师生互动多维思考，给高三复习带来新天地

刘+++茹

最近刚复习到函数与导数模块，在导数与函数单调性中遇到这样一题：

例：已知函数f（x）=x2-lnx，g（x）=ax+lnx（a∈R）。

（1）若曲线f（x）存在平行于x轴的切线，求实数a的取值范围。

（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）在区间，e上是单调递减的，求实数a的取值范围。

这是一道含参的单调性问题，利用函数的单调性求参数的取值范围。第一问解略，对于第二问，课堂上同学们是这样求解的：

由题意F（x）=-ax-2lnx，得导函数

F′（x）=ax-a-=

因为函数F（x）在区间，e上是单调递减的，所以F′（x）≤0在区间，e上恒成立，即转化为ax2-ax-2≤0恒成立。

构造函数h（x）=ax2-ax-2。讨论：

（1）当a=0时，函数h（x）=-2<0，此时函数F（x）在区间，e是单调递减；

（2）当a>0时，函数h（x）=ax2-ax-2开口向上，对称轴x=∈，e，只需h（e）=ae2-ae-2≤0，即a≤。

故0

（3）当a<0时，函数h（x）=ax2-ax-2开口向下，对称轴x=∈，e，只需h（）≤0，解得-8≤a<0。

综上可知，-8≤a≤。

这种解法是利用导数将函数在区间上单调转化为二次函数含参问题来解决，直接对参数讨论。通常对于含参问题，我们还有一种常见处理方式：分离参数法。对于本问题，能否用分离参数法呢？对于我提出的问题，思索一会儿后，大部分同学都说不行，理由是分离前式子a（x2-x）≤2中x2-x在区间，e上不能确定符号，不能直接除过去。这就是问题所在。当不能确定符号时该怎么办呢？在我的提示下，学生们开始思索。这时有个学生甲站起说，可以对变量区间讨论，确定x2-x的符号后再除过去，转化成求最值问题。之后利用导数求最值。然后，按照这条思路和学生一起得出了如下板演过程：

（1）当x=1时，x2-x=0，此时a（x2-x）≤2恒成立，a∈R。

（2）当≤x<1时，x2-x<0，此时由h（x）≤0恒成立转化为a≥在x∈，1上恒成立。

令t（x）=，得t′（x）=，

当x∈，，t′（x）>0，t（x）单调递增；当x∈，1，t′（x）<0，t（x）单调递减。从而当x=时，t（x）max=t=-8。

所以a≥-8。

（3）当10，得a≤恒成立。此时t（x）=，t′（x）=，当x∈（1，e]时t（x）<0，t（x）单调递减，t（x）min=t（e）=，故此时a≤。

至此，到了该综合以上情况得出结论的时候了，我提出个问题，这些参数的范围该如何整理，为何这样做？学生们愣了一下，随后学生乙站起来回答了这个问题：这是对变量区间进行的讨论，不是对参数讨论，所以不能像参数讨论那样对结果取并集。因为导数在整个区间上小于等于零恒成立，所以必须每段讨论区间上得出的参数范围要同时成立，结果应该取交集。回答得不错，抓住了关键点：参数在每一个划分的区间上都必须满足题意，各段要同时成立，因而应取交集。即-8≤a≤。

整理完该种解法，我让同学们继续思考。在我下讲台巡视时，学生丙拦住了我，向我展示了他的解法：

由F′（x）≤0在闭区间，e上恒成立，得ax2-ax-2≤0恒成立，即a（x2-x）-2≤0在，e上恒成立。令t=x2-x，当x∈，e时，t∈-，e2-e；当t=-时，a=-8；当t=e2-e时，a=，从而，-8≤a≤。

对于这种解法，学生说不上理论依据，只是令a=，求出等号右端两个最值，得出参数处于最值之间。我问他，如果恒成立的式子是大于等于号呢？你也用这种方法，结果有区别吗？他沉默了，意识到这种方法不可行。不过我表扬了他的这种思想方式。虽然他有些朦朦胧胧，但是他想到了整体法解决问题，而这离成功仅一步之遥。这不是错误，而是解法有待进一步完善，从理论上加以说明。之后，在我的提点下，学生丙重新整理了解法，并板演了解题过程展示给大家。板书如下：

由F′（x）≤0在区间，e上恒成立，得ax2-ax-2≤0恒成立，即a（x2-x）-2≤0在，e上恒成立。令t=x2-x，当x∈，e时，t∈-，e2-e]则转化成at-2≤0在t∈-，e2-e上恒成立。

构造函数H（t）=at-2，t∈-，e2-e，由一次函数单调性可知H（e2-e）≤0H（-）≤0，得-8≤a≤。

此法一出，同学们立刻就会比较出哪种方法优化。方法三避免了讨论，同时，用整体代换的思想转化成一次函数来解决问题，思路也不复杂。

回顾以上解法，学生们进行了如下总结：

（1）单调性问题转化成恒成立问题，含参的不等式恒成立要讨论。

（2）对本题的三种解法：

方法一，转化成二次函数在定区间上求最值。

方法二，通过分离参数转化成导数求最值。

方法三，整体代换转化成一次函数求最值。

其实本题主要的一种数学思想就是转化与化归。它是数学中一种常见的思想方法，也是一种基本的解题策略。可以说化归与转化在解题中无处不在。化归与转化的实质，是我们在研究和解决有关数学问题时采用某种方法将问题转化，将生疏的化成熟悉的，复杂的化成简单的，抽象的化成直观的。我们在学习或生活中会不自觉地用，却不一定仔细思考过。很多题目都需要转化，它是桥梁，联通陌生的题目和已知的知识，是由未知向已知过渡的纽带。当我们了解以后，就会有意识地使用，为解题搭方便之桥。本题正是所给的条件通过不同方式转化成我们熟悉的函数问题上，利用基本初等函数的性质解决问题。

（作者单位：安徽省利辛第一中学）