三角形解的个数的进一步讨论

刘振龙（福建省泉州培元中学）



三角形解的个数的进一步讨论

刘振龙
（福建省泉州培元中学）

在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。

【例1】在△ABC中，若a=18，b=24，A=45°则此三角形解的个数为______。

综上，该三角形有两解。

方法二：画圆找交点

解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。

如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小进行对比：若a＜CH，则无交点；若a=CH，则有一个交点；若CH＜a＜b，则有两个交点；若a≥b，则有一个交点。

方法一：正弦定理

方法二：画圆找交点

方法三：二次方程的正根个数

已知两边一角问题，也可对角A应用余弦定理，并将其整理成关于边长c的一元二次方程c2-2bcosA·c+b2-a2=0，若该方程无实根或只有负数根，则该三角形无解；若方程有一个正数根，则该三角形有一解；若方程有两个不相等的正数根，则该三角形有两解。

对于例2，若应用“方法三”，可以得到关于边长c的一元二次方程c2-bc+b2-3=0。由题意，要使得该方程有一个正数根，结合二次函数的图象特点（对称轴为），可得Δ=（-b）2=4（b2-3）=0或者b2-3≤0，解得b=2或。

数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。

·编辑尹军