值符号函数 Sgn（）x为例：

由定义可见，集值符号函数 Sgn（·）是对普通符号函数 Sgn（·）的扩展。普通符号函数 Sgn（·）在 x = 0处的函数值定义为0；而集值符号函数 Sgn（·）在 x = 0处的函数值定义为集合［-1，+1］，在 x = 0处，函数 Sgn（·）的图形是一条垂直线段，如图1（a）所示。

在凸分析理论中，函数在非光滑处的广义导数（又称次微分）定义为左、右导数之间的取值集合，如绝对值函数在 x = 0处的广义导数为［-1，+1］。因此，绝对值函数（图1（b））与集值函数 Sgn（x）（图1 （a））是原函数与导函数的关系，绝对值函数的次微分是集值函数Sgn（x），如图1所示。即：

1.2 凸集的示性函数

凸分析理论中，集合C的示性函数（indicator function）定义为，

根据凸分析理论，如果集合C是凸集，则其示性函数一定是凸函数，并且示性函数的次微分恰是凸集的法锥［1］ NC，即：

公式（4）对凸集建立了分析与拓扑两个方面之间的联系，在本文的分析中起至关重要的作用。

2 凸分析观点下的库仑摩擦定律

2.1 经典的摩擦定律

1791 年，法国科学家库仑提出了著名的库仑摩擦定律。

其中， FT表示接触面切向库仑摩擦力， FN表示接触面的法向反力， μ为摩擦系数， v表示接触面切向滑动速度。

以下借助凸分析理论工具，采用图文结合的方式，以图2中的四个集合值函数为主线对库仑摩擦定律进行剖析。如图2所示。

2.2 摩擦力与速度势能

在凸分析观点下，图2中的右侧两个函数，即图2（d）中的摩擦力函数 FT（ v）和图2（b）中的速度势能函数 π（ v）是导函数与原函数的关系。如图2所示。

图2（d）表示摩擦力 FT是速度 v的集合值函数 Sgn（·）。借助集值函数 Sgn（·），摩擦力 FT可表示为，

根据式（2），库仑摩擦定律可以表示为绝对值函数的次微分形式：

定义： π（ v） = μFN|v |，则式（7）可写为，

摩擦力- FT（v）是速度势能 π（ v）的次微分，与经典力学中广义力是势能的负梯度相对应。速度势能是势能概念的进一步推广。

2.3 运动速度与共轭势能

根据次微分定义，由图2不难发现，图2（c）中的速度函数 v（-FT）和图2（a）中的示性函数ψC（- FT）也是导函数和原函数的关系，即T

另外，从图2横向看，图2（c）中的速度函数 v是摩擦力 FT的集合值函数，与图2（d）中的摩擦力函数 FT是函数与反函数的关系。因此，图2（b）中的函数 π（ ·）和图2（a）中的函数ψCT（- FT）分别是摩擦力- FT（ v）及其反函数 v（- FT）的原函数，这种关系在凸分析理论中被称为共轭关系［2］，故函数 π*（·）= ψC T（- FT）为摩擦力的共扼势能函数。

由图2（a），共轭势能函数 π*（·）是定义在摩擦力凸集 CT上的，

共轭势能函数π*（·）就是摩擦力凸集 CT的示性函数ψC（- FT）。根据式（4），示性函数ψC（- FT）的次微分就是摩擦力凸集 CT的法锥。由此得出结论：速度在摩擦力凸集的法锥上。如图2所示。

3 库仑摩擦力与运动方向相反吗

考虑二维摩擦情形，如图3所示。对于各向同性（沿各方向的摩擦系数相同）的理想情况，摩擦力集合是一个圆，如图3（a）。由凸分析中法锥的定义，圆内的点，法锥为零，表示当摩擦力小于最大摩擦力时，速度为0。圆外的点法锥不存在，说明摩擦力不能大于临界值。圆边界上的点，法锥就是圆的外法线。速度在摩擦力凸集的法锥上，因此速度方向与摩擦力方向相反。

实际问题中没有绝对的各向同性摩擦。图3（b）中的摩擦力集合是椭圆，显然为各向异性的情况。由法锥的定义，椭圆内的点，法锥为零，表示速度为0。椭圆外的点法锥不存在，说明摩擦力不能超越临界值。椭圆边界上的点，法锥就是椭圆的外法线。速度在摩擦力凸集的法锥上，表示速度方向沿着椭圆的法线方向。在一般情况下，椭圆的法线与半径不在一条一直线上，即速度方向与摩擦力的方向不在一条直线上，它们之间的夹角不等于 π，因此摩擦力并不与运动方向完全反向。

虽然摩擦力不与速度方向完全反向，但它在速度方向上的投影依然与速度方向相反，即在物体相对滑动过程中摩擦力总是做负功的。在这个意义上，摩擦力还是和运动方向相反的，只不过这个反向的概念是对以前严格反向概念的进一步扩展。

进一步地，对给定的相对滑动速度 v，其对应的摩擦力 FT使内积-FT·v 达到最大值，参见图3（b）。由图3（b），滑动速度矢量 v在摩擦力凸集C的边界上确定了唯一的切平面， n是该切平面的单位法向量。在摩擦力凸集C的范围内，真实的摩擦力 FT使得-FT在法向上 n的投影达到最大值，即使得耗散功率-FTv达到最大值。这一规律称为最大耗散原理［1，2］，它是库仑摩擦定律的另一种表述。如图3所示。

4 结语

以凸分析理论为工具重新认识经典的库仑摩擦定律。新的数学理论工具使得原有的概念和理论得到扩展，如函数的概念扩充为集合值函数，导数的概念扩充为广义导数或次微分，势能的概念扩展为速度势能及共扼势能等等。由共轭势能与速度的微分关系，滑动速度必在摩擦力凸集的法锥上，由此有以下结论，对各向同性摩擦，摩擦力与滑动速度反向；对各向异性摩擦，摩擦力与滑动速度不再严格反向。但库仑摩擦力依然做负功，符合最大耗散原理。

［1］伯特塞卡斯.凸分析与优化［J］.清华大学出版社，2006.

［2］科拉克.非光滑分析和控制论［J］.世界图书出版公司，2009.

In theory， convex analysis tools， from the perspective of a non-smooth analysis， analysis of classical Coulomb friction law.Standing on a higher mathematical theory， to re-examine our well-known Coulomb friction law， there will be many new understanding and discovery.Convex analysis using theoretical tools rediscover classical Coulomb friction law.First introduced some basic concepts of the theory of convex analysis.Then two aspects Coulomb friction law analysis.On the one hand is the relationship between generalized differential friction and speed potential energy； the other hand， the speed of the conjugated generalized differential relations potential energy.Finally， the speed of the cone friction law convex sets and Coulomb friction relative sliding direction is not necessarily the opposite conclusion.

Coulomb friction； convex analysis； set-valued function； speed potential； conjugate potential

富立（1965—），男，北京人，博士，副教授，研究方向：多体系统动力学、非线性动力学。