三阶常微分方程的某些非线性特征值问题的正解

李晓涵沈阳师范大学



三阶常微分方程的某些非线性特征值问题的正解

李晓涵
沈阳师范大学

摘要：三阶常微分方程是我们在解决数学问题中常用的一种求解手段。三阶常微分方程有很多种，而且在初等数学中我们就已经学过。像对数方程、指数方程、三角方程、二次方程等都属于三阶常微分方程的行列。比如我们初高中时就学过的二元一次方程组，是最简单的三阶常微分方程了。在本文中，我们通过与三阶常微分方程相关的例题，了解一下解题方法，以及该问题中涉及到的对于三阶常微分方程的应用和新的可解类型。

关键词：三阶常微分方程；特征解；非线性问题

常微分方程在代数中，是最简单但是也是最重要的一类方程组，三阶常微分方程是我们在解决日常生活问题中常用的一种手段，三阶常微分方程的作用也非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到三阶常微分方程来解决研究中的问题。许多难解的问题，解法中的式子最后都能化成相应的常微分方程，所以常微分方程对于计算数学是极其重要的。遇到问题时，我们需要在已知条件中找出已知数和未知数的关系，并利用已知的关系列出方程，然后进行求解，逐步推出我们需要的未知数的值。

列方程可能是一个方程也可能是多个方程，当问题逐渐变得复杂时，方程自然也会变得复杂。根据不同的问题特点，也就产生了不同类型的方程组。比如，在求当研究到自由落体时，需要计算当一个物体自由下落时，物体距地面的距离与下落时间的关系；或者在航天方面，飞行器在发动机的动力作用下，是如何在太空中飞行的以及其最佳轨道的设计等。这样复杂的问题看似无从下手，但实际上，与一些简单的问题相同，依然是需要在已知的条件中找到已知数与未知数关系的蛛丝马迹，然后列出相应的方程并求解。只不过，这样的方程的求解过程可能非常复杂，对于求解的方法要求比较特殊。

在数学中，解决这样的方程是需要一些导数和微分的知识基础，在这样的实际问题的基础上，产生了一种新的方程形式，叫做微分方程。微分方程就是指未知数以导数的形式与已知数产生关系，也就是说，在微分方程中未知数是以导数形式存在的。

幸得微分方程的产生与微积分几乎是在同一时期，因此我们就可以有幸地利用微积分的知识求出一些微分方程的近似解。而三阶常微分方程则是指在方程中，未知函数是一元函数的三阶微分方程。未知函数如果是多阶的，则被称为偏微分方程，这些方程的类型以及简单类型的求解方法在大学数学中都有涉及。

常微分方程的解法以及相关理论自从其出现开始，就可以用百家争鸣来形容。许多年来，各位伟大的数学家也给出了各种各样的方法，以及求解的技巧。对于三阶常微分方程来说，方程组的种类影响着方程的解法和解的种类，而对于不同种类的方程和解，有不尽相同的解决手段。这还需要掌握一些特殊的定理、方法等等。

现在，人们对于三阶常微分方程的研究已经比之前有了极大的进步。在对微分方程的研究中，求出方程的可行解往往是最主要的需求，首先通过一些方法求得解的通式，然后再根据具体情况，带入一些特定值，求出所需要的特征解。但是，在大量的计算和思考后，人们发现，能够准确地求出通解或者特征解的微分方程并不是很多，大部分的方程都不能准确地求出其某一组解，哪怕已知一些需要的参数。人们可以用一定的手段去逼近一个方程的解，但是也可能只能逼近，不能求出。所以，往往在解方程的过程中得到的是近似解或者最优解，而不是像简单的一元一次方程那样得到确定的解。

后来，在现实生活的应用中，人们又发现，往往解决问题并不需要求出通解或者特解，而是需要知道方程组在什么情况下会出现什么类型的解，就能满足一些生产生活的需要了。比如，给定一个方程，我们需要知道该方程在什么情况下存在解，什么情况下不存在解；或者，在给定方程的前提下，能够知道在什么条件下能求出几组通解，而哪些通解是对于我们求出所需特解有价值、有作用的。往往我们现在关注的多是这样的问题，而不仅仅限于寻找微分方程的解上。三阶常微分方程的作用非常之多，比如在航天领域、自动化领域、电子通信领域、化学反应研究领域等，科学前沿的方方面面都需要用到三阶常微分方程来解决研究中的问题。研究三阶常微分方程的新的可解类型，是帮助我们在各个学科中，处理难题，突破难关的重要途径。所以我们需要对三阶常微分方程的新的可解类型进行更深的研究，通过对方程组的解析来促进各个学科的蓬勃发展。

许多微分方程要求求出方程的近似解，并且保证一定范围内的精确度就可以，人类的科技在不断发展，所需要的精确度也会越来越高，而随着数学学科的进步，能够求出的精确度也会越来越高，才能适应其他学科对于数学手段的需求。寻找三阶常微分方程的新的可解类型是研究微分方程的科学家们、数学家们一直努力的目标。目前，已知的可解类型并不多，在变化众多的方程组中，目前已知的可解类型相比之下，还是屈指可数的，还需要通过大量的研究才能判断和解决其他的可解类型的三阶常微分方程。

结束语

微分方程就是指未知数以导数的形式与已知数产生关系，也就是说，在微分方程中未知数是以导数形式存在的。这样的方程的求解过程可能非常复杂，对于求解的方法要求比较特殊。我们就可以利用微积分的知识求出一些微分方程的近似解。三阶常微分方程的作用非常之多，比如在航天领域、自动化领域、机械制造领域、计算机科学与技术领域、电子通信领域、化学反应研究领域等。虽然现在，人们对于三阶常微分方程的研究已经比之前有了极大的进步，但对于浩淼的数字海洋来说，可数的几个定理或者方法技巧是远远不够的。我们还需要对三阶常微分方程的新的可解类型进行更深的研究，以达到科技进步、改变生活的目的。

参考文献：

[1]汤光宋，潘小群.一类新非线性三阶常微分方程的可积判据.Academic Forum of Nan Du:naturalences Edition，2001

[2]李云.关于几类可积型二阶线性三阶常微分方程的若干注记.黄石师院学报:自然科学版，1983

[3]黄文纲.变系数线性系统的一种求解方法及若干可积类型.数学的实践与认识，1983

作者简介：李晓涵（1994-），女，辽宁省凌源人，沈阳师范大学，数学与系统科学学院，数学与应用数学（师范）。