论函数最值的方法

甘秀梅

摘 要：函数最值是数学的一个重要组成部分，在各个领域都有着非常广泛的应用。本文阐述函数最值的一些基本方法，并对这些方法之间的联系和特点进行分析与研究，然后通过具体实例叙述如何利用这些基本方法去计算函数最值，最后再对一些具体函数的最值的应用问题进行探究。

关键词：函数最值；基本方法

在中学数学中常遇到一类求函数最大值、最小值的问题，它是中学数学教与学中普遍感到困难的一类问题。函数最值涉及的知识面较广，方法也灵活多变，训练思维能力效果好，因此在数学中占有重要的地位，要学好函数最值就必须了解和掌握求函数最值的方法与技巧。函数最值的基本方法有很多，这章主要介绍代数法、导数法、构造法、数形结合法、引进复数求函数最值。

一、配方法

代数法是中学阶段应用最广泛的方法，它包括配方法、判别式法、换元法、不等式法等。首先，我们介绍配方法。

利用配方法将二次型转化为标准型求函数最值的方法不仅易于掌握，而且思路清晰，操作简单，它是求二次函数最值一种行之有效的方法。配方法及其思想在数学分析、高等代数、空间解析几何等中都有着广泛的应用。配方法的基本步骤如下：

函数y=ax2+bx+c，经配方得

y=ax+2+，

若a>0，当x=-时，ymin=；

若a<0，当x=-时，ymax=。

配方法是一种对数学式子进行定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。掌握这一方法关键在于合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧。

二、判别式法

判别式法主要是应用方程的思想来解决函数的最值。它是我们解题时常用的方法，具体的过程如下：

将函数y=，

改写成关于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

则它有实数解x的充要条件是其判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

从而由等式（方程）转化为关于y的不等式，从而求其最大或最小值。在解题中应注意a（y）≠0。

利用判别式法求函数的最值时应注意两点：

（1）求函数的定义域；

（2）对于二次方程的二次项系数要分零和非零两种情形。

三、换元法

利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决。求函数最值的换元法主要有三角换元法和代数换元法。中学数学中较常见的是下面两种形式的换元。

（1）y=ax+b+，令t=，将y转化为t的二次函数，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，将y转化为t的二次函数，再求最值。

四、不等式法

中学数学中利用均值不等式求函数最值是一种基本的、常用的方法。灵活运用均值不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值。均值不等式的运用有三个严格的限制条件，即（1）各项均为正数；（2）积或和是定值；（3）等号能否取到，简言之“一正二定三相等”，三个条件缺一不可。以下是有关均值不等式两个定理。

定理1：当a，b∈R+时，则≥，当且仅当a=b时等号成立。

定理2：当a，b，c∈R+时，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立。

五、导数法

导数法一般用来解决一类高次函数的最值。

用导数法求函数最值的步骤为：

第一步：找出fx在a，b内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点；

第二步：求出fx在上述点和两个端点a与b处的函数值；

第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

综上可知，函数最值内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，应注意选择最优解法。以上就是本文整理出的有关于求函数最值的一些解法。当然求函数最值的方法不止这些，这里只是对求函数最值的方法作部分的归纳，具体的方法还有待去进一步的发现和总结。

六、结语

函数最值的方法是数学解题中既重要又实用的技巧。因此，深刻理解函数最值，熟练掌握求解函数最值的方法并在实践中灵活运用，是我们学好数学的关键。

以上求解函数最值的方法与应用并不全面，事实上还存在很多有关函数最值的求解方法和在其他方面上的应用，因此需要不断更新、研究，以便总结出更多求解函数最值的方法和更有效地应用这些方法解决函数最值，让函数最值的方法的应用更加广泛。

参考文献：

1.张弛.函数的最值及其应用.黑河教育，2004（2）：34.

2.王晓民.基本不等式法求最值略析.内江师范学院学报，2006，21（S1）：209-214.

（作者单位：广西英华国际职业学院附属中学）