两种求多元复合函数偏导数方法的分析比较*

卜兵　赵瑛（吉林化工学院 理学院，吉林 吉林 132022）



两种求多元复合函数偏导数方法的分析比较*

卜兵赵瑛
（吉林化工学院 理学院，吉林 吉林 132022）

摘要：针对用传统方法在求解多元复合函数偏导数比较繁琐的情况，将代数学中的矩阵知识与多元复合函数求偏导有机结合，提高了运算效率。

关键词：偏导数；链式法则；雅克比矩阵

多元复合函数求偏导在数学分析课程的教学中既是重点又是难点［1］，也是历年研究生入学考试里的常考知识点。众多学者对该问题进行了研究［2-6］。我们发现数学与应用数学、信息与计算科学两个数学专业的学生在该知识点的学习和应用中，对较抽象及结构复杂的多元复合函数进行求偏导数时，容易因遗漏某些连锁环节而出错。

针对以上问题，我们尝试从多角度去讲解该知识点，将高等代数中的矩阵理论引入到实际教学环节中，分析比较传统做法和新方法的不同之处，教学效果得到显著提升，切实做到了在课程教学中培养学生创新能力［7，8］，促进了数学分析省优课的课程建设。下面就从求多元复合函数的一阶、二阶偏导数的传统方法和矩阵方法两个角度分析比较。

一、多元复合函数一阶偏导数的两种求法

在数学分析教材中关于复合函数求偏导数有以下结论，即“链式法则”：

定理1［9］：若函数x=φ（s，t），y=Ψ（s，t）在点（s，t）∈D可微，z=f （x，y）在点（x，y）=（φ（s，t），Ψ（s，t））可微，则复合函数z=f（φ（s，t），Ψ（s，t））在点（s，t）可微，且它关于s与t的偏导数分别为

该定理是求解多元复合函数偏导数的理论依据。

例1.复合函数u（s，t）由u=f（x，y，z，t）x=φ（z，s），y=Ψ（x，s，t），z=w（s，t），复合而成，且f，φ，Ψ，w为可微函数，求

该函数的复合关系比较复杂，由四次复合运算得到：

第一步，将y=Ψ（x，s，t）代入得u=f（x，Ψ（x，s，t）z，t，

第二步，将x=φ（z，s）代入得u=f（φ（z，s），Ψ（φ（z，s），s，t），z，t），

第三步，将z=w（s，t）代入得u=f（φ（w（s，t），s），Ψ（φ（w（s，t），s），s，t），w（s，t），t）从而画出“路径图”如图1。

图1

由这个结构图，可以看出，复合过程共有四个层次，第一层有四个中间变量x，y，z，t，它们通过f与u相关联；第二层有四个中间变量x，z，s，t，它们通过x=x，Ψ，z=z，t=t与x，y，z，t相关联；第三层有三个中间变量z，s，t，它们通过φ，z=z，s=s，t=t分别与x，z，s，t相关联；第四层有两个自变量s，t，它们通过w，s=s，t=t分别与z，s，t相关联。

方法一：链式法则。

1.先找出图中u到s的所有轨道（6条）：

图1

2.写出每条轨道所对应偏导数分量：

3.将上面所有分量相加便得到

轨道法的优点是条理清楚。注意不要漏数轨道数，习惯上看从起点u终点s有多少条通道即是轨道数。类似地可以求出

方法二：矩阵法。

写出相邻两层变量之间的关系矩阵，即它们之间的雅克比矩阵，再将这些矩阵依次相乘，即得到偏导数的矩阵表示。这种方法的好处是可以一下子求出所有偏导数，并且可以用代数的方法对偏导数进行计算与讨论，而不必每次去数轨道的个数。本例中的关联矩阵依次为：

由此即得

利用矩阵乘积求得

比较上面两种方法，第一种方法完全按照“链式法则”求解得到，学生在求解时容易数错轨道数导致计算错误，而且在求两个偏导数的过程中要分开算，步骤重复；第二种方法利用关联矩阵处理思路清晰，结构简洁，能一次求得两个偏导数。

二、多元复合函数二阶偏导数的两种求法

方法一：链式法则。

图2

先求得两个一阶偏导数

接着求二阶偏导数

先求

在计算过程中应当注意到f1'，f2'，f3'是以u，v，w为中间变量的复合函数，再次利用轨道法求，画出“路径图”如图3。

图3

类似的算出

在计算过程中应当注意到f1'，f2'，f3'是以u，v，w为中间变量的复合函数，再次利用轨道法求，利用图3。

类似地算出

方法二：矩阵法。

写出f关于u，v，w的黑塞矩阵Hf，关于u，v，w，z的黑塞矩阵Hu，Hv，Hw，Hz，u，v，w关于x，y的雅克比矩阵A分别是：

从而由公式［10］

展开得

比较上面两种方法，第一种方法多次使用“链式法则”，计算过程重复；第二种方法利用代数方法来处理复合函数的二阶偏导数显得更为简洁。

三、结束语

在求多元复合函数偏导数时，利用“链式法则”能将复杂的复合结构清晰的呈现出来，层次感非常直观，学生容易接受，但是在处理多次复合时容易出错；利用矩阵来处理该类问题则相对快捷高效。在教学过程中注重将数学分析和高等代数两大基础课之间建立联系，是我们在教学过程中注重培养学生创新意识的体现，为了更好地教好数学分析这门课程，我们任课教师任重而道远。

参考文献

［1］王锦森，马知恩.工科数学分析基础（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2006.

［2］文传军，华婷.关于多元复合函数高阶求导的讨论［J］.常州工学院学报，2010，23（4）：54-56.

［3］王红军，杨有龙.微分叠加原理在多元复合函数求导中的应用［J］.大学数学，2015，31（6）：80-82.

［4］裴东林.关于多元复合函数高阶偏导数计算的一种方法［J］.甘肃联合大学学报（自然科学版），2004，18（4）：59-60.

［5］齐玉霞.多元复合函数可微性的证明［J］.长春师范学院学报（自然科学版），2010，29（4）：17-18.

［6］高大鹏，冯世强，冯小高，等.求多元复合函数偏导数的树型法则［J］.高等数学研究，2014，17（4）：94-98.

［7］杨金远，赵树魁，茹静，等.我校大学文科数学课程建设的研究与实践［J］.吉林化工学院学报，2015，32（10）：1-4.

［8］赵瑛，张海波，卜兵.将MATLAB融入《数学分析》课程的探索［J］.吉林化工学院学报，2015，32（2）：84-86.

［9］华东师范大学数学系.数学分析（第4版）［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［10］毛羽辉，韩士安，吴畏.数学分析（第四版）学习指导书［M］.北京：高等教育出版社，2012.

中图分类号：O174

文献标志码：A

文章编号：2096-000X（2016）13-0092-03

*基金项目：吉林化工学院2014年校级教研项目

作者简介：卜兵（1982-），男，江苏省泰兴市人，吉林化工学院助教，硕士，主要从事数学与应用数学方面的研究工作。

Abstract：According to the situation that partial derivative is complicated in solving complex function in the traditional method，matrix and multiple function in algebra knowledge is combined in the partial derivative organic，which improves the efficiency of operations.

Keywords：partial derivative；chain rule；Jacobian matrix